 |
A K. 880. feladat (2025. december) |
K. 880. Nyolc háromlábú sárkány énekkart alapított. Mint az köztudott, egy háromlábú sárkánynak egy, három, hét vagy kilenc feje van. A háromfejűek minden feje szoprán, a hétfejűek minden feje mezzo, a kilencfejűek minden feje alt szólamban énekel, míg az egyfejűek nem énekelnek, ők csak karvezetők lehetnek. A sárkányoknak összesen kétszer annyi feje volt, mint lába. Hány fej énekelhette az „Ó, ha rózsabimbó lehetnék” című háromszólamú kórusmű egyes szólamait?
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A nyolc sárkánynak 24 lába van, így a fejek száma 48.
Az alábbi táblázat a sárkányok számának szisztematikus alakításával az összesen 48 fejet tartalmazó eseteket mutatja be. (A ... az adott részesetben azt jelzi a táblázatban, hogy azt tovább nézni nem érdemes, mert a sárkányok száma nőni fog.)
| kilencfejű | 5 | 5 | 4 | 4 | 4 | ... | 3 | 3 | 3 | ... | 2 | 2 | 2 | ... | 2 | ... | 1 | 1 | 1 | ... | 0 | 0 | ... | 0 | ... |
| hétfejű | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ... | 3 | 2 | 2 | ... | 4 | 3 | 3 | ... | 2 | ... | 5 | 5 | 4 | ... | 6 | 6 | ... | 5 | ... |
| háromfejű | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | ... | 0 | 2 | 1 | ... | 0 | 3 | 2 | ... | 5 | ... | 1 | 0 | 3 | ... | 2 | 1 | ... | 4 | ... |
| egyfejű | 0 | 3 | 2 | 5 | 0 | ... | 0 | 1 | 4 | ... | 2 | 0 | 3 | ... | 1 | ... | 1 | 4 | 2 | ... | 0 | 3 | ... | 1 | ... |
| sárkányok száma | 6 | 8 | 8 | 10 | 8 | 6 | 8 | 10 | 8 | 8 | 10 | 10 | 8 | 10 | 10 | ... | 8 | 10 | 10 |
A táblázatból jól látható, hogy nyolc olyan eset van, amikor a sárkányok száma \(\displaystyle 8\) és összesen \(\displaystyle 48\) fejük van. Ebből a nyolc esetből azonban a feladat szövegének csak azok felelnek meg, amelyeknél a kilenc, hét, illetve háromfejűek számának egyike sem \(\displaystyle 0\), hiszen a kórusmű háromszólamú. Ennek csak négy lehetőség felel meg, éspedig azok, amikor a kilencfejűek, hétfejűek és háromfejűek száma rendre
\(\displaystyle (4, 1, 1);\qquad (3, 2, 2); \qquad (2, 3, 3);\qquad (1, 5, 1).\)
Eszerint az alt, mezzo és szoprán szólamot rendre
\(\displaystyle (36, 7, 3);\qquad (27, 14, 6); \qquad (18, 21, 9);\qquad (9, 35, 3)\)
fej énekelhette.
Megjegyzés. A négy eset közül a \(\displaystyle (2, 3, 3)\) kivételével mindegyikhez tartozik legalább egy egyfejű sárkány, azaz karvezető. A kórus persze karvezető nélkül is megszólalhat.
Statisztika:
120 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Araczki Ádám, Árvai Csongor, Becker Borbála Réka, Berencsi Linett, Cseh Sára Éva, Csutak András, Dong Xueni, Egyedi Bernadett, Gazsi Levente, Gusztony Dániel, Halmosi Gergely, Hegyi Bálint Botond, Juhász-Nagy Lili, Káló Luca, Komlósi Emma Julianna, Kovács Dániel József , Körmöndi Csanád, Kövecses Lénárd, Lazarovits Frida, Mileff Péter, Molnár Benedek, Németh Fanni, Olti Tamás, Pakó Barnabás, Palik Ábris Csanád, Papp Dénes, Szőnyi Artúr, Tamás Bálint Gábor, Tóth Kinga, Verebély Nadin, Zsuppán Annamária. 4 pontot kapott: 32 versenyző. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 26 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 3 dolgozat.
A KöMaL 2025. decemberi matematika feladatai