Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[3861] jonas2014-03-09 16:36:46

Itt van egy valószínűség-számítás feladat.

Legyen n egy természetes szám. Kapsz n különböző színű golyót. Minden lépésben megnézed a golyókat, majd ki kell választanod két különböző színű golyót, és odaadnod a játékvezetőnek. Ezután a játékvezető feldob egy érmét, ha fej jön ki, akkor ad neked két olyan színű golyót, mint az egyik, amit adtál neki; ha írás jön ki, akkor két olyan golyót kapsz, mint a másik golyó a kettő közül. Ha n egyforma golyó van nálad, akkor a játék véget ér, nyertél.

Mennyi a várható értéke a lépések számának? A várható érték miért ugyanannyi függetlenül attól, hogy melyik golyókat választod?

[3860] nyerek012014-03-06 19:54:41

(de valószínűleg hagyom és nem OFF-olok itt róla)

Előzmény: [3859] nyerek01, 2014-03-06 19:49:08
[3859] nyerek012014-03-06 19:49:08

Nem teljesen értem a hozzászólásodat, csak azért kérdeztem itt az elliptikus görbékről, mert suliban hallottam róla és gondoltam, hogy érdemes annyi figyelmet szentelnem neki, hogy egy egyszerű Java programban implementáljam. Nekünk a titkosítást említették mint felhasználási módot.

Előzmény: [3857] csábos, 2014-03-05 23:03:34
[3858] Loiscenter2014-03-06 01:48:22

Köszönönöm a segitséget!

Előzmény: [3851] w, 2014-03-03 20:48:18
[3857] csábos2014-03-05 23:03:34

Bakchausz Tibi, Zábrádi Gergely, Maga Péter, Harczos Gergely, Bodor Bertalan

Mi kellene róluk?

Előzmény: [3856] nyerek01, 2014-03-04 21:47:34
[3856] nyerek012014-03-04 21:47:34

Más: Elliptikus görbékhez ért valaki? Titkosításhoz kéne, ha megértem akkor lehet hogy írok ilyen programot.

[3855] w2014-03-04 20:59:30

Ahogy mondod.

Előzmény: [3854] nyerek01, 2014-03-04 20:22:20
[3854] nyerek012014-03-04 20:22:20

Na de a minimális várakozási idő kéne, ami akkor jön ki beleszámoljuk azt is hogy lejátszás közben is tölt, tehát nem az Össz. idő és a betöltési sebesség hányadosa a jó megoldás.

Előzmény: [3853] w, 2014-03-04 16:54:46
[3853] w2014-03-04 16:54:46

Ömm, 82 perc az 82.60=4920 másodpercben a 28 másodperc 175-ször van meg, így 350 másodpercig bufferol, ha azok a feltételek. Azaz én 5 perc 50 másodpercre állítanám meg, de ember a kb. 6 perc időtartamot szerintem könnyebben bírja érzékelni. :-) Ha ilyen formában kérdezed meg, csak egy maradékos osztásról van szó.

Előzmény: [3852] nyerek01, 2014-03-04 10:46:59
[3852] nyerek012014-03-04 10:46:59

Sziasztok. Egy 82 perces YouTube videó 28 másodpercenként megáll bufferelni 2 másodpercre, akkor hány másodpercre kell megállítani, hogy bebuffereljen elég tartalmat ahhoz, hogy utána akadásmentesen végig lehessen nézni.

Nem tudom mennyivel lenne bonyolultabb álltalánosítva, tehát ha X perces videó, N másodpercenként M sec-et bufferel. (Nyilván a "matekos" része a lényeg, nem az informatikai, tehát minden ideális, nincs szerver leállás, sávszél. ingadozás stb.)

[3851] w2014-03-03 20:48:18

554. feladat. Adott x2+2y2=1 esetén mennyi \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1} maximuma?

(Nem kell az egész TeX tanfolyamot elvégezni ahhoz, hogy ezt be bírd gépelni, csak rámész és kikeresed, hogy hogy lehet hatványt és gyökjelet írni. Sokkal jobban néz ki, nem?)

Van rá egy bonyolult elemi megoldásom, egy saját módszerrel, ami nagyon hatékonyan működik.

Egy bizonyos becsléssorozatot fogok végrehajtani, de egyelőre nem tudom, hogy mik lesznek a súlyok. Legyenek tehát A és B később meghatározandó pozitív valós konstansok.

A kéttagú számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség szerint

\sqrt{2x+1}=\frac1{A}\cdot\sqrt{A^2(2x+1)}\le\frac{A^2+2x+1}{2A},(1a)
\sqrt{2y+1}\le \frac{B^2+2y+1}{2B}.(1b)

A két becslést összeadva becslést kapunk \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}-re, amit ezáltal egy \frac{2x}{2A}+\frac{2y}{2B} plusz konstans típusú kifejezéssel majoráltunk.

Ezután pedig a Cauchy-egyenlőtlenséget alkalmazzuk:

\frac xA+\frac yB\le\sqrt{(x^2+2y^2)\left(\frac{1}{A^2}+\frac1{2B^2}\right)},(2)

ami már fix érték.

Ahhoz, hogy ezek a becslések működjenek, kizárólag arra van szükségünk, hogy egyenlőséget is garantálhassunk. Egyenlőség a következő esetekben áll fenn: 2x+1=A2 az (1a)-ban, 2y+1=B2 az (1b)-ben, illetve x2.A2=2y2.2B2 (2)-ben, végül pedig az, hogy erre az x,y párra x2+2y2=1 fenn is álljon. A kapott egyenletrendszert megoldva (negyedfokú egyenletre vezet, amit ez megold, és hát reménykedhetünk abban, hogy van valós megoldása). Ha nem probléma én ezt most nem fejezném be.

Előzmény: [3850] Loiscenter, 2014-03-03 09:55:25
[3850] Loiscenter2014-03-03 09:55:25

Legyenek x, y nem negativ számok, továbbá x*2 + 2.y*2 = 1. Határozzuk meg (2x+1)*1/2 + (2y+1)*1/2 maximum és minimum értékét ! ( * hatványt jelent)

[3849] w2014-02-28 21:14:28

Jó megoldás, de nem kell ide feltétlenül multiplikatív inverz. Talán elemibb megoldás, amit találtam és tálaltam:

1. Tegyük fel, hogy van olyan (n,a,b) hármas, melyre nem igaz, és vegyük a legkisebb ilyen n-et! Ha ekkor a és n rendelkezik közös prímosztóval, akkor ez a prímosztó b-t is osztja, így leosztva vele (n,a,b)-t, kisebb, de megfelelő számhármashoz jutunk. Tehát n és a relatív prím.

2. Márpedig n|a100+b100 és n|a104+b104, ezért

b^4\left(a^{100}+b^{100}\right)-a^{104}-b^{104}=a^{100}\left(b^4-a^4\right)

osztható vele, ahonnan a relatív prímek miatt a4\equivb4 (mod n). Ezt pedig visszahatványozva adódik, hogy n|a100+b100\equiv2a100. Ebből megint relatív prímek miatt következik, hogy n|2. Ami pedig ellentmondás, hisz n=1 és n=2-re triviális az állítás.

Előzmény: [3848] csábos, 2014-02-28 00:08:20
[3848] csábos2014-02-28 00:08:20

553. Ha n egy prímosztója nem osztja a-t, akkor föltehető, hogy b=1. Megoldjuk ugyanis a bx\equiv1 modp^\alpha kongruenciát, és beszorozzuk a-t és b-t x-szel. Ekkor p^\alpha| a200-1 és a208-1, tehát osztja a8-1-et. Azonban a104-1 majdnem relatív prím a104+1-hez és osztható a8-1-gyel. Tehát \frac{}{} p^\alpha=2. Ha a prímosztó osztja a-t, akkor leosztunk a vagy b legnagyobb prímhatvány osztójával, és tekintjük az előző esetet.

Előzmény: [3837] w, 2014-02-26 20:01:14
[3847] w2014-02-27 22:33:18

Köszönöm, hogy ezeket így felsoroltad. Érdekes és egyszerű sorozatnak tűnik, az OEIS-ben mégsem találtam meg.

Bizonyítsuk be számológép nélkül, hogy a 101 és 111 is a sorozat tagja lesz!

Előzmény: [3846] Róbert Gida, 2014-02-27 21:54:09
[3846] Róbert Gida2014-02-27 21:54:09

Hozzászóláskorlát nem engedi meg, hogy felsoroljam a számokat, de ezer alatt ezen számok (és többszörösei) a megfelelőek, elsőre hihetetlen soknak tűnik, de valójában nem véletlen, hiszen csupán 1022 darab 10-csökkenő (pozitív) szám van. A kérdést egyébként teljesen meg lehet válaszolni, mert az 1022 darab szám osztói közül kerülnek ki azon számok melyeknek van 10-csökkenő többesük, és pontosan 6178 darab ilyen szám van.

[11, 100, 101, 111, 156, 221, 223, 232, 249, 261, 267, 299, 348, 369, 384, 387, 439, 441, 447, 457, 463, 467, 469, 497, 501, 503, 507, 512, 516, 523, 551, 556, 559, 563, 567, 569, 575, 581, 591, 593, 597, 599, 601, 603, 607, 609, 623, 633, 647, 661, 667, 668, 673, 675, 677, 683, 684, 689, 692, 699, 701, 708, 709, 713, 716, 719, 725, 729, 733, 736, 739, 749, 756, 767, 772, 773, 779, 788, 789, 791, 793, 796, 797, 799, 807, 809, 812, 813, 816, 817, 827, 833, 837, 839, 844, 856, 857, 868, 877, 879, 881, 883, 887, 889, 893, 896, 899, 901, 907, 911, 917, 919, 925, 927, 937, 939, 956, 967, 977, 989, 991, 997]

Előzmény: [3845] w, 2014-02-27 16:43:27
[3845] w2014-02-27 16:43:27

Most pedig keressünk ilyen háromjegyű, illetve négyjegyű számot. A 11 magányossága azért gyanús lehetett. :-)

Előzmény: [3844] Róbert Gida, 2014-02-27 14:15:20
[3844] Róbert Gida2014-02-27 14:15:20

0<n<100 egészek közül pontosan a 11 többszörösei azok amelyeknek NINCS 10-csökkenő többszörösük: használjuk a 11-el való oszthatóságot (szám 11-el osztható, ha a0-a1+a2-a3+... osztható 11-el), és azt, hogy a szám 10- csökkenő.

Maradékra meg lehet írni egy programot, kis példa van mindegyikre, a legnagyobb n=89-re: 86*89=7654.

Előzmény: [3843] w, 2014-02-27 12:36:36
[3843] w2014-02-27 12:36:36

Igen. És ha azt követeljük, hogy a többszörösök ne legyenek sohasem k-csökkenők?

Előzmény: [3842] jonas, 2014-02-27 12:33:17
[3842] jonas2014-02-27 12:33:17

552. (a) Nincs ilyen. Ugyanis bármely n pozitív egészre m=100 két nullára végződik, ezért nem lehet 10-csökkenő. Sőt, m>1010 esetén mn legalább 11 jegyből áll, ezért nem lehet 10-csökkenő.

(b) Nincs ilyen, mert már az (a)-nak sincs megoldása.

(c) Nincs.

Előzmény: [3841] w, 2014-02-26 21:07:19
[3841] w2014-02-26 21:07:19

552. - m pozitív egész ("mn az n többszöröse")

Az 551. feladatból kimaradt, hogy nem szabad két e egyenesen lévő pont felezőmerőlegesét venni. Bocsánat. (Aztán feladat, hogy milyen mesével lehet ezt valóságszerűvé tenni. :-) )

Előzmény: [3839] jonas, 2014-02-26 20:57:05
[3840] jonas2014-02-26 21:00:04

Az 551. feladat túl könnyűnek néz ki. Nem is értem, hogy az AB szakaszra mi szükség. Megoldás. Vegyél föl két pontot az e egyenesen, szerkeszd meg ezek f szakaszfelezőjét, ez merőleges e-re. Ezután vegyél két pontot f-en, ennek szerkeszd meg a szakaszfelezőjét, ez merőleges f-re ezért párhuzamos e-vel.

Előzmény: [3837] w, 2014-02-26 20:01:14
[3839] jonas2014-02-26 20:57:05

Az 522. (a) feladatban milyen m értékekre kéred a feltételt?

Előzmény: [3837] w, 2014-02-26 20:01:14
[3838] w2014-02-26 20:09:27

B.4509 megfordításával adódik, hogy a húrnégyszög köré még egy parabola írható, melynek tengelye az eredeti paraboláéra merőleges, ezt és az eredeti parabolát elaffinítva további parabolákat kapunk, amik pedig B.4509 szerint húrnégyszögben metszik egymást, amely húrnégyszög az illeszkedéstartás szerint A'B'C'D'.

Előzmény: [3832] Sinobi, 2014-02-11 16:29:21
[3837] w2014-02-26 20:01:14

Néhány témába illően szép feladat:

551. feladat. Adott egy AB szakasz, és egy e egyenes, ami áthalad a szakasz F felezőpontján. Rendelkezésünkre áll egy speciális szerkesztési eszköz, a szakaszfelező, ami két ismert ponthoz megrajzolja a tőlük egyenlő távol lévő pontok mértani helyét. Szerkesszünk csak szakaszfelezővel egy e-vel párhuzamos egyenest!

552. feladat. Nevezzünk egy k-alapú számrendszerbeli számot k-csökkenőnek, ha számjegyei balról jobbra olvasva szigorúan csökkennek.

(a) Van-e olyan n<100 pozitív egész úgy, hogy n bármely mn többszöröse a 10-csökkenő? (b) Van-e olyan n, amelyre igaz, hogy mn tetszőleges k-ra k-csökkenő? (c) Van-e végtelen sok ilyen n szám?

553. feladat. Legyenek a,b,n olyan pozitív egész számok, melyekre a100+b100 és a104+b104 osztható n-nel.

Igazoljuk, hogy a2014+b2014 is osztható n-nel!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]