 |
A K. 880. feladat (2025. december) |
K. 880. Nyolc háromlábú sárkány énekkart alapított. Mint az köztudott, egy háromlábú sárkánynak egy, három, hét vagy kilenc feje van. A háromfejűek minden feje szoprán, a hétfejűek minden feje mezzo, a kilencfejűek minden feje alt szólamban énekel, míg az egyfejűek nem énekelnek, ők csak karvezetők lehetnek. A sárkányoknak összesen kétszer annyi feje volt, mint lába. Hány fej énekelhette az „Ó, ha rózsabimbó lehetnék” című háromszólamú kórusmű egyes szólamait?
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A nyolc sárkánynak 24 lába van, így a fejek száma 48.
Az alábbi táblázat a sárkányok számának szisztematikus alakításával az összesen 48 fejet tartalmazó eseteket mutatja be. (A ... az adott részesetben azt jelzi a táblázatban, hogy azt tovább nézni nem érdemes, mert a sárkányok száma nőni fog.)
| kilencfejű | 5 | 5 | 4 | 4 | 4 | ... | 3 | 3 | 3 | ... | 2 | 2 | 2 | ... | 2 | ... | 1 | 1 | 1 | ... | 0 | 0 | ... | 0 | ... |
| hétfejű | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ... | 3 | 2 | 2 | ... | 4 | 3 | 3 | ... | 2 | ... | 5 | 5 | 4 | ... | 6 | 6 | ... | 5 | ... |
| háromfejű | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | ... | 0 | 2 | 1 | ... | 0 | 3 | 2 | ... | 5 | ... | 1 | 0 | 3 | ... | 2 | 1 | ... | 4 | ... |
| egyfejű | 0 | 3 | 2 | 5 | 0 | ... | 0 | 1 | 4 | ... | 2 | 0 | 3 | ... | 1 | ... | 1 | 4 | 2 | ... | 0 | 3 | ... | 1 | ... |
| sárkányok száma | 6 | 8 | 8 | 10 | 8 | 6 | 8 | 10 | 8 | 8 | 10 | 10 | 8 | 10 | 10 | ... | 8 | 10 | 10 |
A táblázatból jól látható, hogy nyolc olyan eset van, amikor a sárkányok száma \(\displaystyle 8\) és összesen \(\displaystyle 48\) fejük van. Ebből a nyolc esetből azonban a feladat szövegének csak azok felelnek meg, amelyeknél a kilenc, hét, illetve háromfejűek számának egyike sem \(\displaystyle 0\), hiszen a kórusmű háromszólamú. Ennek csak négy lehetőség felel meg, éspedig azok, amikor a kilencfejűek, hétfejűek és háromfejűek száma rendre
\(\displaystyle (4, 1, 1);\qquad (3, 2, 2); \qquad (2, 3, 3);\qquad (1, 5, 1).\)
Eszerint az alt, mezzo és szoprán szólamot rendre
\(\displaystyle (36, 7, 3);\qquad (27, 14, 6); \qquad (18, 21, 9);\qquad (9, 35, 3)\)
fej énekelhette.
Megjegyzés. A négy eset közül a \(\displaystyle (2, 3, 3)\) kivételével mindegyikhez tartozik legalább egy egyfejű sárkány, azaz karvezető. A kórus persze karvezető nélkül is megszólalhat.
Statisztika:
A K. 880. feladat értékelése még nem fejeződött be.
A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai