 Legyen A és B az átmérő két végpontja, P az átmérő egyenesén levő külső pont, M a szelő és az átmérő metszéspontja.
Továbbá legyen O a keresett kör középpontja, E az érintési pont , r a kör sugara, és nyilván teljesül a \(\displaystyle \beta= EPO\measuredangle=OEM\measuredangle\) összefüggés is.
Ekkor felírhatóak az alábbi egyenlőségek:
\(\displaystyle PA=PO-AO=\frac r {\sin\beta}-r=r\cdot\frac{1-\sin\beta}{\sin\beta}\)
\(\displaystyle AM=AO-MO=r-r\sin\beta=r(1-\sin\beta)\)
\(\displaystyle PB=PO+OB=\frac r {\sin\beta}+r=r\cdot\frac{1+\sin\beta}{\sin\beta}\)
\(\displaystyle MB=MO+OB=r\sin\beta+r=r(1+\sin\beta)\)
A fentiekből következik, hogy
\(\displaystyle \sin\beta=\frac{AM}{PA}=\frac{MB}{PB}\) , azaz
\(\displaystyle \sin\beta=\frac{MX}{PX}\) alakú, ahol X=A vagy X=B
Így a szerkesztés, attól függően, hogy X=A vagy X=B van megadva, a következő lesz:
Vegyük fel a PX szakasz, mint átmérő fölé írható Thalész-kört és az X középpontú, MX sugarú kört. A két kör metszéspontját kössük össze a P ponttal. Ez az egyenes az E-ben metszi a szelőt. Utána állítsunk erre az egyenesre E-ben merőlegest. Így megkapjuk a kör O középpontját.
Diszkusszió: A szerkesztés akkor végezhető el, ha \(\displaystyle MX<PX\) teljesül, hiszen \(\displaystyle \sin\beta<1\) (P külső, M belső pont, így egyenlőség nem lehet). Ez X=B esetén mindig fennál, de ha X=A, akkor csak úgy lesz megoldás, ha \(\displaystyle PA> AM\)
| 
