Fried Katalin
A KöMaL 74. évfolyam 7. számában jelent meg a B. 5390. feladatnak két szép versenyzői megoldása. A feladat:
B. 5390. Léteznek-e olyan \(\displaystyle a_0\), \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle a_{n-1}\) páros egész számok, amelyekre az \(\displaystyle x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\) polinom osztható az \(\displaystyle x^2+x+1\) polinommal?
Vagyis – kicsit másképpen fogalmazva – a feladatban arra kerestük a választ, hogy van-e olyan \(\displaystyle s(x)\) polinom, amellyel megszorozva a \(\displaystyle q(x)=x^2+x+1\) polinomot olyan \(\displaystyle p(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\) (nem azonosan nulla) egész együtthatós polinomot kapunk, amelynek ismeretlen együtthatói páros számok.
A legtöbb megoldó ,,visszaszorzással'' kereste az \(\displaystyle s(x)\) polinomot – és indirekt úton mutatta meg, hogy ilyen nincs.
Többen viszont polinomosztással oldották meg a feladatot. Mivel a kétféle hozzáállás lényegében ugyanazt a gondolatmenetet követi, ilyen megoldást nem közöltünk, ám a polinomosztásról, illetve a feladat polinomosztással történő megoldásáról érdemes néhány szót ejteni.
