75 éves a Matematikai Kutatóintézet

Pálfy Péter Pál

A magyar matematika egyik fellegvára – az egyetemek mellett – a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet.

A KöMaL rendszeres feladatmegoldói közül is sokan jártak már az intézet épületében, hiszen gyakran rendeznek itt matematikai válogatóversenyeket, és itt szokott sorra kerülni a Kürschák József tanulóverseny eredményhirdetése is. Emellett az intézet minden évben várja az érdeklődőket szeptember végén a Kutatók Éjszakája keretében és áprilisban a Lányok Napján. De egyénileg is fel lehet keresni az intézetet, e cikk írója például nyolcadikosként lépett be először – megilletődötten – a Reáltanoda utcai palota kapuján, a szakmódszertani csoport egyik munkatársához igyekezvén. Sőt, olyan középiskolások is voltak, akik az itt dolgozó matematikusokkal közös kutatást végeztek, legutóbb például Miranda Anna Christ kapcsolódott be a mesterséges intelligencia matematikai alapjaival foglalkozó vizsgálatokba.

Előadás a Nagyteremben

Az intézményt 1950-ben alapították a Magyar Tudományos Akadémia Alkalmazott Matematikai Intézete néven. A kommunista ideológia szerint ,,a tudomány közvetlen termelőerővé válik'', ennek megfelelően az intézet feladata a népgazdaság fejlődésének segítése volt a tudomány eszközeivel. Az intézet vezetésével az akkor mindössze 29 éves sztármatematikust, Rényi Alfrédot bízták meg. Rényi bölcsen hagyta, hogy a kötelező feladatok elvégzése mellett az intézetbe toborzott kiváló matematikusok elméleti kérdésekkel is foglalkozzanak, hiszen az alkalmazott és az elméleti matematika összetartozik, együtt művelve a két irányt sokkal eredményesebb lesz a munka. Ezt az Akadémia vezetésével is sikerült elfogadtatnia, ennek megfelelően már 1955-ben a Matematikai Kutató Intézet elnevezés került a cégtáblára. Rényi Alfréd sajnos korán, 49 évesen elhunyt. Az intézet 1999 óta viseli alapító igazgatójának a nevét.

Rényi Alfréd

Laikusok sokszor szegezik nekem a kérdést, amikor megtudják, hol dolgozom: ,,De hát mit lehet a matematikában kutatni? Nincs már minden felfedezve?'' Ennek a vélekedésnek talán ott lehet keresni az alapját, hogy míg a fizikában, a kémiában, a biológiában a középiskolai tananyagban is szerepelnek olyan tudományos felismerések, amelyek a huszadik, sőt a huszonegyedik században születtek, a középiskolás matematikában szinte kizárólag több évszázaddal korábbi tudás átadására törekszenek. Hogy lássuk, ma is születhetnek új felfedezések a matematikában, bemutatok két olyan nagy hatású eredményt, amelyek a Matematikai Kutatóintézethez kötődnek.

Az egyik Szemerédi Endre híres számelméleti tétele, amely 1975-ben jelent meg. Legyen \(\displaystyle A\) a pozitív egész számoknak egy sűrű részhalmaza. Ez azt jelenti, hogy van olyan \(\displaystyle \varepsilon>0\), hogy minden (elég nagy) \(\displaystyle N\) számra az 1, 2, 3, ..., \(\displaystyle N\) számok között legalább \(\displaystyle \varepsilon N\) eleme van az \(\displaystyle A\) halmaznak. Erdős Pál és Turán Pál az 1930-as években fogalmazták meg azt a sejtést, hogy ekkor \(\displaystyle A\)-ban mindig van \(\displaystyle k\)-tagú számtani sorozat, bárhogy is adjuk meg a \(\displaystyle {k>2}\) számot. Már a \(\displaystyle k=3\) eset is nagyon nehéznek bizonyult, erre 1953-ban Klaus Roth talált bizonyítást.

Szemerédi Endre

A sejtést teljes általánosságban aztán Szemerédi Endrének sikerült bizonyítania. Rendkívül bonyolult kombinatorikus jellegű érvelésének egyik alappillére az úgynevezett regularitási lemma, amely – kicsit pontatlanul fogalmazva – azt mondja ki, hogy egy nagy gráf kis hibával mindig felbontható olyan részekre, amelyek között a kapcsolat úgy látszik, mintha véletlenszerű lenne. Közel két évtizedet kellett várni arra, hogy ez a meglepő felismerés a kombinatorika egyik alapvető módszerévé fejlődjön, de azóta rengetegen hivatkoznak rá. Ezért és számos más kiemelkedő eredményéért ítélték oda Szemerédi Endrének 2012-ben az Abel-díjat, a legjelentősebb nemzetközi matematikai díjat.

Szemerédi EndreErdős Pál, Turán Pál és Rényi Alfréd

A másik kiválasztott eredmény Erdős Pál és Rényi Alfréd nevéhez fűződik. 1959-ben és 1960-ban két cikkben foglalkoztak a véletlen gráfok vizsgálatával. A ma oly népszerű hálózatelméletben gyakorta hivatkoznak erre az Erdős–Rényi-féle modellre. A gráf csúcsainak száma legyen adott, jelöljük \(\displaystyle n\)-nel. Emellett rögzítsünk még egy \(\displaystyle p\) valószínűséget is. A gráf éleit véletlenszerűen fogjuk választani, mégpedig bármelyik két csúcs között egymástól függetlenül \(\displaystyle p\) valószínűséggel húzunk élet. (Ha például \(\displaystyle n=5\) és \(\displaystyle p=1/6\), akkor mind a 10 csúcspárra elvégzünk egy kockadobást, ha 6-ost dobunk, akkor összekötjük azt a két csúcsot, ha mást mutat a dobókocka, akkor ott nem lesz éle a gráfnak.) Erdős és Rényi az így kapott véletlen gráfnak különböző tulajdonságait vizsgálta, például hogy mekkora valószínűséggel lesz a kapott gráf összefüggő, azaz bármely csúcsából bármelyik másik csúcsba el lehet jutni éleken haladva. Ha \(\displaystyle p\) kicsi, akkor a véletlen gráfnak nagy valószínűséggel csak kevés éle lesz, nem várható, hogy összefüggő legyen. Ha \(\displaystyle p\) nagy, akkor sok él lesz, számíthatunk rá, hogy a gráfunk összefüggő. Hol van az átmenet? Erdős és Rényi azt találta, hogy ha \(\displaystyle p=(\ln n+c)/n\), akkor annak a valószínűsége, hogy a gráf összefüggő, körülbelül \(\displaystyle \exp\bigl(-\exp(-c)\bigr)\), ahol mind az \(\displaystyle \ln\) logaritmusfüggvénynek, mind az \(\displaystyle \exp\) exponenciális függvénynek az alapja az \(\displaystyle e=2{,}71828{\dots}\) szám. Figyeljünk fel arra, hogy az átmenet nagyon gyors: Ha \(\displaystyle n\) nagyon nagy, akkor a \(\displaystyle p\) valószínűség igen kicsi változásán múlhat, hogy a gráf összefüggő-e. Hasonlít ez ahhoz, ahogy egy tó befagy: először csak kisebb jégtáblák jelennek meg, majd a hőmérséklet egy csekély csökkenése mellett hirtelen beáll a jég.

Lovász László

Ma is számos témában folytatnak kiemelkedő kutatásokat az intézet munkatársai. A jövő dönti el, hogy ezek közül melyek fognak szerepelni egy hasonló írásban 25 vagy 50 év múlva. Mindenesetre számos jel mutatja a Rényi Intézet nagy nemzetközi elismertségét. Évről-évre több jelentős konferenciát rendez az intézet, amelyeken a tudományterület legnagyobb alakjai tartanak előadásokat. Az Európai Kutatási Tanács (European Research Council, rövidítve ERC) kutatási pályázatain a Rényi Intézet a legeredményesebb magyar intézmény. Az utolsó negyedszázadban a négy évenként megrendezett Matematikai Világkongresszusok mindegyikén volt rényis kutató a rangot jelentő meghívott előadók között. A munkatársak közül többen tagjai a Magyar Tudományos Akadémiának, illetve külföldi akadémiáknak. Számos hazai és nemzetközi díjat kaptak, amelyek közül kiemelkedik Szemerédi Endre (2012) és Lovász László (2021) Abel-díja.

„Aranycsapat” – A Rényi Intézet ERC pályázatot elnyert kutatói 2021-ben

Az intézet 1958 óta található Budapest Belvárosában, a Reáltanoda utca 13–15. címen. Előtte lakásokból átalakított irodákban helyezték el a kutatókat, például a Sztálin (ma Andrássy) út 31-ben. Az intézet mai otthona az 1880-as években épült báró Redl Béla palotájaként. A báró halála után az épületet a Magyar Mérnök- és Építész-Egylet vásárolta meg, és elnökének, Hauszmann Alajosnak a tervei alapján kibővítette. Ekkor épült az udvari szárny, az előadóteremben ma is megfigyelhetők különböző mérnöki jelképek. A második világháború után államosították a házat, különböző intézmények (például népi kollégium) működtek benne, mielőtt még a matematikusok birtokba vehették. A legenda szerint itt volt irodája az Ebtenyésztők Egyesületének is, aminek emlékét ma is őrzi az egyik szemináriumi szoba elnevezése, ez a Kutyás terem.

A Rényi Intézet épülete a Reáltanoda utca 13–15. alatt

A Rényi Intézetben a különböző matematikai ágakat (algebra, geometria, analízis, valószínűségszámítás, kombinatorika, topológia stb.) művelő osztályok mellett működik egy Szakmódszertan Osztály is, ahol a matematika oktatásának elméleti alapjaival foglalkoznak, szoros kapcsolatban a gyakorló pedagógusokkal. Bízom benne, hogy – ahogyan egykor én magam is – a KöMaL mai olvasói közül is sokan kapcsolatba kerülnek a Rényi Intézet szakmódszertani kutatóival és lesznek közülük, akik majd a jövőben munkahelyüknek választják ezt a nagy múltú intézményt.

Pálfy Péter Pál