A K. 886. feladat (2026. január)

K. 886. Egy autó gumiabroncsa elkopik, ha az első kerékre téve \(\displaystyle 20\,000~\mathrm{km}\)-t fut, vagy ha a hátsó kerékre téve \(\displaystyle 30\,000~\mathrm{km}\)-t fut.

a) Van négy új gumink. Legfeljebb hány km-t tud ezekkel az autó menni, ha a gumikat cserélhetjük az első és a hátsó kerekek között? Hány km megtétele után kell cserélni a gumikat az első és a hátsó kerekek között a maximális távolság eléréséhez?

b) Van öt új gumink. Legfeljebb hány km-t tud az autó ezekkel menni, ha a gumikat cserélhetjük az első és a hátsó kerekek között? Hogyan kell cserélni a gumikat a kerekek között a maximális távolság eléréséhez?

(5 pont)

A beküldési határidő 2026. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. a) Minden guminak ugyanannyi kilométert kell futnia az első keréken, mint amennyit a hátsó keréken. Ha nem így lenne, akkor valamelyik gumi többet, és valamelyik kevesebbet futna az első keréken, mint a hátsó keréken, de ezek nem egyformán kopnának, így valamelyik gumiban még maradna megtehető kilométer. Ha viszont ugyanannyit megy egy gumi elöl, mint hátul (legyen ez \(\displaystyle x\) km), akkor a teljes kopására az \(\displaystyle \dfrac{x}{30\,000}+\dfrac{x}{20\,000}=1\) összefüggés írható fel, ahonnan \(\displaystyle x = 12\,000\). Tehát a gumikkal összesen \(\displaystyle 24\,000\) km tehető meg, és \(\displaystyle 12\,000\) km megtétele után kell cserélni a gumikat az első és a hátsó kerekek között.

b) Öt gumi esetén is minden guminak ugyanannyit kell összesen futnia az első keréken, mint amennyit a hátsó keréken. Ha egy gumi \(\displaystyle 2x\) km-t bír így ki, akkor az 5 gumi összesen \(\displaystyle 10x\) kilométert ment, de mivel egyszerre 4 gumi volt az autón, az autó által megtett távolság \(\displaystyle \frac{10x}{4} = 2,5x\) km. Az előző esetből láthattuk, hogy \(\displaystyle x = 12\,000\), így az autó \(\displaystyle 2,\!5\cdot 12\,000=30\,000\) km-t tud megtenni. A megtett \(\displaystyle 2,5x\) km-ből egy-egy gumi \(\displaystyle x\)–\(\displaystyle x\) km-t ment az első, illetve a hátsó keréken, továbbá \(\displaystyle 0,5x\) km-t pihent. A cseréket tehát \(\displaystyle 6000\) km-enként kell bonyolítani, erre egy lehetséges megoldás az 5 guminak az alábbi körforgása:

Statisztika:

A K. 886. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2026. januári matematika feladatai