Megoldásvázlatok a 2025/9. szám matematika gyakorló feladatsorához

Az ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium matematika munkaközössége

I. rész

1. Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!

\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)

(13 pont)

Megoldás. Az értelmezési tartomány a logaritmikus kifejezés miatt \(\displaystyle 9-x>0\), így \(\displaystyle x<9\), továbbá a négyzetgyökös kifejezés miatt \(\displaystyle x^2-5x-14\ge 0\), amiből \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle x\geq 7\) (összesítve: \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle 7\leq x<9\)).

Egy szorzat pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így a lehetséges esetek:

1. \(\displaystyle \lvert5-x\rvert=0\), azaz \(\displaystyle 5-x=0\), ahonnan \(\displaystyle x=5\), de ez nem eleme a fenti értelmezési tartománynak; \(\displaystyle \lg(9-x)=0\), tehát \(\displaystyle 9-x=1\), amiből \(\displaystyle x=8\), és ez megoldás;

2. \(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}=0\), vagyis \(\displaystyle x^2-5x-14=0\), amiből \(\displaystyle x=-2\) és \(\displaystyle x=7\) is megoldás; \(\displaystyle \sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=0\)-ból következik, hogy \(\displaystyle 2x+\frac{\pi}{6}=k\pi\), ahol \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\), ezt átrendezve \(\displaystyle {x=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}}\), de az értelmezési tartomány miatt, csak \(\displaystyle {k<-1}\), illetve \(\displaystyle {k=5}\) esetén kapunk megoldást.

Tehát összesítve: \(\displaystyle x\in \{-2;7;8\}\cup \left\{-\frac{\pi}{12}+k\cdot \frac{\pi}{2}\mid k<-1\text{ vagy }k=5\right\}\) (ahol \(\displaystyle {k\in \mathbb{Z}}\)), és a kapott megoldások igazzá teszik az egyenletet (ekvivalens átalakításokat végeztünk).