Fórum: Matematikai Diákolimpia

Gratulálok az egész csapatnak!

A tavalyi gyengébb szereplés után jó látni, hogy az 1. és a 4. feladatot mindenki 7 ponttal hozta, és még a 2. feladaton is sok pontot sikerült szerezni.

Ami a nehéz feladatokat illeti, ott is jobban szerepeltünk a tavalyinál. A bika 6. mindenkin kifogott, de Olivér és Attila is levadásztak egy-egy nehéz példát.

Gratulálok a magyar csapat tagjainak!!

A eredmények:

Csapatban 22-24. hely.

"Muszáj ezt?" - ha semmilyen megoldási ötletet sem akartál volna látni, csak a feladatokat olvastad volna el. Amúgy is, a két leírt trükk ismert, és más úton nem is lehetne elindulni.

"nem lesz." - igazad van, sajnos közelről sem lesz :-(

,,(csak két ötlet kell: indukció és vakon választott alkalmas számok). "

muszáj ezt? (mondjuk most már mindegy)

,,A 3. feladat kicsit riasztó (mert 3. feladat), de könnyebb, mint a 2. feladat és így nagy eséllyel lesz 4-5 magyar megoldás. "

nem lesz.

Nem sokat nehezít a feladaton a feltétel :-) Igen, pozitív egészek.

Remélem, azért az egyik moderátor kijavítja.

Az 1. feladat szövegéből kimaradt, hogy m₁, ..., m_k pozitív egészek, nem?

"Néhány kitalálható megoldás:" emitt.

Egyetértek. A 4. feladat végül is csak a gyakorolt versenyzőket szűri ki az összesből. Ismert trükkök vannak benne, demonstrálásképpen:

Legyen ₁ és ₂ másik metszéspontja P. Miquel tétele szerint ANMP húrnégyszög, viszont mivel M és N rajta van AH Thálesz-körén, így valójában APH=90°. Másrészt BCMN húrnégyszög, és a szelőtétel szerint AN^.AB=AM^.AC, amiből A rajta van ₁ és ₂ hatványvonalán, WP egyenesen. A Thálesz-tétel szerint PXY, így APH=90° egyenértékűvé válik a feladat állításával, amit ezzel beláttunk.

Ugyancsak piskóta az 1.

A mostani 6. feladat azért még rendes az IMO2012 3. és 6. feladatához képest. Néhány működő, és kitaláható megoldás: .

Mindenesetre kíváncsi volnék a versenyzőink eredményeire.

Ahogy én látom: az 1. és a 4. nagyon könnyűek; a 2. könnyű-közepes, legfeljebb közepes; a 3. és az 5. nehezek; a 6. őrült.

Minden gusztus dolga is. Aki síkgeometriában nem ügyes, annak a 3. már nagyon nehéz és a 4.-kel is megkínlódhat.

Értékelésem szerint az 1. feladat nagyon könnyű, mindenknek meglett (csak két ötlet kell: indukció és vakon választott alkalmas számok). A 2. feladatot is legalább 4-en megoldják. A 3. feladat kicsit riasztó (mert 3. feladat), de könnyebb, mint a 2. feladat és így nagy eséllyel lesz 4-5 magyar megoldás. (Az 1. nap nekem kb. OKTV-nehézségűnek tűnik...)

2. napon viszont szerintem átlagosan 1,67 megoldott feladat várható.

2013-as olimpia - 2. nap feladatai

4. feladat. Legyen ABC hegyesszögű háromszög magasságpontja H, és legyen W a BC oldal belső pontja. Jelölje M és N rendre a B-ből és C-ből húzott magasság talppontját. Jelölje ₁ a BWN kört, ₂ pedig a CWM kört. Végül pedig X és Y pont olyan, hogy XW, illetve YW az ₁, illetve ₂ kör átmérője. Mutassuk meg, hogy X, Y és H egy egyenesre esik.

5. feladat. Jelölje Q_>0 a pozitív racionális számok halmazát. Az f:Q_>0R függvény a következő feltételeket teljesíti:

(i) f(x)f(y)f(xy) (x,yQ_>0),

(ii) f(x+y)f(x)+f(y) (x,yQ_>0),

(iii) Létezik a>1 racionális szám, melyre f(a)=a.

Igazoljuk, hogy f(x)=x minden xQ_>0 esetén.

6. feladat. Legyen n3 egész szám, és tekintsük egy szabályos (n+1)-szög csúcsait és azoknak körülírt körét. Majd minden csúcsot megjelöljük a 0,1,...,n számok valamelyikével úgy, hogy minden szám pont egyszer szerepel. Két ilyen jelölést pontosan tekintünk különbözőnek, ha nem vihetők forgatással egymásba. Egy ilyen jelölést szépnek nevezünk, ha bármely a<b<c<d és a+d=b+c esetén az a és d-vel jelölt csúcsok közötti húr nem metszi a b és c jelű csúcsok közötti szakaszt.

Legyen M a szép jelölésrendszerek száma és N azon (x,y) pozitív egész számpárok száma, melyekre x+yn és lnko(x,y)=1. Bizonyítsuk be, hogy M=N+1.

Nagyon kellemes, csinos kis feladat a 2-es. Kombinatorikus geometria, ezért joggal remélhetjük, hogy jól szereplünk rajta. Talán 2. példának kicsit könnyű, de ez legyen a legnagyobb bajunk.

Igen, köszönöm. Javítás: Melyik a legkisebb egyenesszám, amely minden esetben elegendő?

,,Legalább hány egyenesre lesz szükségünk biztosan?''

Értendő: legalább hány egyenes elegendő biztosan?:)

2013-as olimpia - 1. nap feladatai

1. feladat. Legyen k és n tetszőleges pozitív egész szám. Mutassuk meg, hogy létezik m₁, m₂, ..., m_k pozitív egészekből álló számsorozat úgy, hogy

2. feladat. Adott a síkon 2013 számú piros pont és 2014 darab kék pont úgy, hogy nincs közülük három egy egyenesen. A síkot az előbbiek közül egyik pontra sem illeszkedő egyenesekkel olyan tartományokra szeretnénk bontani, melyek nem tartalmaznak egyszerre piros és kék pontot. Legalább hány egyenesre lesz szükségünk biztosan?

3. feladat. ABC háromszög megfelelő hozzáírt körei rendre A₁, B₁, C₁ pontokban érintik a BC, CA, AB oldalszakaszokat. Bizonyítsuk be, hogy ha A₁B₁C₁ háromszög körülírt körének középpontja illeszkedik ABC háromszög körülírt körére, akkor ABC háromszög derékszögű!

(Itt találhatók megoldások, megoldási ötletek.)

Szintén április 1. alkalmából:

Sikeresek vagyunk, kezünkben az agyunk

(Emlékezetes videoklip a 2007-es, matematikai diákolimpiáról, vietnamból)

Nem vagyok technofil, nem voltam válogatóversenyen, és csupán érdekelt a feladatok megoldása, hátha magas szintű eszközök/nehéz ötletek kellenek hozzájuk. Korábban is raktak fel feladatsort, csak a dátumot nem figyeltem. Nem akartam rosszat. Ha nagyon-nagyon akarnám, párszáz telefonhívással meghatározhatnám a shortlist feladatait, csak valami okból ezt nem teszem meg.

Amúgy egy másik részlet az olimpiai beszámolóból: ©2006 G. C. Smith. ;-)

Anno még úgy ment az olimpiai válogató, hogy régi olimpiai feladatok voltak. Az egész nem volt több, mint egy memória verseny.

Részlet az angol csapatvezető egy korábbi olimpiai beszámolójából.

Traditionally the shortlist of candidate questions for the previous IMO is kept secret for one year so that the contents can be used for selection purposes. This sensible system has been undermined by the internet, human folly and the ever increasing size of the IMO. It is bad enough relying on 90 other leaders to be discreet. Now as soon as a selection test is sat somewhere in the world, some candidates are driven by a technophilic compulsion to put the paper on the internet within three minutes of leaving the exam hall. Unless candidates are confined to lead-lined wi-fi-proof chambers (an attractive idea) there seems no way to stop this incontinence. Once a question appears on a couple of selection tests, then it doesn’t take the students long to work out that it was on the IMO shortlist last year, and to prepare a model answer in case their leader is sufficiently unworldly as to trust the security of the shortlist.

Bocsánatot kérek, nem tudtam.

w hozzászólását töröltem.

A válogatóversenyen olyan feladat is szerepelt, ami a legutóbbi olimpiai shortlistben szerepel, ezért az olimpia végéig titkos.

Jó kérdés, mondjuk egy Freud előadást feltettek idén: Freud

ps. A kivetítőt nem látod a felvételen. Ez azért elég sokat levon a felvétel értékéből.

Mostanában volt a válogatóverseny, a feladatokat és esetleges megoldásokat írhatnánk ide.

Miért nem veszik fel mostanában az olimpiai szakköröket?