Fórum: Valaki mondja meg!

Kedves HoA!

Köszönet (ismét) a segítségért. Úgy gondoltam eredetileg, hogy az egyes időintervallumokban megtett utakkal operálok, de boncolás (+eltévedés:() lett sajna belőle...

Még egyszer köszönöm szépen.

Szerintem a feladatban nem az okozza a gondot, hogy „a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet túl kemény dió” , hanem az, hogy a feladat egy kicsit tisztességtelenül van kitűzve. Az egyik szokásos középiskolai feladattípus szövegében megadnak bizonyos paramétereket és az eredményt ezek függvényében várják. Ha zárójelben megadják a paraméterek numerikus értékét is, akkor ezeket az eredmény képletébe behelyettesítve számszerű eredményt is tudunk adni . Másik fekadattípus az, ahol egy fizikai jelenség kapcsán bizonyos mennyiségek közötti összefüggések keresése, értékhatárok megállapítása a cél. Itt a kettő keveredik, a baj csak az, hogy ez a szövegből nem derül ki egyértelműen. Tisztességesnek valahogy így érezném a feladat kitűzését:

Egy egyenletes v1 sebességgel haladó menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen? Milyen összefüggés áll fenn v1 és v2 között, ha tudjuk, hogy a menetoszlop 1 km hosszú?

Megoldás: A futár teljes menetideje 1000/v1 mp, ebből 15 mp-ig v1, egyébként v2 sebességgel haladt, a megtett út tehát s = méter. A v₁ésv₂ közötti összefüggést abból állapítjuk meg, hogy a futár 1000/v₁-15 mp alatt az 1000 méteres oszlop végéről az elejére majd vissza ment, menetideje tehát: Ezek után a v₂-re adódó másodfokú egyenletet elemezhetjük, milyen v₁ értékekre kapunk pozitív v₂-t, v₂ milyen határok között változhat, stb. Végül v₂-t v₁ függvényeként felírva behelyettesíthetjük a megtett út képletébe, így az egy csak v₁ -től függő kifejezés lesz, de továbbra sem egy konkrét számérték.

Rögzített xH-ra n esetén f_n(x)f(x):=x/2. A függvénysorozat egyenletes konvergenciája azt jelenti, hogy . Ezt kell igazolni most. Ehhez egy kis függvényvizsgálatra van szükség.

1. Látszik, hogy ha x rögzített, akkor a konvergencia n-ben monoton: f_n(x)<f_n+1(x)<f(x), vagyis |f_n(x)-f(x)|=f(x)-f_n(x)=:g_n(x).

2. Pl. L'Hospital-lal belátod, hogy illetve két deriválással, hogy g_n(x) konkáv. De g_n(0)=0 is igaz. Vagyis rögzített n-re g_n olyan nemnegatív konkáv függvény, amely 0-ban 0, a végtelenben pedig a határértéke pozitív. Egy ilyen függvény viszont minden xH esetén kisebb, mint a limesze, tehát , minden x-re és n-re.

3. Emiatt .

Viszont igazzá válik az állítás, ha megköveteljük, hogy a két végpontban ugyanazok legyenek a függvényértékek, vagyis f(a)=g(a) és f(b)=g(b) legyen.

Ekkor ugyanis a két konvex alakzat tartalmazni fogja egymást (az egyik alakzat a két végpont, az őket összekötő szakasz és f "lelógó" grafikonja által határolt síkidom; a másik ugyanígy, csak g-vel), és ismert (itt a Fórumon már kétszer is előkerült a bizonyítása, csak meg kell keresd :), hogy ha egy konvex alakzat tartalmaz egy másikat, akkor a külső alakzat kerülete nem lehet kisebb.

Hello! A kérdésem a következő lenne. Valaki megtudja nekem mondani, hogy f_n(x)=x^.arctan(nx), H=(0,) függvénysorozat egyenletesen konvergens-e a konvergencia halmazán és hogy ezt hogyan bizonyítom... Bocsánat ha valaki nagyon bugyutának véli a kérdést, de nagyon nem látom, hogy kellene megcsinálni.

Igen, éreztem én, hogy sántít valami...

Ebben a formában nem is igaz az állítás. Ellenpélda: f az azonosan 0 függvény, g pedig egy pozitív, lineáris függvény. f grafikonja rövidebb, mint g-é.

Sziasztok! A következő feladatban valami hiba van, vagy én vagyok figyelmetlen? (Szerintem hiányzik még egy feltétel): Ha f és g [a,b] intervallumot leképezi a valós számok halmazára, mindkét függvény konvex, deriválható és deriváltjai folytonosak, emellett még f(x)g(x) akkor

Megoldható így, ebben az alakban? Ha igen, hogy? Előre is köszönöm!!

Ha nem baj, megint egy példával jönnék, kifogni látszik rajtam. Egy egyenletes v1 sebességgel haladó, 1 km hosszú menetoszlop végéről t0 időpontban egy futár szintén egyenletes v2 sebességgel az oszlop legelejére megy. Ott 15 mp-ig az oszloppal halad, majd az eredeti v2 sebességével az oszlop végére visszamegy. Mire visszaér, a folyamatosan haladó menetoszlop t0 időponttól pont 1 km-t tesz meg. A kérdés, mekkora utat tett meg a futár összesen?

Azt látom, hogy a 15 mp-ben megtett, 0<s<1 km út függvényében egyre nagyobb a szükséges v2-v1 sebességkülönbség, ill. hogy a futár összteljesítménye 2 és 3 km (pontosabban 1+gyökkető és 3) km között kell legyen, de a megoldáshoz vezető másodfokú egyenlet (legalábbis nagyon remélem, hogy az) túl kemény dió:(

Még az itt felvetett többi probléma nehézségét látva is remélem, most is lesz, aki segít a megoldásban:)

Előre is köszönöm.

Ha az a bizonyos Thálesz-kör egységsugarú és a "Thales körbe írható derékszögű háromszögek beírt körök középpontjai köre" [803] ábrájának AO₂O₁D körívét jelenti, O₁ésO₂ pedig az ACD ill. ABD háromszögek beírt köreinek középpontját, akkor az első válasz igen, BC mindig gyök 3. Ugyanis a körív sugara , ezért ebben az esetben EO₁O₂ háromszög szabályos, E-nél lévő szöge 60^o. Mivel az EO₁ésEO₂ egyensek egyúttal a C-nél ill. B-nél lévő derékszögek felezői, így az általuk bezárt szög 60^o, tehát BC az egységsugarú körnek 60^o-os kerületi szöghöz tartozó húrja, ez pedig hosszú.

Ha O₁O₂ forog, BC is mozog, de nem együtt, "merev test szerűen" forognak. [755] és [803] ábrájának összehasonlításából látható, hogy szimmetrikus esetben O₁O₂ és BC párhuzamosak, egyébként nem. Szemléletesen úgy képzelhető, hogy a rögzítetten 60^o-os O₂EO₁ szög két szára forog legyezőszerűen, és bármely helyzetében a sugarú AO₂O₁D körívből 60^o-os középponti szöghöz tartózó hosszúságú O₁O₂ húrt, az egységsugarú Thálesz-körből pedig 60^o-os kerületi szöghöz tartózó hosszúságú BC húrt metsz ki.