KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2005. márciusi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

A. 368. Az ABC háromszög A csúcsából induló belső szögfelezőnek a k beírt körrel való metszéspontjai közül az A csúcshoz közelebbit jelölje OA; hasonlóan kapjuk a B, illetve a C csúcsokból induló szögfelezőkön az OB, illetve az OC pontokat. Az OA körül szerkesztett, AB-t és CA-t érintő kör legyen kA, az OB körül szerkesztett, BC-t és AB-t érintő kör legyen kB, végül az OC körül szerkesztett, CA-t és BC-t érintő kör legyen kC.

Bizonyítsuk be, hogy a kA, kB, kC köröknek páronként vett, az oldalegyenesektől különböző közös külső érintői egy ponton mennek át.

(5 pont)

Statisztika

A. 369. Adjuk meg az összes pozitív egész n számot, melyre


\sigma(n!)=\frac{(n+1)!}{2}.

(5 pont)

Statisztika

A. 370. Egy kn tagú társaság bármely két tagjához van olyan, aki ismeri őket. Mutassuk meg, hogy ha k<\frac{n}{2\ln n}, akkor van a társaságnak n tagja, akik együtt ismerik a többieket.

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

B. 3802. Hét valós szám közül bármelyik háromnak az összege kisebb, mint a többi négy összege. Bizonyítsuk be, hogy valamennyi szám pozitív.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3803. Három kocka éleinek hossza egész szám. Lehet-e a kockák térfogatának összege 1020+30?

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3804. A zsebünkben van egy 10 Ft-os és néhány (legalább négy) 20 Ft-os. Egymás után találomra kiveszünk egy-egy érmét, míg a kivett összeg 30 Ft pozitív egész számú többszöröse nem lesz. Átlagosan hány húzásra van ehhez szükség?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3805. Egy húrnégyszög oldalai a, b, c, d, kerülete 2s, az a és b oldalak által bezárt szöge pedig \alpha. Mutassuk meg, hogy


\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{(s-a)(s-b)}{(s-c)(s-d)}.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3806. Adott a síkon két egymáson kívül elhelyezkedő kör, és mindegyiküknek egy-egy átmérője, amelyeknek az egyenese érinti a másik kört. Bizonyítsuk be, hogy a két átmérő végpontjai egy trapézt határoznak meg.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3807. Legalább hány csúcsa van egy olyan gráfnak, amelyben nincs 6-nál rövidebb kör és minden csúcsának a foka 3?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3808. A [0;12] intervallumban levő x, y valós számokra:

xy=(12-x)2 (12-y)2.

Mekkora az xy szorzat legnagyobb értéke?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3809. Az ABC egyenlő szárú háromszögben AB = BC. Az AB, BC, CA oldalakon lévő C1, A1, B1 pontokra BC1A1\angle=CA1B1\angle=CAB\angle. Legyen a BB1 és CC1 egyenesek metszéspontja P. Bizonyítsuk be, hogy AB1PC1 húrnégyszög.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3810. Jelölje k(n) az n pozitív egész szám legnagyobb páratlan osztóját, és legyen A(n)=k(1)+k(2)+...+k(n),  B(n)=1+2+...+n. Igazoljuk, hogy végtelen sok n-re teljesül, hogy 3 A(n) = 2B(n).

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3811. Egy négyszög alapú gúla minden éle 1 egység hosszú. Mekkora a gúlába írható gömb sugara?

(3 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. április 15-én LEJÁRT.

C. 800. Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyek 14-szer akkorák, mint a számjegyeik összege.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 801. Az egyiptomi háromszögbe, amelynek oldalai 3, 4, 5 egység hosszúak, írjunk téglalapot, amelynek a csúcsai a háromszög oldalaira illeszkednek és oldalainak aránya 1:3. Határozzuk meg a téglalap oldalainak hosszát.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 802. Összehajtható, téglalap alakú asztalt akarunk készíteni oly módon, hogy az asztallap összecsukva az ABCD, derékszöggel elforgatva az A'B'C'D' és szétnyitva a B1B'C'C1 helyzetben van. Hová kell helyeznünk a forgástengelyül szolgáló csapszeget?

Hogyan válasszuk meg az ABCD asztallap méreteit, ha nagyobb vendégségek esetére szeretnénk fenntartani azt a lehetőséget, hogy a B1B'C'C1 helyzetű nagy asztallapból az előző eljárással (derékszögű elforgatás, majd szétnyitás után) egy még nagyobb asztallapot kapjunk, miközben a csapszeg helye nem változik?

Javasolta: Papp Zoltán Dániel (Szeged)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 803. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\sqrt{7x+y}+\sqrt{x+y}=6

\sqrt{x+y}-y+x=2.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 804. Egy mértani sorozat első eleme 6, az első n elem összege \frac{45}{4}, ugyanezen elemek reciprokainak összege \frac{5}{2}. Melyik ez a mértani sorozat?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. április 11-én LEJÁRT.

K. 37. A boltban papírzacskóba kérünk 5 szem savanyú cukrot, majd egy másik, ugyanolyan zacskóba 10 szemet. (Minden cukorszem tömege egyforma.) Az első zacskóra 85 grammot mérnek, a másodikra 165 grammot. Hány forintot fizetünk egy papírzacskóért (cukor nélkül számolva), ha egy kiló savanyú cukor ára 1200 Ft?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 38. Határozzuk meg egy körbe írt nyolcszög négy olyan belső szögének az összegét, amelyek között semelyik kettő nem szomszédos!

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 39. Az ABCD konvex négyszög határoló vonalát csúcsainál szétvágjuk. A négy oldalszakaszt egy közös O pontba toljuk az ábrán látható módon, úgy, hogy párhuzamosak maradjanak eredeti helyzetükkel. Az oldalszakaszok O-tól különböző végpontjait összekötve egy XYZV négyszöget kapunk. Hányszorosa az XYZV négyszög területe az eredeti ABCD négyszögének?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 40. Egy hatszemélyes dzsipben elöl, hátul 3-3 hely van. Hányféle különböző módon tud 6 különböző magasságú, vezetni tudó ember beülni a dzsipbe, úgy, hogy az első sorban mindenki alacsonyabb legyen a hátsó sorban mögötte ülőnél?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 41. Egy egész szám harmadához hozzáadjuk az egész szám négyzetének felét és a köbének a hatodát. Igazoljuk, hogy így mindig egész számot kapunk.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 42. Binumeriában két törzs él. A két törzs abban különbözik egymástól, hogy más számrendszert használnak, de mindketten tízesnél kisebb alapút. Megkérdeztünk mindkét törzsből egy-egy embert, hogy hányan élnek a törzsükben. Mindketten azt felelték, hogy 10011-en, továbbá az egyikük még hozzátette, hogy a másik törzs 10-val nagyobb alapú számrendszert használ, mint ők, és 1+2=3. Hányan élnek Binumeriában?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley