Fórum: Valaki mondja meg!

Az érintős miért nem állja meg a helyét? Szerinted, ha a=0,5 az x=0,4 pontban húzott érintő a függvény alatt lesz?

Valóban, a másodrendű deriváltat Én is csak tételként használom, noha láttam könyvet ahol definició, de mi régen az érintős definiciót tanultuk, és még mindig sok helyen így tanítják, de mint látható, most sem állta a helyét, de a felezőpontos definiciót nem igazán tanítottak, úgyhogy megérte itt erről is hallani ;-)

Én még úgy tanultam, hogy egy függvénygörbe konvex egy [a,b] intervallumon, ha tetszőleges két pontját összekötő szakasz felezőpontja görbe felett (vagy rajta) van.Ha az intervallumon a függvény kétszer deriválható, akkor a második deriváltak nemnegativitása szükséges és elegendő feltétel, de ez már tétel. Esetünkben az eredeti definíció érvényességét tudjuk csak vizsgálni, hiszen a függvény az x=a pontban nem deriválható.

Igen érdekes elgondolkodni a konvexitás fogalmának a defieálásán, hiszen mint az érintős meghatározás, mint az, hogy f"(x) ne legyen negatív nem igazán fogadható el ezek szerint a konvexitás értelmezésének, mert a derivált belekeverése nem "fair" tehát legtisztább a húrral defineálni és úgy tanítani, noha sok szakkönyvben nem éppen így teszik.

Kedves Lajos! Örvendek, hogy megerősíted ezt a megoldási lehetőséget, a 308-as hozzászólásnál Én is ezt próbáltam bemutatni, Én ugyan a Stolz-Cezaro tétel 3. következménbyeként ismerem, ugyanis azzal levezethető, de Cauchy-D'Alambert tételnek forgalmazzák a Sorok elméletében, a lényeg az lenne, hogy: 1) Írtad, hogy "megmutatjuk", hogy a limesz a végén gyök e, 2) Ha jól akartam, a 308-nál ugyanezt végeztem, de a parciális határértékretérés gyanúja állt fenn, ott meg a limesz e-nek jött ki. Van valami kiegészítésed, hogyan is jön ki pontosan a gyök e, (vagyis a "megmutatjuk" hogyanja) meg miért van ellentmondásba az eredmény a 308-cal, mert nagyon tetszik ez a megoldásod, hiszen a teszt középiskolásoknak szól, így nagyágyúval rálőni nem fair, amit mutattam szerintem az is elég hosszadalmas, szerintem ilyesfélén ahogyan írtad egészen plauzíbilis! Üdv: epsilon

Még egyszer hadd térjek vissza a problémára egy utólagos elemzés erejéig, más kiindulással és kevésbé explicit érveléssel, a Stirling-re való hivatkozás nélkül.

A hányados- és gyökkritérium témaköréből ismert a következő egyenlőtlenséglánc:

(Ez a lánc egyébként azt mondja, hogy a gyökkritérium erősebb a hányadoskritériumnál.)

A megadott rekurziót az e_n=(1+1/n)ⁿ és jelölésekkel így írhatjuk át:

Mivel itt a jobb oldal liminf-je és limsup-ja egyaránt e, a fentiekből rögtön adódik, hogy létezik

és e-vel egyenlő. Innen a továbbhaladás már hasonló (de logaritmálás nélkül is megy a dolog persze), a limesz definíciójából kiindulva megmutatjuk, hogy létezik

és -vel egyenlő.

(Ez a definíció persze már pl. cauchy-tól elhangzott, egyenlőtlenség alakjában felírva.)

OK, köszi mindkettőtöknek! Így már tiszta!

Egyetértőleg csatlakozom az előttem szólóhoz. A 297. feladat szövege nem szól az f függvény [0;1]-beli differenciálhatóságáról, ezért a kovexitás érintős definícióját ne használjuk. A konvexitás kérdésében - tankönyv híján - vegyük a WIKIPÉDIA másik definícióját:

Az f: I R intervallumon értelmezett valós változójú függvény konvex, ha a függvénygörbe (bármely, az adott intervallumba eső ÿ(kiegészítés tőlem)) két pontját összekötő húr a függvénygörbe fölött halad ...

Nem is gondoltam ezt bizonyításnak, Te kérdeztél egy konkrét példát. Viszont az látszik az ábrából, hogy van olyan ,, hogy az A=(x₁,f(x₁)) és B=(x₂,f(x₂)) pontokat összekötő szakasz a görbe alatt van. Konkrétan ha és , akkor

, ez pedig ellentmond a konvexitásnak.