Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A KöMaL 2015. márciusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.


K. 457. A birka-iskola szabálya, hogy aki nem megy be az iskolába, az jutalmat kap. Hétfőn a birka-iskola tanulóinak 10%-a hiányzott. Kedden a hétfői hiányzók 10%-a már jött iskolába, viszont a hétfői jelenlevők 10%-a otthon maradt. A tanulók hány százalékának nem jár jutalom a keddi napért?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 458. Jancsi szöget szeretne venni. Bemegy egy boltba, ahol 10 dkg szög 180 Ft-ba kerül. Itt nem tudja megvenni a kívánt mennyiséget, mert hiányzik hozzá 1430 Ft-ja. Ezért bemegy egy másik boltba, ahol csak 120 Ft-ba kerül 10 dkg szög. Itt megvásárolja azt a mennyiséget, amennyit szeretne, és még marad 490 Ft-ja. Hány kg szögre volt szüksége?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 459. Karcsi bácsi a 2 méter 60 cm-es létráját a falnak támasztva akarta kicserélni a falon levő lámpa kiégett izzóját. Először a létrát úgy támasztotta a falnak, hogy az alja a faltól 156 cm-re volt, de így még nem érte el a lámpát. A létra tetejét 32 cm-rel feljebb kellett emelnie, hogy elérje a lámpát, ezt úgy oldotta meg, hogy közelebb vitte a falhoz a létra alját. Hány centiméterrel vitte közelebb?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 460. Egy 10 egység sugarú kör középpontja az \(\displaystyle O\) pont. A körvonal három pontja (\(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\)) úgy helyezkedik el, hogy az \(\displaystyle O\) pont az \(\displaystyle ABC\) háromszög belsejében van. Tudjuk, hogy az \(\displaystyle AB\) szakasz hossza 12 egység, és az \(\displaystyle ABC\) szög nagysága \(\displaystyle 60^\circ\).

\(\displaystyle a)\) Hány egység távolságra van az \(\displaystyle O\) pont az \(\displaystyle AB\) szakasztól?

\(\displaystyle b)\) Hány egység hosszú az \(\displaystyle AC\) szakasz?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 461. Egy négyzetrácsos papírra rajzoltunk egy koordinátarendszert, majd a papírt összehajtottuk egy egyenes mentén. Az összehajtás során a \(\displaystyle (30;12)\) pont a \(\displaystyle (-2;-4)\) pontra került. Hol metszi a hajtásvonal a tengelyeket?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 462. \(\displaystyle a)\) \(\displaystyle f\) a valós számok halmazán értelmezett függvény. Tudjuk, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) esetén teljesül, hogy \(\displaystyle f(a)-f(b)=f(a\cdot b)\). Mennyi \(\displaystyle f(2015)\) értéke?

\(\displaystyle b)\) Van-e olyan, a valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle g\) függvény, melyre tetszőleges \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) esetén teljesül, hogy \(\displaystyle g(a) - g(b) = 2\cdot g(a\cdot b) - 2\)?

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.


C. 1280. Bizonyítsuk be, hogy ha az \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) természetes számok relatív prímek, akkor \(\displaystyle m+n\) és \(\displaystyle m^2+n^2\) legnagyobb közös osztója 1 vagy 2.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1281. Egy trapéz szárainak metszéspontját jelölje \(\displaystyle M\). Az alapokkal párhuzamos, \(\displaystyle M\)-en átmenő egyenesen jelölje \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) az egyenes metszéspontját a trapéz átlóinak meghosszabbításával. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle |AM|=|BM|\).

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1282. Hány megoldása van a \(\displaystyle 2^{a}+3^{b}+4^{c}+5^{d}+6^{e}=22\) egyenletnek, ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\), \(\displaystyle e\) egész számok?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1283. Az \(\displaystyle ABCD\) trapéz hosszabbik, \(\displaystyle AB\) alapja nem nagyobb a \(\displaystyle CD\) alap háromszorosánál. Felezzék a trapéz területét az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyenesek, melyek rendre párhuzamosak a \(\displaystyle BC\) és \(\displaystyle DA\) szárakkal. Jelölje az \(\displaystyle e\) metszéspontját \(\displaystyle AB\)-vel \(\displaystyle P\), \(\displaystyle f\) metszéspontját pedig \(\displaystyle Q\), továbbá a \(\displaystyle DC\)-vel való metszéspontokat rendre \(\displaystyle P'\) és \(\displaystyle Q'\).

\(\displaystyle a)\) Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyenesek \(\displaystyle M\) metszéspontja illeszkedik a trapéz középvonalára.

\(\displaystyle b)\) Ha a \(\displaystyle PQ'P'Q\) négyszög paralelogramma, akkor hányadrésze lesz a \(\displaystyle MPQ\) háromszög területe az \(\displaystyle ABCD\) trapéz területének?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1284. Magyar kártyából öt lapot húzva melyik eseménynek nagyobb a valószínűsége: annak, hogy az öt lap azonos színű vagy annak, hogy van köztük négy azonos szám vagy figura?

(Német versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1285. Egy egyenlő szárú háromszögbe írható kör sugarának hosszát elosztjuk a körülírható kör sugarának hosszával. Legfeljebb mekkora lehet a kapott hányados?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1286. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle y^2 =x^3-3x^2+2x,\)

\(\displaystyle x^2 =y^3-3y^2+2y.\)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.


B. 4696. Hány olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész szám van, amelyre \(\displaystyle n\) és 2015 mértani és harmonikus közepe is egész szám?

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4697. Bizonyítsuk be, hogy bármely derékszögű érintőtrapéz rövidebbik szára egyenlő az átlók metszéspontján áthaladó, az alapokkal párhuzamos egyenesnek a trapézba eső szakaszával.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4698. Mutassunk példát olyan \(\displaystyle H_1,H_2,\ldots\subset\mathbb{N}\) halmazokra, amelyekre a következő feltételek teljesülnek:

\(\displaystyle a)\) Tetszőleges \(\displaystyle n\) pozitív egészre \(\displaystyle |H_n|=n\).

\(\displaystyle b)\) Tetszőleges \(\displaystyle n\), \(\displaystyle k\) pozitív egészekre \(\displaystyle H_n \cap H_k = H_{(n,k)}\), ahol \(\displaystyle (n,k)\) az \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) legnagyobb közös osztóját jelöli.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4699. Szerkesszünk deltoidot, ha tudjuk, hogy van körülírt köre, adott annak a sugara, valamint a körülírt- és beírt körei középpontjának a távolsága.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4700. Oldjuk meg a

\(\displaystyle \big(\sqrt{1+\sin^2 x}-\sin x\big) \big(\sqrt{1+\cos^2 x}-\cos x\big) =1 \)

egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4701. Legyen \(\displaystyle A_1 B_1 C_1 D_1\) egy négyszög. Ha valamilyen \(\displaystyle n\) pozitív egészre az \(\displaystyle A_n B_n C_n D_n\) pontnégyest már definiáltuk, akkor legyen \(\displaystyle A_{n+1}\) a \(\displaystyle B_{n}C_{n}D_{n}\) háromszög súlypontja; a pontok szerepének ciklikus cseréjével hasonlóan definiáljuk a \(\displaystyle B_{n+1}\), \(\displaystyle C_{n+1}\) és \(\displaystyle D_{n+1}\) pontokat is. Mutassuk meg, hogy akármilyen nagy négyszögből indultunk is ki, az \(\displaystyle A_n\) pontsorozatnak csak véges sok tagja esik az \(\displaystyle A_1 B_1 C_1 D_1\) négyszög súlypontja köré írt egységsugarú körön kívülre.

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4702. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan pont létezik, amely egy adott kocka három páronként kitérő élegyenesétől egyenlő távolságra van.

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4703. Tegyük föl, hogy az \(\displaystyle x_1\), \(\displaystyle x_2\), \(\displaystyle x_3\), \(\displaystyle x_4\), \(\displaystyle x_5\), \(\displaystyle x_6\) számok abszolút értéke legfeljebb 1, összegük pedig 0. Mutassuk meg, hogy

\(\displaystyle 3\sum_{i=1}^{5} {\sqrt{1-x_i^2}} \le \sum_{i=1}^{5} {\sqrt{9-{(x_i+x_{i+1})}^2}}\,. \)

Javasolta: Williams Kada (Szeged, Radnóti M. Gimn.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 4704. A \(\displaystyle k_1\) kör belülről érinti a különböző sugarú \(\displaystyle k_2\) és a \(\displaystyle k_3\) köröket, a \(\displaystyle k_2\) és a \(\displaystyle k_3\) pedig belülről érinti a \(\displaystyle k_4\) kört. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_4\) hatványvonala átmegy \(\displaystyle k_2\) és \(\displaystyle k_3\) külső hasonlósági pontján.

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2015. április 10-én LEJÁRT.


A. 638. Van-e olyan egyszerű, zárt töröttvonal a 3-dimenziós derékszögű koordináta-rendszerben, amelynek mindhárom koordinátasíkra vett merőleges vetülete egy-egy körmentes gráf?

Javasolta: Imre Leader (Cambridge)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 639. Egy háromszög szögharmadoló egyenesei a háromszög belsejében egy konvex hatszöget határolnak. Bizonyítsuk be, hogy ennek a hatszögnek a szemközti csúcsokat összekötő átlói egy pontban metszik egymást.

Javasolta: Bertalan Zoltán (Békéscsaba)

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 640. Határozzuk meg mindazokat a \(\displaystyle p\) prímszámokat és pozitív egész \(\displaystyle n\) számokat, amikre a \(\displaystyle {(k+1)}^n-2k^n\) alakú számok (\(\displaystyle k=1,2,\ldots,p\)) teljes maradékrendszert alkotnak \(\displaystyle p\)-vel osztva.

(5 pont)

megoldás (angolul), statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)