A C. 1853. matematika gyakorlat megoldása

Szerk

C. 1853. Néhány kutató egy virágos homokgyepen zümmögő poszméhek ötvenfős csapatát figyeli. Izgatottan állapítják meg, hogy a poszméhek mindegyike pontosan négyféle virágról gyűjtött virágport, mielőtt továbbrepült volna. Sőt, még azt is feljegyezték, hogy mindegyik poszméh különböző négyest választott, de mind az \(\displaystyle 50\) poszméh meglátogatott egy buglyos fátyolvirágot. Bizonyítsuk be, hogy összesen legalább 9-féle virágról gyűjtöttek a poszméhek.

Javasolta:Paulovics ZoltánBudapest

Megoldás. Legyen a virágok száma a fátyolvirágon kívül \(\displaystyle n\). Ha a poszméhek valóban különböző virágnégyestől gyűjtik a virágporaikat, akkor összesen \(\displaystyle \binom{n}{3}\) virágnégyest látogathatnak meg (hiszen a fátyolvirág porait mind begyűjtötték), ami így nem lehet kevesebb mint a poszméhek száma. Avagy

\(\displaystyle \binom {n}{3}\geq50.\)

Ha \(\displaystyle 8\) virág lenne, akkor (\(\displaystyle n=8-1=7\) miatt) \(\displaystyle \binom{7}{3}=35<50\) lenne. És mivel \(\displaystyle \binom {n}{3}\leq\binom{n+1}{3}\) \(\displaystyle (n\geq3)\)-ra, ezért kevesebb virág esetén sem lehetnének meg a különböző \(\displaystyle 4\)-esek. Tehát \(\displaystyle n \geq 8\). Ha \(\displaystyle 9\) virág lenne (tehát \(\displaystyle n=8\)), akkor \(\displaystyle \binom{8}{3}=56\geq50\). Azaz \(\displaystyle 9\) virág valóban a minimális virágszám, ahonnan a poszméhek virágport gyűjthettek ily módon.

Farkas AndrásJászberény, Lehel Vezér Gimn., 11. o. t.dolgozata alapján

187 dolgozat érkezett. 5 pontos 165, 4 pontos 19, 3 pontos 1, 1 pontos 2.