Az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium matematika munkaközössége
1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
(13 pont)
Megoldás. Az értelmezési tartomány a logaritmikus kifejezés miatt \(\displaystyle 9-x>0\), így \(\displaystyle x<9\), továbbá a négyzetgyökös kifejezés miatt \(\displaystyle x^2-5x-14\ge 0\), amiből \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle x\geq 7\) (összesítve: \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle 7\leq x<9\)).
Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így a lehetséges esetek:
1. \(\displaystyle \lvert5-x\rvert=0\), azaz \(\displaystyle 5-x=0\), ahonnan \(\displaystyle x=5\), de ez nem eleme a fenti értelmezési tartománynak; \(\displaystyle \lg(9-x)=0\), tehát \(\displaystyle 9-x=1\), amiből \(\displaystyle x=8\), és ez megoldás;
2. \(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}=0\), vagyis \(\displaystyle x^2-5x-14=0\), amiből \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=7\) is megoldás; \(\displaystyle \sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0\)-ból következik, hogy \(\displaystyle 2x+\frac{\pi}{6}=k\pi\), ahol \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\), ezt átrendezve \(\displaystyle {x=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}}\), de az értelmezési tartomány miatt, csak \(\displaystyle {k<-1}\), illetve \(\displaystyle {k=5}\) esetén kapunk megoldást.
Tehát összesítve: \(\displaystyle x\in \{-2;7;8\}\cup \left\{-\frac{\pi}{12}+k\cdot \frac{\pi}{2}\mid k<-1\text{ vagy }k=5\right\}\) (ahol \(\displaystyle {k\in \mathbb{Z}}\)), és a kapott megoldások igazzá teszik az egyenletet (ekvivalens átalakításokat végeztünk).
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)? (3 pont)
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell összeszorozni ebben a sorozatban, hogy a szorzat értéke elérje \(\displaystyle 5^{29}\)-t? (8 pont)
c) Apáczai Csere János éppen 400 éve született. Írja fel a tudós születési évszámát ötös számrendszerben! (2 pont)
Megoldás. a) Mivel \(\displaystyle 20<\lg 5^{29}<21\) (így \(\displaystyle 10^{20}<5^{29}<10^{21}\)), ezért az \(\displaystyle 5^{29}\) tízes számrendszerben 21-jegyű.
b) Jelölje a mértani sorozat első n tagjának szorzatát \(\displaystyle P_n\).
\(\displaystyle P_n=a_1\cdot a_1q\cdot a_1q^2\cdot a_1q^3\cdot \ldots\cdot a_1q^{n-1}={a_1}^n\cdot q^{1+2+3+\ldots+(n-1)}={a_1}^n\cdot q^{\frac{n\cdot \left(n-1\right)}{2}}. \)
Behelyettesítve \(\displaystyle a_1=5^{-29}\), \(\displaystyle q=5\) értékét, az alábbi egyenlőtlenség adódik:
\(\displaystyle {\left(5^{-29}\right)}^n\cdot 5^{\frac{n\cdot \left(n-1\right)}{2}}\geq 5^{29}, \)
amelynek összevont alakja: \(\displaystyle 5^{-29n+\frac{n\cdot(n-1)}{2}}\geq 5^{29}\).
Mivel az \(\displaystyle 5^x\) függvény szigorúan monoton növekvő, ezért \(\displaystyle {-29n+\frac{n(n-1)}{2}\geq 29}\), amiből \(\displaystyle {n^2-59n-58\geq 0}\). Ennek megoldása a pozitív számok halmazán: \(\displaystyle {n\geq \frac{59+\sqrt{3713}}{2}\approx 59{,}97}\), azaz legalább 60 tagot kell összeszorozni.
c) Apáczai Csere János \(\displaystyle 2025-400=1625\)-ben született, és az 1625 ötös számrendszerbeli alakja: \(\displaystyle 1625_{10}=23\;000_5\).
3. Egy 34-fős osztályban senki sem született februárban.
a) Bizonyítsa be, hogy van olyan hónap, amelyben az osztályból legalább négy diák született! (3 pont)
b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz két olyan diák ebben az osztályban, aki ugyanazon a napon született? (6 pont)
c) Az iskolához közeli fagyizóban tízféle fagylaltot árulnak. Legalább hányszor kellett a teljes osztálynak elmennie a fagyizóba, ha biztosak lehetünk abban, hogy a fagyizások alatt volt két pontosan ugyanolyan rendelés, ha mindenki legfeljebb két gombóc fagyit vehet? (Két fagyirendelés különböző, ha a két tölcsérben az alsó vagy a felső gombóc íze eltér rendelésekben.) (5 pont)
Megoldás. a) Ha nem lenne 4, ugyanazon hónapban született diák, akkor egy hónapban legfeljebb 3-an születhettek volna, de akkor legfeljebb \(\displaystyle 11\cdot 3=33\) diák lehetne az osztályban.
Ez ellentmondás, így kell lennie 4 ugyanazon hónapban született diáknak.
b) Ha nem született senki februárban, akkor \(\displaystyle 365-28=366-29=337\) lehetőség marad egy évben. Ha mindenki különböző napon született, akkor a kedvező lehetőségek száma:
\(\displaystyle 337\cdot 336\cdot 335\cdot \ldots\cdot 304\left(=\frac{337!}{303!}\right), \)
az összes lehetőség pedig \(\displaystyle 337^{34}\).
Így annak a valószínűsége, hogy mindenki más napon született:
\(\displaystyle \frac{337\cdot 336\cdot 335\cdot \ldots\cdot 304}{337^{34}}=\frac{\frac{337!}{303!}}{337^{34}}\approx 0{,}1786, \)
vagyis a keresett valószínűség: \(\displaystyle 1-0{,}179 = 0{,}821\).
c) Egygombócos fagyiból 10 különböző van. Kétgombócos lehet egyforma – ilyenből 10 lehetőség van – vagy két különböző (és a sorrend is számít), ez \(\displaystyle {10\cdot 9}=90\) lehetőség, összesen 110 eset. Egy fagyizás alatt legfeljebb 34 különböző fagyilehetőség adódhat, és mivel \(\displaystyle 4\cdot 34>110>3\cdot 34\), azért legalább 4-szer kell menni fagyizni az osztállyal.
4. Egy osztály nyári buliján az osztály egy része a strandon a büfében vásárol. Lujzi csak egy lángost vesz magának, de kifizeti Sanyi, Szöszi, Kati és Béla tea-sült krumpli menüjét is (négy teát és négy sült krumplit), ezért végül \(\displaystyle 7130~\mathrm{Ft}\)-ot fizet. Jani is összegyűjtött pár rendelést, nyolc teát, öt lángost és két sült krumplit vesz, amiért \(\displaystyle 12\;790~\mathrm{Ft}\)-ot fizet. Armand csak Zsuzsit és Amandát hívja meg most, azt tervezi, vesz mindhármuknak egy-egy teát, sült krumplit, lángost, de rájön, hogy ő így éhes maradna, így végül hozzácsap még a rendeléshez két sült krumplit; egy tízezressel fizet, és még vissza is kap \(\displaystyle 230~\mathrm{Ft}\)-ot.
a) Mennyibe kerül a tea, a lángos és a sült krumpli ebben a büfében? (8 pont)
b) Hányféle sorrendben adhatják ki a kiadópulton az előbb kifizetett összes italt és ételt, ha az azonos termékek között nem teszünk különbséget? (3 pont)
Megoldás. Adatok táblázatosan:
a) Legyenek az egyes termékek egységárai rendre \(\displaystyle l\), \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle s\) Ft/db, ahol \(\displaystyle l\), \(\displaystyle t\) és \(\displaystyle s\in\mathbb{R}^+\). Ezekkel felírható a következő egyenletrendszer:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix} l+4t+4s&=&7130 \\ 5l+8t+2s&=&12\;790 \\ 3l+3t+5s&=&9770\end{matrix}\right. . \)
A megoldási módszer lehet az egyenlő együtthatók módszere vagy kifejezés és behelyettesítés, amely alapján a megoldások: \(\displaystyle l=1210\) (Ft/db), \(\displaystyle t=630\) (Ft/db) és \(\displaystyle s=850\) (Ft/db). Tehát a lángos 1210 Ft-ba, a tea 630 Ft-ba és a sült krumpli 850 Ft-ba kerül.
Ellenőrzés a szöveg alapján.
b) Összesen 9 lángost, 15 teát és 11 sült krumplit vásároltak, ezen 35 termék lehetséges sorrendjeinek száma: (ismétléses permutációval) \(\displaystyle \frac{35!}{9!\cdot 15!\cdot 11!}(\approx 5{,}455\cdot 10^{14})\).
5. Az \(\displaystyle \mathbf{a}\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\) vektorokra teljesül, hogy \(\displaystyle \lvert\mathbf{a}\rvert=\lvert\mathbf{b}\rvert=\lvert\mathbf{a}+\mathbf{b}\rvert=1\).
a) Mekkora \(\displaystyle \mathbf{a}\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\) vektorok skaláris szorzata? (4 pont)
b) Mekkora \(\displaystyle 2\mathbf{a}+\mathbf{b}\) vektor abszolútértéke? (4 pont)
Adott az \(\displaystyle \mathbf{a}(3;4)\) vektor. Az origó középpontú \(\displaystyle 6\) egység sugarú kör \(\displaystyle \mathbf{a}\) vektorral párhuzamos érintője az \(\displaystyle y\) tengelyt a \(\displaystyle (0;p)\) pontban metszi.
c) Adja meg \(\displaystyle p\) lehetséges értékeit! (8 pont)
Megoldás.
a) Az \(\displaystyle \mathbf{a}\), \(\displaystyle \mathbf{b}\) és \(\displaystyle \mathbf{a}+\mathbf{b}\) vektorok felrajzolhatóak egy szabályos háromszög oldalvektoraiként, így az \(\displaystyle \mathbf{a}\) és \(\displaystyle \mathbf{b}\) vektorok által bezárt szög \(\displaystyle 120^\circ\), ezért skaláris szorzatuk
\(\displaystyle \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\lvert\mathbf{a}\rvert\cdot \lvert\mathbf{b}\rvert\cdot \cos 120^\circ=1\cdot 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}. \)
b) \(\displaystyle 2\mathbf{a}\), \(\displaystyle \mathbf{b}\) és \(\displaystyle 2\mathbf{a}+\mathbf{b}\) vektorok felrajzolhatóak egy olyan háromszög oldalvektoraiként, amelyben két oldal hossza \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\) egység, és az oldalak bezárt szöge \(\displaystyle 60^\circ\). Jelöljük a keresett vektorhosszt \(\displaystyle x\)-szel: \(\displaystyle {\lvert2\mathbf{a}+\mathbf{b}\rvert}=x\), a fenti háromszögben koszinusztétellel számítható ki az ismeretlen \(\displaystyle x\) oldal: \(\displaystyle x^2=2^2+1^2-2\cdot 2\cdot 1\cdot \cos 60^\circ\), amiből \(\displaystyle x=\sqrt{3}\) (\(\displaystyle x>0\)), ami éppen a kérdéses vektor hossza.
c) Készítsünk ábrát.
Az \(\displaystyle \mathbf{a}\) vektor egyenesének meredeksége \(\displaystyle \frac{4}{3}\), így a vele párhuzamos egyenesek egyenlete \(\displaystyle {y=\frac{4}{3}x+b}\), ahol \(\displaystyle b\in \mathbb{R}\). Ez \(\displaystyle b\)-nek arra az értékére érintő, amikor az egyenesnek egyetlen közös pontja van a körrel. Helyettesítsük be az \(\displaystyle y\)-ra felírt kifejezést a kör egyenletébe:
\(\displaystyle x^2+\left(\frac{4}{3}x+b\right)^2=36. \)
Akkor van egyetlen közös pont, ha az így kapott másodfokú egyenlet, \(\displaystyle 25x^2+24b\cdot x+9b^2-324=0\) diszkriminánsa 0, azaz \(\displaystyle D=576b^2-100(9b^2-324)=-324b^2+32\;400=0\), ahonnan \(\displaystyle b=\pm10\), így a két érintő egyenlete: \(\displaystyle y=\frac{4}{3}x+10\) és \(\displaystyle y=\frac{4}{3}x-10\). Ebből következik, hogy \(\displaystyle p\) lehetséges értékei 10 és \(\displaystyle -10\).
6. Zsigri tanár úr egy magánnyugdíj-megtakarítási konstrukcióban vesz részt: 2001 első banki napján, és azóta is minden hónap első banki napján befizetett \(\displaystyle 40\;000~\mathrm{Ft}\)-ot. A nyugdíjpénztár mindvégig havi \(\displaystyle 0{,}4\%\)-os kamatot biztosít. Az állam, hogy támogassa az öngondoskodást, az adott évben befizetett összeg \(\displaystyle 5\%\)-át, de legfeljebb évi \(\displaystyle 25\;000~\mathrm{Ft}\)-ot, a következő év első banki napján befizeti a pénztártag számlájára.
a) Mekkora összeg lesz a tanár úr számláján 2026 első banki napján? (2026-ban már nem fizet be tanár úr és már nem is számol kamatot a bank, csak az állami jóváírást 2025-re.) (7 pont)
A 2026-ra összegyűlt pénz egy részéből Zsigri tanár úr világkörüli utazásba kezd, de 12 millió Ft-ot a számlán hagy majd, hogy abból havi állandó összegű nyugdíj kiegészítést kapjon pont 20 éven keresztül. (A pénztár minden hónap első napján jóváírja a kamatot, majd díjmentesen átvezeti a tanár úr normál bankszámlájára a nyugdíjkiegészítés összegét.)
b) Mekkora havi nyugdíjkiegészítéssel számolhat ebből a tanár úr, ha a pénztár továbbra is fix \(\displaystyle 0{,}4\%\)-os havi kamatot biztosít a számlán maradó pénzre? (6 pont)
Minden egyes évben \(\displaystyle 0{,}002\) annak a valószínűsége, hogy ez a nyugdíjpénztár kamatot csökkent.
c) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a teljes folyamat 45 éve alatt egyszer sem fog kamatot csökkenteni a pénztár? (3 pont)
Megoldás. a) Minden évben összesen \(\displaystyle 12\cdot 40\;000=480\;000\) Ft a befizetés, amiből az állami jóváírás ennek 5%-a: \(\displaystyle 24\;000\) Ft. Mivel a betett \(\displaystyle 40\;000\) forintok havonta kamatoznak, ezért egy év múlva a számlán:
\(\displaystyle A_1= \underbrace{40\;000\cdot 1{,}004^{12}+40\;000\cdot 1{,}004^{11}+\ldots+40\;000\cdot 1{,}004}_{\text{2001. évi betett összegek}}+ \underbrace{40\;000}_{\text{2002 elején betett összeg}}+ \underbrace{24\;000}_{\text{állami jóváírás}} \)
forint lesz.
A 25 év alatt 300 hónap telik el, amiből a tanár úr által betett összegek és az állami jóváírások is tovább kamatoznak, de az állami jóváírások csak 12 havonta adódnak hozzá, így 25 év múlva, tehát 2026 első banki napján a számlán:
Ezt az összeget két mértani sorozat első néhány tagjának összegére bonthatjuk: a havi betett pénzekhez tartozó mértani sorozat kvóciense \(\displaystyle 1{,}004\), és 300-tagú az összeg; a jóváírásokhoz tartozó mértani sorozat kvóciense \(\displaystyle 1{,}004^{12}\), és 25-tagú az összeg;
tehát a tanár úr számláján 24,345 millió forint lesz.
b) Jelöljük \(\displaystyle x\)-szel a kapott havi összegeket és \(\displaystyle B_n\)-nel az \(\displaystyle n\). hónap végén a számlán maradó összeget: \(\displaystyle B_1=12\cdot 10^6\cdot 1{,}004-x\), \(\displaystyle B_2=(12\cdot 10^6\cdot 1{,}004-x)\cdot 1{,}004-x={12\cdot 10^6\cdot 1{,}004^2-x\cdot 1{,}004-x}\), és hasonlóan az utolsó, 240. hónap végére: \(\displaystyle B_{240}=12\cdot 10^6\cdot 1{,}004^{240}-x\cdot 1{,}004^{239}-x\cdot 1{,}004^{238}-\ldots-x\cdot 1{,}004-x\).
Mivel az összeg éppen elfogy, így
\(\displaystyle 12\cdot 10^6\cdot 1{,}004^{240}-x\cdot \left(1{,}004^{239}+1{,}004^{238}+\ldots+1{,}004+1\right)=0. \)
A zárójelben szereplő kifejezés egy mértani sorozat első 240 tagjának összege, így
\(\displaystyle 12\cdot 10^6\cdot 1{,}004^{240}=x\cdot \frac{1{,}004^{240}-1}{1{,}004-1}, \)
amelyből \(\displaystyle x=12\cdot 10^6\cdot 1{,}004^{240}\cdot \frac{1{,}004-1}{1{,}004^{240}-1}=77875\) forint a havi nyugdíjkiegészítés.
c) 0,998 a valószínűsége, hogy egy adott évben nem csökkent kamatot a pénztár. Annak a valószínűsége, hogy 45 év alatt egyik évben sem csökkent: \(\displaystyle 0{,}998^{45}\approx 0{,}914\).
7. Egy szellemvasút olyan szörnyszáj alakú cégért készít, amely terveinek határvonalait a koordináta-rendszerben az \(\displaystyle y=x+5\) egyenletű egyenes, illetve az
\(\displaystyle f(x)=2x^2-4x+2\quad \text{és a}\quad g(x)=-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{13}{8} x+\frac{3}{4} \)
függvények görbéi határozzák meg.
Hány deciliter piros festéket kell használni a nyelvhez és hány deciliter szürke festéket a száj belsejének befestéséhez, ha négyzetméterenként \(\displaystyle 7~\mathrm{dl}\) festék szükséges mindkét színből, és a koordináta-rendszer tengelyein a terveken az egységek valóságban \(\displaystyle 50~\mathrm{cm}\)-nek felelnek meg? (A fogakat egy fehér ledlámpa szolgáltatja majd, de az alatta lévő területet is befestik szürkére.) Válaszait egészre kerekítve adja meg! (16 pont)
\(\displaystyle f(x)\) függvény minimummal rendelkező, \(\displaystyle g(x)\) pedig maximummal rendelkező másodfokú függvény, ezek grafikonja a száj és nyelv megfelelő határvonalai.
A nyelv és a száj csatlakozásának pontos helyét az \(\displaystyle f(x)=g(x)\) egyenlet megoldásai adják:
\(\displaystyle 2x^2-4x+2=-\frac{1}{2}x^2+\frac{13}{8}x+\frac{3}{4}, \)
innen \(\displaystyle \frac{5}{2}x^2-\frac{45}{8}x+\frac{5}{4}=0\), amiből \(\displaystyle x_1=\frac{1}{4}\) és \(\displaystyle x_2=2\).
A száj ferde határolóegyenese és a konvex határolófüggvény metszéspontjaihoz az \(\displaystyle 2x^2-4x+2=x+5\) egyenletet megoldásait kell kiszámolni, amelyek \(\displaystyle x_3=-\frac{1}{2}\) és \(\displaystyle x_4=3\).
Tehát a piros nyelv területét az alábbi határozott integrállal kapjuk:
Egy egységnégyzet valódi területe \(\displaystyle T_{e^2}=50~\mathrm{cm}\cdot 50~\mathrm{cm}=2500~\mathrm{cm}^2=0{,}25~\mathrm{m}^2\). Tehát a két színes terület a valóságban: \(\displaystyle T_{\text{nyelv}}=2{,}233\cdot 0{,}25\approx 0{,}558~\mathrm{m}^2\) és \(\displaystyle T_{\text{száj}}=14{,}292\cdot 0{,}25\approx 3{,}573~\mathrm{m}^2\).
Tehát a szürke terület nagysága: \(\displaystyle T_{\text{szürke}}=3{,}573~\mathrm{m}^2-0{,}558~\mathrm{m}^2=3{,}015~\mathrm{m}^2\).
Így a szürke festékből \(\displaystyle 3{,}015\cdot 7\approx 21\) dl szükséges, piros festékből pedig \(\displaystyle {0{,}558\cdot 7}\approx 4~\mathrm{dl}\)-re van szükség.
8. Egy egyenlő szárú háromszög alapja \(\displaystyle 10\) egység, szárai \(\displaystyle 13\) egység hosszúak. A háromszögbe téglalapokat írunk, amelyeknek egyik oldala a háromszög alapjára esik, a másik két csúcsa pedig a háromszög egy-egy szárára.
a) Mekkora a téglalap területe, ha háromszög alapjára eső oldalhossza \(\displaystyle 8\) egység? (5 pont)
b) Mekkorák a maximális területű beírható téglalap oldalai? (5 pont)
A háromszöget kétféleképpen megforgatjuk: A) az alapja körül, B) az egyik szára körül.
c) Mekkora az A), illetve a B) esetben keletkezett testek felszíneinek aránya? Az arány pontos értékét adja meg! (6 pont)
a) Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú háromszög alapja \(\displaystyle AB\), a beírt téglalap legyen \(\displaystyle EGHI\) (lásd ábra).
A háromszög alaphoz tartozó magassága a téglalapnak és a háromszögnek is szimmetriatengelye, ezért \(\displaystyle AF=FB=5\) egység és \(\displaystyle EF=FG=4\) egység.
Az \(\displaystyle AFC\) háromszögben a Pitagorasz-tétel miatt \(\displaystyle CF=\sqrt{13^2-5^2}=12\).
Az \(\displaystyle AFC\) és \(\displaystyle IKC\) háromszögek hasonlóak, mivel megfelelő oldalaik párhuzamosak (vagy a párhuzamos szelőszakaszok tétele miatt), így a megfelelő oldalak arányára felírható: \(\displaystyle \frac{4}{5}=\frac{12-KF}{12}\), amiből \(\displaystyle KF=2{,}4\), így az \(\displaystyle EGHI\) téglalap területe \(\displaystyle 8\cdot 2{,}4=19{,}2\) (területegység).
b) Legyenek a maximális területű téglalap oldalai \(\displaystyle 2x\) és \(\displaystyle y\). Ekkor az előző alponthoz hasonlóan: \(\displaystyle \frac{x}{5}=\frac{12-y}{12}\), amiből \(\displaystyle y=12-2{,}4x\) és így a téglalap területe \(\displaystyle T(x)=x\cdot(12-2{,}4x)\).
A terület függvénye olyan másodfokú függvény, amelynek maximuma van, és mivel a két zérushelye \(\displaystyle x_1=0\) és \(\displaystyle x_2=\frac{12}{2{,}4}=5\), így a maximumhelye \(\displaystyle x_{\text{max}}=\frac{x_1+x_2}{2}=2{,}5\). Tehát a maximális területű téglalap oldalai \(\displaystyle 2x=5\), illetve \(\displaystyle y=12-2{,}4x=6\) egység hosszúak.
c) Az A) esetben olyan kettős kúpot kapunk, amelynek alkotója 13 egység, alapkörének sugara 12 egység. Így a kettős kúp felszíne: \(\displaystyle A_A=2\cdot 12\cdot 13\cdot\pi=312\pi\) (területegység).
A B) esetben olyan kettős kúpot kapunk, amely alapkörének sugara az egyenlő szárú háromszög szárához tartozó magassága: \(\displaystyle m_b\). Az egyenlő szárú háromszög területét kétféleképp felírva: \(\displaystyle T_{\triangle}=\frac{10\cdot 12}{2}=\frac{13\cdot m_b}{2}\), az egyenletből adódik, hogy \(\displaystyle m_b=\frac{120}{13}\) (egység).
Így a kettőskúp felszíne: \(\displaystyle A_B=\frac{120}{13}\cdot 10\cdot\pi+\frac{120}{13}\cdot 13\cdot\pi=\frac{2760}{13}\pi\) (területegység).
Vagyis a két keletkezett forgástest felszínének aránya:
\(\displaystyle \frac{A_A}{A_B}=\frac{312\pi}{\frac{2760}{13}\pi}=\frac{169}{115}. \)
9. Egy ellenőrzés során azt vizsgálták, hogy az \(\displaystyle 1~\mathrm{kg}\)-os csomagolású rizs tömege valójában mennyire tér el az \(\displaystyle 1000\) grammtól. Két sorozatban \(\displaystyle 8\)-\(\displaystyle 8\) mérést csináltak, az eredményeket az alábbi táblázatba foglalták.
a) Hány gramm az első méréssorozat átlaga és szórása? Válaszát egy tizedesjegy pontossággal adja meg! (3 pont)
b) Készítsen sodrófa (boxplot) diagramot az első méréssorozat adatairól! (5 pont)
A második méréssorozat szórása \(\displaystyle 1{,}5\) gramm.
c) Mi lehetett a táblázat hiányzó adata? (8 pont)
Megoldás. a) \(\displaystyle \overline{x}=\frac{1+3+5{,}5+2{,}5+3+6+5}{8}=3{,}25\approx 3{,}3\) gramm.
\(\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{2{,}25^2+0{,}25^2+2{,}25^2+2\cdot0{,}75^2+2{,}75^2+1{,}75^2+3{,}25^2}{8}}=2{,}0\) gramm.
b) A medián: \(\displaystyle Me=3\), az alsó kvartilis: \(\displaystyle Q_1=\frac{x_2+x_3}{2}=1{,}75\), a felső kvartilis: \(\displaystyle Q_3=\frac{x_6+x_7}{2}=5{,}25\).
Így a sodrófadiagram:
c) Legyen a hiányzó adat \(\displaystyle a\), az adatok átlaga pedig \(\displaystyle b\). Ekkor \(\displaystyle 8b=4\cdot 3+3\cdot 6+a\), amiből \(\displaystyle a=8b-30\). Ekkor a szórásnégyzetre felírhatjuk az alábbi egyenletet:
\(\displaystyle \frac{4\cdot(3-b)^2+3\cdot(6-b)^2+(8b-30-b)^2}{8}=\left(\frac{3}{2}\right)^2, \)
ahonnan \(\displaystyle 56b^2-480b+1026=0\).
Az egyenlet gyökei: \(\displaystyle b_1=\frac{9}{2}\) és \(\displaystyle b_2=\frac{57}{14}\), amelyekből a hiányzó adat: \(\displaystyle a_1=8\cdot \frac{9}{2}-30=6\) (gramm) vagy \(\displaystyle a_2=8\cdot \frac{57}{14}-30=\frac{18}{7}\) (gramm) lehet.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
1. Határozza meg a természetes számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amely értelmezési tartománya lehet az alábbi kifejezéseknek.
a) \(\displaystyle \log_x(-2x^2-7x+15)\) (6 pont)
b) \(\displaystyle \sqrt{\dfrac{x^2-2x}{-2x^2- 7x+15}}\) (6 pont)
2. a) Tízes számrendszerben hány jegyű szám az \(\displaystyle 5^{29}\)?
b) Egy mértani sorozat első tagja \(\displaystyle 5^{-29}\), kvóciense 5. Az első tagtól kezdve legalább hány tagot kell ...
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
