Megoldásvázlatok a 2025./8. szám matematika gyakorló feladatsorához

Kozma Katalin Abigél (Győr)

I. rész

1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?   (11 pont)

Megoldás. Jelöljük az egyik számot \(\displaystyle x\)-szel, a másikat \(\displaystyle y\)-nal, ahol \(\displaystyle x>0\) és \(\displaystyle y>0\). Számtani közepük

\(\displaystyle \frac{x+y}{2}=205, \qquad\text{amiből}\qquad x+y=410, \quad y=410-x. \)

A mértani közép legfeljebb annyi, mint a számtani, ezért most a feladat feltétele alapján \(\displaystyle 160\)-nal kisebb, mint a számtani közép, azaz értéke \(\displaystyle 205-160=45\). Ekkor

\(\displaystyle \sqrt{xy}=45\Leftrightarrow xy=45^2=2025, \)

amibe az \(\displaystyle y\) helyére \(\displaystyle (410-x)\)-et helyettesítve egy másodfokú egyenletet kapunk:

\(\displaystyle x(410-x)=2025\Leftrightarrow x^2-410x+2025=0, \)

amelynek gyökei \(\displaystyle x_1=405\), \(\displaystyle x_2=5\), így \(\displaystyle y_1=410-405=5\), \(\displaystyle x_2=410-5=405\), azaz ugyanazt a számpárt kapjuk meg kétszer.

Ellenőrzés: Az \(\displaystyle 5\) és a \(\displaystyle 405\) számtani közepe tényleg \(\displaystyle 205\), mértani közepük pedig \(\displaystyle 45\), ami valóban \(\displaystyle 160\)-nal kisebb a számtani közepüknél.

A keresett két pozitív szám az \(\displaystyle 5\) és a \(\displaystyle 405\).

2. a) Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).  (8 pont)

b) Adja meg az – a) részben kapott – \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontját.  (2 pont)

c) Mekkora az – a) részben kapott – \(\displaystyle ABC\) háromszög területe?  (3 pont)

Megoldás. a) Elsőként kiszámítjuk a két vektor koordinátáit:

\(\displaystyle \overrightarrow{AB}=(4-x; -8) \qquad\text{és}\qquad \overrightarrow{AC}=(-11; -11), \)

így skaláris szorzatuk a következőképpen írható fel:

\(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=(4-x) \cdot (-11)+(-8)\cdot (-11)=0, \)

amiből \(\displaystyle x=-4\) adódik, ez a feladat egyetlen megoldása.

Ellenőrzés: \(\displaystyle x\!=\!-4\) esetén \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\!=\!(8;-8)\), ekkor \(\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\!=\!8\cdot {(-11)}\!+\!{(-8)\!\cdot\! (-11)}\!=\!{-88}+88\!=\!0\).

b) A feladat előző részében \(\displaystyle x=-4\)-et kaptunk, így az \(\displaystyle ABC\) háromszög csúcsai a következők:

\(\displaystyle A(x;7)=(-4;7), \quad B(4;-1) \quad \text{és}\quad C(x-11; -4)=(-15;-4). \)

A súlypont koordinátái a csúcspontok megfelelői koordinátáinak átlagaként számolhatók ki:

\(\displaystyle S\biggl(\frac{-4+4+(-15)}{3};\frac{7+(-1)+(-4)}{3}\biggr)=S\biggl(-5;\frac{2}{3}\biggr). \)

c) Az a) részben láttuk, hogy a háromszög két oldalvektorának skaláris szorzata nulla, ezért merőlegesek egymásra, így az \(\displaystyle ABC\) háromszög derékszögű. A befogók hossza: \(\displaystyle AB=\sqrt{8^2+(-8)^2}=8\sqrt{2}\), illetve \(\displaystyle AC=\sqrt{(-11)^2+(-11)^2}=11\sqrt{2}\). A háromszög területe:

\(\displaystyle T=\frac{8\sqrt{2} \cdot 11\sqrt{2}}{2}=88. \)