 |
A K. 891. feladat (2026. február) |
K. 891. Egy \(\displaystyle 5~\mathrm{cm}\) élhosszúságú fehér színű kocka felületére berajzoljuk pirossal az összes lapátlót.
a) A kocka egyik csúcsából elindul egy rezes futrinka, amely csak a piros színű vonalakon haladhat, és a kocka minden csúcsán keresztülmegy útja során, majd visszatér a kiindulási pontba. Legalább mekkora utat tesz meg így a rezes futrinka?
b) A nagy kockát szétvágjuk \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}\) élhosszúságú kisebb kockákra. Hány olyan kis kocka lesz a szétvágás után, amelynek felületén nincsen piros vonal?
(5 pont)
A beküldési határidő 2026. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. a) Legyen \(\displaystyle e\) egy egységnyi út, amely a lapátló felének hossza, hiszen ennyit mindenképpen irányváltoztatás nélkül megy a futrinka. Mivel a nyolc csúcs mindegyikébe be kell mennie és ki kell belőle jönnie, ezért a futrinkának minimum \(\displaystyle 8\cdot2\cdot e=16e\) utat meg kell tennie. Ilyen bejárás lehet például (az \(\displaystyle A\) csúcsból elindulva, szükség esetén az átlók metszéspontjában irányt változtatva) az \(\displaystyle A-B-E-F-G-H-D-C-A\) útvonal.
Pitagorasz tétele alapján
\(\displaystyle \Big(\frac52\Big)^2+\Big(\frac52\Big)^2=e^2, \text{ amiből } e=\frac{5\sqrt{2}}{2},\)
tehát a futrinkának legalább \(\displaystyle 16e=16\cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2}=40\sqrt{2}\) cm távolságot meg kell tennie.
b) Összesen \(\displaystyle 5^3=125\) darab kis kocka van. A piros vonal átmegy a nagy kocka csúcsainál levő kis kockákon (8 db), továbbá a lapokon (és nem éleken) levő további 5-5 kockán, amelyek a lapátlókat tartalmazzák. Összesen tehát \(\displaystyle 8+6\cdot5= 38\) kis kockán van piros vonal, tehát a fennmaradó \(\displaystyle 125–38=87\) kis kockán nincsen.
Statisztika:
A KöMaL 2026. februári matematika feladatai