KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. október 10-én LEJÁRT.


K. 85. Andi és Bandi rosszalkodnak. Először Andi áll föl egy székre és a feje búbja 30 cm-rel van magasabban a padlón álló Bandiénál. Mikor cserélnek, és Bandi áll a széken, fél méterrel van magasabban a feje teteje, mint a padlón álló Andié. Milyen magas a szék?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 86. Egy nagy kocka egységnyi élű kicsiny kockákból van összerakva. Közülük összesen 80 olyan van, amelyik a nagy kocka élein vagy csúcsaiban helyezkedik el. Hány kockából építettük a nagy kockát?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 87. Az egyenlő szárú Pitagorasz-fa a következőképpen nő: első évben kinő a törzse, amely egy négyzet. A második évben ennek tetején egy egyenlő szárú derékszögű háromszög nő úgy, hogy átfogója a négyzet felső éle, valamint a háromszög két befogójából kiágazik az első két ág, amelyek szintén négyzetek. Ezután minden évben ez ismétlődik, azaz minden korábbi négyzet felső élére egy egyenlő szárú derékszögű háromszög nő, és azok befogói új négyzetágakat növesztenek. Feltéve, hogy a fa törzse (azaz az első négyzet) oldala 8 méter, a negyedik év végén milyen magas, illetve milyen széles lesz a fa? (Segítség: rajzoljuk le a fát méretarányosan négyzetrácsos lapra.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 88. Egy iskola kilencedik évfolyamán négy osztály van. A négy osztály négynapos erdei iskola programon vett részt. Minden osztály egy nap túrázni ment, a többiek ekkor különböző foglalkozásokon, előadásokon vettek részt. Hétfőn az A osztály túrázott, ekkor 81-en, kedden a B osztály, ekkor 79-en, szerdán a C-sek, ekkor 75-en, csütörtökön pedig a D-sek, ekkor 80-an maradtak a táborban. Hány fős osztályok vannak az évfolyamon?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 89. Mekkora az ábrán látható három egybevágó kör sugara, ha a szabályos háromszög 12 cm oldalhosszúságú?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 90. Az olimpiai ötkarika által meghatározott 9 részbe beírhatjuk az első kilenc pozitív egész számot úgy, hogy minden karikában 14 legyen az összeg. Ezt mutatja az ábra. Keressük meg, hogyan lehet elhelyezni ugyanezt a 9 számot a kilenc részbe úgy, hogy minden karikában 13 legyen az összeg. Keressünk minél több megoldást.

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. október 16-én LEJÁRT.


C. 860. Egy 500 embert érintő felmérés során kiderült, hogy a megkérdezettek 46%-a szereti az eper, 71%-a a vanília, 85%-a csokoládé fagylaltot. Van-e a megkérdezettek között hat olyan ember, aki mind a háromféle fagylaltot szereti?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 861. Egy részleges napfogyatkozásnál, amikor a Hold és a Nap látszólagos átmérője ugyanakkora volt, a maximum pillanatában a holdkorong széle a napkorong középpontjára illeszkedett. Hány százalékos volt a napfogyatkozás?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 862. Adjuk meg azokat az x, y számpárokat, amelyekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

2|x+y|\le|x|+|y|.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 863. Melyek azok az x, y egész számok, amelyekre az

x6-y2=648

egyenlőség teljesül?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 864. Egy ,,kockás lapra'' rajzolt háromszög oldalainak hossza: 2\sqrt{10}, 3\sqrt5 és 5. Bizonyítsuk be, hogy legkisebb szöge 45o-os.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. október 16-én LEJÁRT.


B. 3922. Gondoltam egy hatjegyű számot. Az első számjegyét letöröltem és átírtam a végére, így az eredeti szám háromszorosát kaptam. Melyik számra gondoltam?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3923. A sakktábla néhány mezőjének behúzzuk egy-egy átlóját úgy, hogy semelyik kettőnek ne legyen közös pontja. Legfeljebb hány átlót rajzolhatunk így meg?

(Zrínyi versenyfeladat nyomán)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3924. 27 szabályos dobókockából úgy ragasztottunk össze egy 3×3×3-as kockát, hogy bármely két illeszkedő kis kockán azonos számú pötty van az illeszkedő lapokon. Hány pötty van a nagy kocka felszínén?

Gondolkodás Iskolája, Élet és Tudomány

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 3925. Az ABC körív F felezőpontjának az ABC töröttvonalon levő merőleges vetületét jelölje T. Bizonyítsuk be, hogy T felezi a töröttvonal hosszát.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3926. Anna és Balázs a következő játékot játsszák. Előttük van 10 kupac kavics, az elsőben 1, a másodikban 2, a harmadikban 3, és így tovább, a tizedikben 10 darab kavics. Felváltva lépnek és egy lépésben a soron következő játékos vagy egy kupacot két kisebb részre oszt, vagy pedig egy kupacból elvesz egyetlen kavicsot. A játékot Anna kezdi és az veszít, aki nem tud a szabályok szerint lépni. Kinek van nyerő stratégiája?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3927. Az ABCD tetraéder A csúcsát tükrözzük B-re, B-t C-re, C-t D-re, és D-t az A-ra. Az így kapott pontok legyenek rendre: A', B', C' és D'. Hányszorosa az A'B'C'D' tetraéder térfogata az eredeti ABCD tetraéder térfogatának?

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3928. Az r sugarú kör egy belső pontja P. Egy P csúcsú derékszög szárai messék a kört A-ban és B-ben. A BPA háromszöget egészítsük ki a PAQB téglalappá. Milyen pályán mozog a Q pont, miközben a derékszög körbefordul P körül?

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3929. Bizonyítsuk be, hogy az

{x3}+{y3}={z3}

egyenletnek végtelen sok olyan megoldása van, ahol x, y és z racionális számok, de egyikük sem egész. ({r} az r törtrészét jelöli.)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 3930. Bizonyítsuk be, hogy ha egy konvex sokszög csúcsainak száma oszható 3-mal, akkor felbontható egymást nem metsző átlókkal háromszögekre úgy, hogy a sokszög minden csúcsa páratlan sok háromszögnek pontja.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 3931. Adjunk meg olyan racionális együtthatós p polinomot, amelyre p\big(\sqrt{2} +
\sqrt{3}\,\big)=\sqrt{2}.

Fried Ervin (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. október 16-én LEJÁRT.


A. 404. Egy szabályos 2n-szög csúcsai V_1,V_2,\ldots,V_{2n}. Egy ViVj átlót nevezzünk párosnak, ha i és j azonos paritású.

Bontsuk a sokszöget tetszőleges módon háromszögekre 2n-3 egymást nem metsző átló megrajzolásával. A felbontással a következő műveletet végezhetjük: kiválasztunk két csúcsot, Vi-t és Vj-t, amelyek vagy szomszédosak, vagy pedig egy megrajzolt átló köti össze őket, majd a ViVj egyenes egyik oldalán az összes, a felbontásban szereplő átlót kicseréljük a ViVj szakasz felező merőlegesére vonatkozó tükörképére az ábra szerint.

Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges felbontásból kiindulva, ilyen lépésekkel elérhetjük, hogy minden páros átló páros sorszámú csúcsokat kössön össze.

A 47. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 2. feladata nyomán

(5 pont)

statisztika


A. 405. Az a, b, c, x, y, z valós számokra teljesül, hogy a\geb\gec>0 és x\gey\gez>0. Mutassuk meg, hogy


\frac{a^2x^2}{(by+cz)(bz+cy)} + \frac{b^2y^2}{(cz+ax)(cx+az)} + \frac{c^2z^2}{(ax+by)(ay+bx)}
\ge \frac34 .

Koreai versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 406. Egy P konvex sokszög mindegyik b oldalához hozzárendeljük a legnagyobb területű olyan háromszög területét, aminek egyik oldala b és ami benne van P-ben. Bizonyítsuk be, hogy a P oldalaihoz rendelt területek összege legfeljebb a háromszorosa P területének.

A 47. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia 6. feladata nyomán

(5 pont)

statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley