Fórum: "ujjgyakorlatok"

Elnézést, ha félreérthető voltam. Igen, ez nálam egy probléma sajnos, hogy sokszor félre beszélek. De most az igazamat próbálom védeni, ennyi a lényeg, nem teszek fel kérdést vagy feladatot konkrétan. Olyan információk érkeztek hozzám, miszerint kétségessé vált, hogy ez, az ujjgyakorlatok-[938]-as vagy ez, az ujjgyakorlatok-[942]-es, esetleg ez, az ujjgyakorlatok-[972]-es saját észrevételem volna, ezeket én is csak máshol láthattam (mégegyszer: több éven át ezt senki nem vonta kétségbe, hogy az eredeti gondolat mögött - még ha számos hibát vétettem is, én magam vagyok, azaz most kivételesen vállalom a nevem, (bár nem szeretem): Borsós Pál észrevételei ezek mind, kivétel nélkül itt, a KÖMAL-fórumon legelőször publikálva): Nem illendő azt feltételezni rólam, hogy ezek a forrás megjelölések/eredet ellenére is "lopott" vagy "nem hihető" a megfigyeléseim volnának, vagyis azok nem saját ötletekből jöttek, bár elismerem bizonyításokat sosem közöltem hozzá!) Eredeti és saját észrevételeket írtam le, ezért védem az igazam: ez volt a hozzászólásom lényege. A kétségek alapját az adhatta, hogy itt utólag a Trigonometria-[62]-esnél már valóban géppel ellenőrizve vettem észre az elírásom, illetve az, hogy ehhez az Érdekes matematikai szemléltetések-[19],[20]-asánál lévő képhez írt kommentem is teljes butaság jól láthatóan (sőt a javítás is!) de mondjuk, hogy azt, aki ellenőrzi majd, hamar észreveszi úgyis, a többieknek meg minek... (de ettől még a többi felismerést pontosan leírtam, hogy született.)

Szia PAL,

Ne haragudj, de a hozzászólásaid áttekinthetetlenek.

Körmondatokban beszélsz, sehol egy tagolás a szövegben, nem tudni hol kezdődik és hol végződik egy mondat.

Ezzel az utolsóval is az a gondom, hogy nem tudom eldönteni, mit akartál kérdezni?

Egy már megoldott feladatot tűztél ki még egyszer [938]?

Bocs, nem bántani akarlak.

Bocsánat, hogy eltűntem (így "profilképileg"), de "becsületbelileg" szeretnék utána járni annak, hogy lehetséges-e az, hogy ez az eredmény*, amire válaszolok - a [938] -, már előttem is ismert volt, csak én nem tudtam róla, ergo "akár lophattam is", és nem hiteles... Bár megjegyzem lassan már  5 éve fent van, kb., és eddig senki nem jelezte ezt nekem (sem itthon sem külföldről): ezért most az ezt olvasókat kérem, hogy jelezzék, ha valóban megtalálható volt ez a nyilvánossá tételem előtt, illetve, hogy bár saját bizonyítást valóban sosem közöltem hozzá sehol, így semmiképpen sem tekinthető igazi eredménynek, legfeljebb "eredménynek" vagy egy kis aritmetikának, hiszen egy digitális számológépbe beütve jött csak ki (ahogyan az egyébként nálam először valóban meg is történt, és ez után már kérdésként merült fel ennek a szorzatnak az értéke, hogy bizonyítható-e... (nem elfelejtve azt a tényt, hogy ezt is leírtam, hogy még nem tudom bizonyítani magam sem, sőt pontosan megneveztem a forrást, honnan származott az ötlet (Sakkmath felsorolásában álló számok halmazának szűrése, először a korábbi hsz-omban a "nevezetes" tan(3k)° alakú értékek visszaosztásával szűkítve a számhalmazt, majd cot-sel nézve, amit Juantheron feladatában is kérdez, majd annak felimerése, hogy néhány pl. cot(10°)*cot(50°)cot(70°) együtt szintén ismert értéket tartalmaz (√3), majd ezekkel tovább-osztva "szűrve a maradékot" ütöttem be a maradvány szorzatot a régi sima(nem grafikus) digitális számológépbe, akkor megjelent rajta, hogy 1, aminek nagyon nagyon örültem, és aztán wolfi, majd Ti (itt meg face-n mindenki más)...)

Nem mintha számítana, de kikerestem a sok évvel ezelőtti irkafirkám, amin először kibogarásztam ezt a képletre vonatkozó KÉRDÉSEM(!) ami a digitális gép eredménye láttán vált "SEJTÉSSÉ"... és Ti bizonyítottátok először Róbert Gida, majd Martoni Úr, majd Ekaveera Gouribhatla, és Sakkmath.

*Igen, végül elismerem, ez a felismerés nem matek, hanem csak aritmetika, azaz számtan, mert nem általános, hanem valami nagy dolognak (általános elméletnek) egy nagyon pici (speciális) esete... ;) Legalábbis remélem!!! ;-)

Vannak olyan problémák, amelyekre nincs helyes megoldás. Azokat el kell engedni, mert az a helyes. Lehet, hogy ez most olyan. De bármilyen jobb ötletet elfogadok.

Elnézést az előbbi hozzászólás elején lévő elírásért, ráadásul a képet sem jelenítette meg valamiért, ezért ideteszem inkább szövegként ismét: Vajon megadható-e az alábbi, valós számokon értelmezett másodfokú egyenlet gyökeinek véges sok karakterből álló és pontos (azaz tovább már nem pontosítható!) értéke úgy, hogy benne sem a gyökvonás, sem a logaritmus, sem pedig az összeadás-kivonás művelete sehol sem szerepel (burkolt formában sem)? Ha igen, mutassunk egy ilyen felírást, vagy mutassuk meg, hogy az nem létezik! \(\displaystyle x^{2}-44x-2=0\) [A klasszikus lánc-törtes felírás itt nyilván nem jöhet szóba, hiszen a szögletes zárójeles (rövidített-kanonikus) alak mögött ugyanúgy megjelenik az emeletes tört forma, amiben már szerepelnek a kérdésben kizárt műveleti jelek, és a hiperbolikus függvények használata is ugyanezen okok miatt elvetendő!]

A Matatematika Mindenkinek (facebook) csoportban a nehezített változatra is érkezett egy kreatív megoldás - és bár igaz, felsőbb matematikát használ -, de nekem tetszett, majd azt is ide teszem, de addig jöjjön az a változat, amivel már egy AI sem bírt el: lám lám, az ember néha még mindig kreatívabb tud lenni a gépnél... ;)

Sajnos a feladat túl egyszerűre sikeredett (lehet, hogy elnéztem valamit, mert már jó régen írodott, akkor tényleg elnézést!), így persze érthető módon nem is ment át a rostán, ezért inkább saját érdeklődésem jeleként egyszerűen csak idekerül (A kihívás e feladatban egyébként szándékosan a "középiskolai keretek közötti megoldás" lett volna, de felteszem, a magasabb szintű matematika kínál egyszerű megoldási utat, amivel a kikötéseim megkerülhetők, és így nyilván emiatt is lehetett értelmetlen a kérdésem). Vajon megadható-e az alábbi valós számokon értelmezett másodfokú egyenlet gyökeinek pontos (azaz tovább már nem pontostható!) értéke úgy, hogy benne sem a logaritmus, sem pedig az összeadás-kivonás műveleti jele sehol sem szerepel? (A klasszikus lánctörtes felírás itt nyilván nem jöhet szóba, hiszen a szögletes zárójeles (rövidített-kanonikus alak) mögött ugyanúgy megjelenik az emeletes tört forma, amiben már szerepelnek a kérdésben kizárt alapműveleti jelek!): \(\displaystyle x^2-44x-2 = 0\) (Érdekesség, hogy mintha a google AI elvétené, és az általa felhasznált hiperbolikus függvény-alakok felhasználásával általában rossz megoldásra jut.)

Még egy kicsit nézegettem a kifejezésben látható együtthatót, a reciprokában némileg "szabályosabb forma" jelenik meg, a mögötte lévő geometriai tartalom egyelőre számomra igazi rejtély, de azért megosztom, hátha van valakinek ötlete:

Tangensek, szorzatban

Köszönöm. Akkor ahonnan én vettem ezekszerint elavult címeket tartalmaz, ezt ezúton is jelzem, ami ennek az oldalnak a legalján a "Néhány megjegyzésnél" szerepel: https://www.komal.hu/verseny/2024-09/kiiras.h.shtml

Elérhetőségek:

https://www.komal.hu/info/cimek.h.shtml

e-mail:

szerk@komal.hu

Ez a komment nem idevaló, de nem akartam külön topicot nyitni neki, mivel pillanatnyi üzemzavar lehet(akár nálam is!), ezért inkább tettem a végére egy megjegyzést, hogy jobb-híján idekerülhessen, ezért elnézést kérek, maximum kimoderálják majd.

Nem bírtam magammal és csak szerkesztettem egy feladatot beküldésre a pontversenyre, amit 2 oldalas PDF-csatolmányként elküldtem a mat-szerk@komal.hu-címre, de sajnos mailer-daemon jött vissza 2025.jún.9-ével, és az alábbi rövidített üzenettel, amiből a lényeg: (lásd csatolt kép)

1. Mit rontottam el - egyáltalán lehet, hogy így is célba ért a levél?

Gondolkodom rajta, hogy posta úton továbbítom, de azért elektronikusan csak esélyesebb, hogy jön rá válasz,

2. Tudja valaki, hova érdemes küldeni a feladatot e-mail-ben?

3. Hova tudok feladatot beküldeni például postai úton? /

4. Érdemesebb-e inkább azzal próbálkoznom?

Megjegyzés.: Még nem próbálta senki belátni ezt a ronda képletet amire válaszolok, így lassan(!) csak-csak adok meg kulcs infókat, vagy lesz az egyes elemeiből "hasonló" kitűzendő feladat, még nem tudom, ha már annyit küzdöttem vele, időmúltával ne menjen veszendőbe a "know-how", legyen az is itt-kereshető-valahol, de előtte itt egy gépi ellenőrzés, amiben ha bármit szándékosan elrontunk, az persze fals eredményre vezet :

Wolfi-prompt:.

Megtaláltam Martoni Viktor bizonyításának saját, angol verzióját, s ezt most egy GIF-ben mellékelem. Remélem, olvasható lesz.

A hatoslottón a 2015. évi első héten ÖT egymás utáni számot húztak: 37, 38, 39, 40, 41, 45

Még feladat is volt belőle: B.4747

Az eheti furcsa ötöslottó számok: 44, 85, 86, 87, 88.

Mérő László matematikus szerint: "Az, hogy négy egymás utáni jöjjön, valószínűleg néhány ezer évenként fordul elő, tehát egy konkrét ember életében nem lát ilyet,"

Valóban? Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan(!) négy egymásutáni szám jöjjön ki? 67 éve van ötöslottó, tehát nagyon meglepő volt-e a tegnapi húzás ?

Megjegyzem, hogy nem volt kiugróan sok négytalálatos, hogy miért érdekes ez, mert eszerint mégsem sokan játszanak meg 5 egymásutáni számot (kivéve persze az 1,2,3,4,5-öt).

A bizonyítás 2. része:

A Versenymatek (nehezebb matekos feladatok) facebook csoportban Martoni Viktor Úr ( egykori kömal-megoldó ) a [938]-as formulára Róbert Gida bizonyításától eltérő, elemi és tanulságos sajátot közölt, melyet - engedélyével :-) - ezúton is két kép formájában idemellékelek (sajnos nem volt erőm TEXtúrázni, de azért nagyítva olvasható, szerintem) meg a lényeg, hogy itt legyen azért ez is, hiszen az artofproblemsolvingra még senki nem közölt hozzá ilyet (se): 1. A bizonyítás első része:

(chebysevT(5,y))' at y=cos x

Értem és köszönöm. Mivel én ezeket a levezetéseket mindig ellenőrzöm Wolframmal is (hogy nem rontom el, ill. önellenőrzési tanulási céllal), tudnál segíteni abban, hogy hogyan lehet ezt a két eltérő jelölést oda is bevinni utasítással. Az elsőt tudom, azt így: (chebysevT(90,cosx))', de a második értelmezést, amikor előbb lederiválom, majd az így kapott hosszú kifejezésbe behelyettesíteném cosx-et, azt hogy tudom beírni?

Azt hiszem ,megértettem a problémádat. Tehát:

A \(\displaystyle T'_{90}(\cos x)\) nem a \(\displaystyle T_{90}(\cos x)\) függény deriváltját jelöli, hanem a \(\displaystyle T_{90}(x)\) függvény deriváltjának a \(\displaystyle \cos x\) helyen vett helyettesítési értékét. Az előbbit így kéne írni: \(\displaystyle (T_{90}(\cos x))'\)

Összetett függvény deriváltja: \(\displaystyle [f((g(x))]'=g'(x)f'(g(x))\).

Tehát, ha \(\displaystyle T_n(\cos x)=\cos nx\) teljesül minden x-re - esetünkben n=90 - akkor

\(\displaystyle (\cos x)'\cdot T'_n(\cos x)=n(-\sin nx)\)

\(\displaystyle -sin x\cdot T'_n(\cos x)=-n\sin nx\)

\(\displaystyle \sin x\cdot T'_n(\cos x)= n\sin nx\)

Elírtam az utalást, a Wolfram így értelmezi helyesen a deriválást:

Közben egy gyors kérdés is nadorp -hoz Az 5. sorban nem értem a deriválást , nekem a Wolfi mást mond, a mínusz jel ill. a sinx nem stimmel, segítenél picit értelmezni: https://www.wolframalpha.com/input?i=-

Gratulálok mindenkinek, aki foglalkozott a példámmal, jó volt látni a sok megközelítést.
Őszintén bevallom, Sakkmath megoldását értettem a leginkább, mivel nagyjából én is hasonló(an fáradtságos) elvet követve jutottam a végére.
Nadorp megoldása is tetszett, bár a Csebisev-féle cos(nx) kifejtés nekem már új anyag körébe tartozott, de ott azért már tartok az önfejlesztéssel, az már autodidaktikus úton azért érthető volt jórészt számomra, szerencsére a deriválós -limeszes rész annak idején még a nem emelt matekba is befért nekünk, így az is nagyjából követhetően ment.
Róbert Gida megoldása meg sok új anyagot tartalmazott, de ott meg segített a korábbi magyarázata - a tangenses képletemnél leírtak, meg azért nem árt, ha fejleszti magát az érdeklődő (jómagam) - és az is fontos információ volt utólag, hogy az ott leírt számítások az általam ismert Wolfival jórészt kivitelezhetetlenek, tehát itt is van még hova fejlődni, legalább alapfokon megtanulni pár új, de hasznos progi kezelését.. :-)

Most pedig elég a rizsából :-), jöjjön a beígért eredmény, az, amire még a prímes-szép képletemnél is büszkébb vagyok, hiszen ez volt az eredeti probléma, amit anno még Juantheron dobott be, és itt sikerült lényegesen előrelépve a 44 tagú szorzatot kezelhetővé varázsolni... ráadásul már azt sem merem ezek után állítani már, hogy nem létezhet még ennél is egyszerűbb alak... mindenesetre ahhoz a most következőt már lehet, hogy "könnyebb lesz" majd kiindulópontnak tekinteni, ha valaki esetleg megkísérelné ezt is még tovább egyszerűsíteni, előtte persze lássuk a medvét, vagyis próbáljuk belátni ezt:

\(\displaystyle \prod_{k=1}^{44} \cot(k°)=(13+6\sqrt5+2\sqrt{85+38\sqrt{5}})[\cot(1°)\cot(2°)\cot(4°)\cot(5°)\cot(7°)\cot(8°)\cot(10°)\cot(11°)\cot(13°)\cot(14°)]^2 \)

Amúgy \(\displaystyle f(x)\) és a \(\displaystyle 180\)-dik körosztási polinom is olyan, hogy minden (nemnulla) \(\displaystyle x\) hatvány kitevője \(\displaystyle 6\)-al osztható. Így a minimálpolinom biztosan legfeljebb \(\displaystyle \frac{48}{6}=8\)-adfokú és sok számolás egyszerűsödik. Persze általában nincs ilyen szerencsénk.

Biztosan Sage is kiszámolja, és még az is ingyenes, csak a telepítése hosszabb. Minimálpolinom Pari-Gp-vel 2 sor: https://pastebin.com/Q7TWavMJ

Pari-Gp kódja a neten van, bár elég nehezen olvashatóak ezek.

Egy lehetséges út: \(\displaystyle 1,f(x),f^{2}(x),..,f^{48}(x)\) lineárisan összefügg \(\displaystyle R\)-ben, hiszen a 180-dik körosztási polinom 48-adfokú. Így mondjuk Gauss eliminációval megkapható a minimálpolinom: gondolom 46 szabad paraméter lesz, és ha a "felső" ismeretleneket nullának vesszük, akkor megvan a másodfokú minimálpolinom.

De mátrixra is átdobható a feladat, és amit én régebben is csináltam, hogy nem a minimálpoinomot számítom ki, hanem a karakterisztikus polinomot, mert ugye Cayley Hamliton tétel miatt a minimálpolinom osztja a karakterisztikus polinomot. És amúgyis nagy valószínűséggel gyakorlati esetekben (random) mátrixra meg is egyezik vele.