 |
A P. 5473. feladat (2023. március) |
P. 5473. Függőlegesen, \(\displaystyle v = 50\) m/s sebességgel fellőtt, \(\displaystyle M = 3\) kg tömegű lövedék \(\displaystyle t = 3\) s múlva két részre robban. Az \(\displaystyle m_1 = 1\) kg tömegű darabja \(\displaystyle t_1 = 1\) s múlva földet ér.
\(\displaystyle a)\) A robbanástól számítva mennyi idő múlva esik le a másik darab?
\(\displaystyle b)\) Ha az elsőnek visszaeső darab a fellövés helyétől 40 m távolságban ért földet, milyen távol lesz a két darab egymástól, amikor a másik is már földet ért?
Közli: Holics László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2023. április 17-én LEJÁRT.
Megoldás.Feltételezzük, hogy a lőpor tömege sokkal kisebb, mint a lövedék össztömege, így vehetjük úgy, hogy a robbanás után a másik darab tömege \(\displaystyle m_2\approx 2\ \rm kg\). Mindkét részt tömegpontnak tekintjük, és a mozgásukat a függőleges hajítás, illetve a ferde hajítás összefüggéseivel írjuk le.
A továbbiakban SI mértékegységekkel (m, m/s, s) fogunk számolni, de ezeket a mértékegységeket az egyszerűség kedvéért nem minden esetben írjuk ki.
A megadott számadatok többsége 1 jegy pontosságú, így a számítást sem érdemes 2 jegynél pontosabban elvégezni. Emiatt a nehézségi gyorsulást (\(\displaystyle g\)) közelíthetjük a \(\displaystyle 10\ \rm m/s^2\)-tel.
A fellőtt lövedék sebessége a robbanás pillanatában \(\displaystyle 50-10\cdot 3=20\ \rm m/s.\) A lövedék átlagsebessége \(\displaystyle (50+20)/2=35\ \rm m/s\), így a robbanás \(\displaystyle h=3\cdot 35=105\ \rm m\) magasságban történt.
Legyen a kisebb tömegű darab sebességének függőleges komponense a robbanás után (lefelé) \(\displaystyle v_1\). Tudjuk, hogy a test \(\displaystyle t_1=1\) másodperc alatt éri el a talajt, így a
\(\displaystyle v_1t+\dfrac{g}{2}t_1^2=h\)
egyenletnek megfelelően
\(\displaystyle v_1=105-5=100\ \rm m/s.\)
Mivel lövedék tömegközéppontjának sebessége a robbanás pillanatában (felfelé) 20 m/s, a kisebb tömegű darab sebessége a tömegközépponthoz viszonyítva (lefelé) pedig 120 m/s volt.
Figyelembe véve a tömegek \(\displaystyle 1:2\) arányát, mondhatjuk, hogy a nagyobb darab sebességének függőleges komponense a robbanást követő pillanatban
\(\displaystyle v_2=20+\frac{120}{2}=80\ \rm m/s\)
volt (felfelé).
\(\displaystyle a)\) Ha a nagyobb tömegű darab a robbanás után \(\displaystyle t_2\) idő múlva ér földet, akkor
\(\displaystyle \frac{g}{2}t_2^2-v_2t_2=h,\)
azaz
\(\displaystyle 5t_2^2-80 \,t_2-105=0.\)
Ennek a másodfokú egyenletnek a pozitív megoldása:
\(\displaystyle t_2\approx 17\ \rm s.\)
\(\displaystyle b)\) A kisebb tömegű rész sebességének vízszintes komponense a robbanáskor \(\displaystyle u_1=40\) m/s, hiszen 1 másodperc alatt teszi meg a 40 méteres utat. A másik darab vízszintes sebességkomponensének nagysága (a tömegaránynak megfelelően) \(\displaystyle u_2= 20\) m/s, iránya \(\displaystyle u_1\)-gyel ellentétes. Ezek szerint a 2 kg-os darab \(\displaystyle t_2\) idő alatt vízszintes irányban \(\displaystyle u_2t_2\approx 340\) métert mozdul el. A két darab távolsága a földet érésük után körülbelül \(\displaystyle 40+340=380\) méter. (Ennél pontosabban megadni az eredményeket, vagy esetleg \(\displaystyle g=9{,}81 \rm m/s^2\)-tel számolva pontosítani azokat a megoldás elején írtak szerint értelmetlen.)
Statisztika:
76 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Barna Márton, Boér Panna Rita, Bogdán Benedek, Bunford Luca, Chrobák Gergő, Csilling Dániel, Csiszár András, Csonka Illés, Dancsák Dénes, Dercsényi Bence, Fajszi Karsa, Farkas Dorka Hanna, Fehérvári Donát, Fórizs Borbála, Halász Henrik, Hegedűs Máté Miklós, Katona Attila Zoltán, Klement Tamás, Márfai Dóra, Masa Barnabás, Molnár Kristóf, Molnár Zétény, Nagy 456 Imre, Nemeskéri Dániel, Richlik Márton, Schmercz Blanka, Szabó Zsombor, Tatár Ágoston, Tomesz László Gergő, Vágó Botond, Vincze Farkas Csongor, Wodala Gréta Klára. 3 pontot kapott: Beke Bálint, Csóka Péter, Kátai Ferdinánd, Kis Márton Tamás, Kovács Barnabás, Kovács Kristóf , Saller Bálint , Seprődi Barnabás Bendegúz, Sipeki Árpád, Szabó Imre Bence, Szabó Márton, Szegedi Ágoston. 2 pontot kapott: 14 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2023. márciusi fizika feladatai