Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Matematikai Diákolimpia

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[370] Johnny 102022-08-09 13:02:39

Veszem észre, a \(\displaystyle 2.\) feladatban elírtam azt, amikor \(\displaystyle y\) helyére \(\displaystyle \frac{1}{f(x)}\)-et helyettesítek, helyesen a becsléssel együtt: \(\displaystyle xf\bigg(\frac{1}{f(x)}\bigg)+\bigg(\frac{1}{f(x)}\bigg)f(x)\le{xf(x)+1}\le{2}.\) Az eredeti teljesen rossz.

Előzmény: [366] Johnny 10, 2022-08-09 08:53:41
[369] Lpont2022-08-09 09:44:44

Elegáns megoldások, köszönöm!

Előzmény: [366] Johnny 10, 2022-08-09 08:53:41
[368] Lpont2022-08-09 09:43:48

Bocs, Neked köszönöm!

Előzmény: [365] Berko Erzsebet, 2022-08-09 08:18:44
[367] Lpont2022-08-09 09:42:57

Köszönöm szépen!

Előzmény: [364] Lpont, 2022-08-08 20:20:07
[366] Johnny 102022-08-09 08:53:41

\(\displaystyle 2\)-eshez lényegében teljes megoldás:

Vegyünk egy tetszőleges \(\displaystyle x\) valós számot, és keressük hozzá meg azt az \(\displaystyle y\)-t, amelyre \(\displaystyle xf(y)+yf(x)\le{2}.\) Ekkor az sztani-mértani egyenlőtlenség miatt \(\displaystyle \sqrt{xf(y)yf(x)}\le{\frac{xf(y)+yf(x)}{2}=1},\) azaz vagy \(\displaystyle xf(x)\le{1},\) vagy \(\displaystyle yf(y)\le{1},\) ez pedig azt jelenti, hogy amennyiben \(\displaystyle x\ne{y},\) akkor \(\displaystyle x\)-hez vagy \(\displaystyle y\)-hoz két megfelelő pár is létezne (a másik és saját maga), ami ellentmondás. Ez azt jelenti, hogy minden valós számhoz saját maga a megfelelő pár.

Következő lépésben belátjuk, hogy a függvény szig. mon. csökken. Ez könnyű, ugyanis ha feltesszük, hogy \(\displaystyle a>b\) esetén \(\displaystyle f(a)\ge{f(b)},\) akkor a fentiek szerint \(\displaystyle 2af(a)\le{1},\) de akkor \(\displaystyle af(b)+bf(a)\le{2}\) is igaz, azaz \(\displaystyle a\)-hoz két megfelelő valós számot is találni, ellentmondás.

Végül helyettesítsünk be \(\displaystyle y\) helyére \(\displaystyle \frac{1}{f(x)}\)-et. Ekkor mivel \(\displaystyle \frac{1}{f(x)}\ge{x},\) ezért a monotonitás miatt \(\displaystyle xf\bigg(\frac{1}{f(x)}\bigg)+f\bigg(\frac{1}{f(x)}\bigg)x \le{xf(x)}+f(x)x\le{2},\) azaz ha \(\displaystyle \frac{1}{f(x)}\ne{x},\) akkor \(\displaystyle x\)-hez két megfelelő való szám is létezne; minden \(\displaystyle x\)-re teljesül tehát, hogy \(\displaystyle \frac{1}{f(x)}=x,\) azaz \(\displaystyle \mathbf{f(x)=\frac{1}{x}}.\)

Ez a függvény meg is felel, tetszőleges \(\displaystyle x\)-re \(\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge{2},\) egyenlőség csak \(\displaystyle x=y\) esetén áll.

\(\displaystyle 5\)-öshöz vázlatos megoldás, mert lépések végigcsinálása lényegében technikázás, ezért azokat nem írom le:

1. lépés. Ha \(\displaystyle b<p,\) akkor nincs megoldás: a jobb oldal nem osztható \(\displaystyle p\)-vel, tehát \(\displaystyle a\) sem, így a jobb oldalon \(\displaystyle a\) nem osztja \(\displaystyle p\)-t, ezért \(\displaystyle a\) nem osztja \(\displaystyle b!\)-t, azaz \(\displaystyle a>b,\) innen nagyságrendi becsléssel kijön.

Ekkor a jobb oldalt osztja \(\displaystyle p,\) azaz a balt is, azaz \(\displaystyle p\mid{a}.\)

2. lépés. Ha \(\displaystyle b>2p,\) akkor sincs megoldás. Ez egyszerű, mert ekkor a jobb oldalon \(\displaystyle p\) kitevője \(\displaystyle 1,\) ami a bal oldal miatt osztható \(\displaystyle p\)-vel, ellentmondás.

3. lépés. Ha \(\displaystyle a\ne{p},\) akkor sincs megoldás. Ekkor \(\displaystyle a=kp,\) és \(\displaystyle k\) osztja a bal oldalt, ezért \(\displaystyle k>{b}\ge{p},\) innen nagyságrendi becsléssel megint csak kijön.

Tehát a \(\displaystyle p^{p}-p=(p^{p-1}-1)p=b!\) egyenletet kell megoldanunk.

4. lépés. Ennek az egyenletnek csak \(\displaystyle p=2\) és \(\displaystyle p=3\) esetén van megoldása (és akkor \(\displaystyle b=2,\) illetve \(\displaystyle b=4\)). Ha \(\displaystyle p>2,\) akkor a bal oldalon \(\displaystyle 2\) kitevője \(\displaystyle v_2(p^p-p)=v_2(p^{p-1}-p)=2v_2(p-1)+v_2(p+1)-1\) az LTE-lemma alapján. Másrészt a jobb oldalon \(\displaystyle 2\) kitevője \(\displaystyle b!\)-ban alulbecsülhető (használva, hogy \(\displaystyle b>p\)), és így kellően nagy prímekre ellentmondást kapunk, a többit manuálisan ellenőrizhetjük.

Egyébként további érdekes megoldások találhatók a feladatokra az AoPS fórumon, az \(\displaystyle 5\)-ösre a megoldás végét onnan vettem, bár az enyém is hasonló volt, csak nem \(\displaystyle 2\) kitevőjét vizsgáltam.

Előzmény: [364] Lpont, 2022-08-08 20:20:07
[365] Berko Erzsebet2022-08-09 08:18:44

Szia, Lpont! Youtube. Csak annyit kell beírni, hogy imo2022. Az 5. feladatot minimum három videóban is ismertetik, az egyikben egy fiatalember 68 percig beszél az 5. feladatról.

[364] Lpont2022-08-08 20:20:07

Üdv mindenkinek.

Az idei IMO 2. és 5. feladatára van vkinek megoldása vagy ötlete?

[363] Lpont2021-07-23 16:02:01

Gratulálok a magyar csapat tagjainak és felkészítőinek az eredményekért!

Az első nap 2. és 3. feladata az átlagosnál is nehezebbre sikerült, az összes résztvevő összesen 31 teljes (7 pontos) megoldást adott e két feladatra.

Oroszország - másodjára is házigazdaként - ismét meg kellett elégedjen a második hellyel az országok közötti versenyben.

Hol Kína, néhol USA, máskor D-Korea előzi őket az elmúlt években.

[362] Berko Erzsebet2021-07-21 07:22:15

Már kint vannak a feladatok.

Előzmény: [360] Lpont, 2021-07-19 19:03:20
[361] jatekos1012021-07-19 21:39:25

A feladatokat sajnos nem mondhatjuk el, titokban kell tartanunk szerdán 2:00 óráig.

Előzmény: [360] Lpont, 2021-07-19 19:03:20
[360] Lpont2021-07-19 19:03:20

Tudja valaki a mai feladatokat?

[359] Lpont2020-09-23 15:36:49

https://www.imo-official.org/problems.aspx

Az idei feladatok.

[358] PSC.HUN2019-07-20 00:38:56

A 2019-es eredmények:

1.2.3.4.5.6 összesenhelyezésdíj
Haiman Milan 7 6 6 7 7 7 40 8–9 aranyérem
Bálint Zsigri 7 0 7 7 7 0 28 65-100 ezüstérem
Schrettner Jakab 6 7 0 7 7 0 27 101–121 ezüstérem
Matolcsi Dávid 7 4 0 7 7 0 25 132–143 ezüstérem
Szabó Kristóf 7 1 1 7 7 0 23 148–168 bronzérem
Nagy Nándor 7 1 0 7 7 0 22 169–214. bronzérem
csapat: 41 19 14 42 42 7 165 11–12

A versenyen összesen 621-en vettek részt. 52-en kaptak aranyérmet, 94-an ezüstérmet, 156-an bronzérmet.

http://imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2019&column=total&order=desc

[357] PSC.HUN2018-07-19 14:24:54

Az igazi shortlist innen is letölthető:

Előzmény: [356] gubanc, 2018-07-19 14:18:40
[356] gubanc2018-07-19 14:18:40

Gratula a csapatnak!

Az alkalmat megragadva: mellékelek egy The Real Shortlist 2018 című AOPS-topicot, ahol Kós Géza, az első bejegyzésben, egy veszélyes vírusra hívja fel a figyelmet. Legyünk óvatosak!

Előzmény: [355] PSC.HUN, 2018-07-12 17:15:44
[355] PSC.HUN2018-07-12 17:15:44

A 2018-as eredmények:

1.2.3.4.5.6 összesenhelyezésdíj
Bukva Balázs 7 7 0 7 7 1 29 61–86. ezüstérem
Egri Máté 7 4 0 6 7 0 24 147–156 bronzérem
Gáspár Attila 7 7 0 7 1 7 29 61–86. ezüstérem
Imolay András 7 7 0 7 7 0 28 87–110 ezüstérem
Janzer Orsolya Lili 7 2 2 7 7 1 26 122–130 ezüstérem
Matolcsi Dávid 7 1 0 7 6 0 21 193–203 bronzérem
csapat: 42 28 2 41 35 9 157 15

A versenyen összesen 594-en vettek részt. 48-an kaptak aranyérmet, 98-an ezüstérmet, 143-an bronzérmet.

http://imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2018&column=total&order=desc

[354] PSC.HUN2018-07-10 15:20:40

Második nap

4. feladat. Helynek nevezzük a sík minden olyan \(\displaystyle (x,y)\) pontját, amelyre \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) olyan pozitív egészek, melyek mindegyike kisebb vagy egyenlő, mint \(\displaystyle 20\).

Kezdetben a \(\displaystyle 400\) hely midegyike szabad. Anna és Balázs felváltva zsetonokat raknak a helyekre, Anna kezd. Anna minden lépésekor egy új piros zsetont helyez egy még szabad helyre olymódon, hogy semelyik két piros zseton helyének távolsága se legyen \(\displaystyle \sqrt5\)-tel egyenlő. Balázs minden lépésekor egy új kék zsetont helyez egy még szabad helyre. (Egy kék zseton által elfoglalt hely távolsága bármely másik foglalt helytől tetszőleges lehet.) A játék akkor ér véget, ha valamelyik játékos nem tud lépni.

Határozzuk meg a legnagyobb \(\displaystyle K\) értéket, amelyre igaz az, hogy Anna biztosan el tud helyezni \(\displaystyle K\) darab piros zsetont, bárhogyan is játszik Balázs.

(Javasolta: Örményország)

5. feladat. Legyen \(\displaystyle a_1, a_2, \ldots \) pozitív egészeknek egy végtelen sorozata. Tegyük fel, hogy van egy olyan \(\displaystyle N>1\) egész, hogy minden \(\displaystyle n \geq N\)-re

\(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \)

egész szám. Bizonyítsuk be, hogy van egy olyan \(\displaystyle M\) pozitív egész, hogy \(\displaystyle a_m = a_{m+1}\) minden \(\displaystyle m \geq M\)-re.

(Javasolta: Mongólia)

6. feladat. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszögre teljesül \(\displaystyle {AB \cdot CD = BC \cdot DA}\). Az \(\displaystyle X\) pont az \(\displaystyle ABCD\) négyszög olyan belső pontja, amelyre teljesül

\(\displaystyle XAB\sphericalangle = XCD\sphericalangle \quad \text{ és } \quad XBC\sphericalangle = XDA\sphericalangle . \)

Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle BXA\sphericalangle + DXC\sphericalangle =180^\circ\).

(Javasolta: Lengyelország)

Előzmény: [353] PSC.HUN, 2018-07-09 15:12:11
[353] PSC.HUN2018-07-09 15:12:11

Az idei első nap

1. feladat. Legyen \(\displaystyle \Gamma\) a hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt köre. \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) legyenek az \(\displaystyle AB\) ill. \(\displaystyle AC\) szakaszok olyan pontjai, amelyekre \(\displaystyle {AD=AE}\). A \(\displaystyle BD\) és \(\displaystyle CE\) szakaszok felezőmerőlegesei a \(\displaystyle \Gamma\) kör rövidebb \(\displaystyle AB\) ill. \(\displaystyle AC\) íveit az \(\displaystyle F\) ill. \(\displaystyle G\) pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DE\) és \(\displaystyle FG\) egyenesek párhuzamosak vagy egybeesnek.

(Javasolta: Görögország)

2. feladat. Határozzuk meg azokat az \(\displaystyle n \geq 3\) egész számokat, amelyekre léteznek \(\displaystyle a_1, a_2, \ldots ,a_{n+2}\) valós számok, amelyekre \(\displaystyle a_{n+1}=a_1\), \(\displaystyle a_{n+2}=a_2\) és

\(\displaystyle a_i a_{i+1} +1 = a_{i+2} \)

teljesül minden \(\displaystyle i=1,2, \ldots ,n\) esetén.

(Javasolta: Szlovákia)

3. Nevezzük anti-Pascal háromszögnek számoknak egy olyan, szabályos háromszög alakú elrendezését, amelyben az utolsó sorbeli számok kivételével minden szám a közvetlenül alatta lévő két szám különbségénak az abszolút értékével egyenlő.

Alább látható egy példa egy olyan anti-Pascal háromszögre, amelynek \(\displaystyle 4\) sora van, és \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle 10\)-ig minden egész szám előfordul benne.

\(\displaystyle \begin{matrix} &&& 4 &&& \\ && 2 && 6 && \\ & 5 && 7 && 1 & \\ 8 && 3 && 10 && 9 \\ \end{matrix} \)

Létezik-e olyan anti-Pascal háromszög, aminek \(\displaystyle 2018\) sora van, és \(\displaystyle 1\)-től \(\displaystyle (1+2+\dots +2018)\)-ig minden egész szám előfordul benne?

(Javasolta: Irán)

[352] Bátki Zsolt2017-10-04 17:31:15

Nagyon tetszett! A "geogebra"-ban egy bizonyítás lépésenkénti megoldása. Geometriai feladatokat én is geogebrában kezdem megoldani. Az "olimpián" mint kiderült ez nem használható. De a Kömal feladatversenyen, nagyon jól jöhet. Nem oldja meg helyettünk, de megkímél a körző, vonalzó használattól és az esetleges szabadkézi rajz félresiklásaitól. Lehetne, így is beadni megoldást!

Előzmény: [349] Ármós Lajos, 2017-09-04 17:15:24
[351] jonas2017-10-03 06:17:57

A “más versenyek” elég bő, úgyhogy kimerítő választ ne várj rá.

Az idei matematika OKTV (amit a Minisztérium szabályoz a középiskolásoknak kor szerinti bontás nélkül) szabályai szerint “A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológép és bármely írásos segédeszköz (tankönyv, szakkönyv, függvénytáblázat, saját kézírásos jegyzet stb.) használható, de egyéb elektronikus kommunikációs eszközök (internet, mobiltelefon stb.) nem. Hibajavító használata sem engedélyezett.”

A BME matematika versenyen (a BME-n tanulóknak szól) is lehet nyomtatott és írott jegyzetet használni, de arra már nem emlékszem, hogy számológépet lehet-e.

A BJMT által rendezett Kürschák verseny (egyetemistáknak) és az Arany Dániel verseny (legfeljebb tizedikes iskolásoknak) ehhez képest sokkal szigorúbb: “Semmilyen segédeszköz (könyv, jegyzet, elektronikus segédeszköz) nem használható. Az íróeszközökön kívül az egyedüli megengedett segédeszköz, a körző és vonalzó.”

A levelező versenyekre, mint a KöMaL és a Schweitzer, gyakorlati okból enyhe szabályok vonatkoznak, itt bármilyen segédeszközt lehet használni, vagyis kereshetsz az interneten vagy elmehetsz könyvtárba, csak másik személytől nem kaphatsz szakmai segítséget.

Előzmény: [350] Bátki Zsolt, 2017-10-02 17:35:30
[350] Bátki Zsolt2017-10-02 17:35:30

A harmadik feladathoz: Ez bizonyult a legnehezebbnek. Csak 2 ember oldotta meg.(egy orosz és egy ausztrál)

A hivatalos megoldás még nem ismert, vagy nem találom.

Szerintem az x(0)=1; x(n+1)=1+sqrt(1+x(n)**2-2*sqrt(x**2-1)) rekurziót kell megtalálni n= 10**9 esetre. De n= 65000-re már x(n)>100.

Nem lehet ilyen egyszerű, valamit elrontottam. Programot írtam rá. (1 darab 'for' ciklus)

Kérdésem milyen eszközöket lehet használni matek olimpián, meg más versenyeken? (mert erre se találtam semmit) Nyilván számítógépet, telefont nem, de nem programozható számológépet igen?

[349] Ármós Lajos2017-09-04 17:15:24

A 4. feladatra (merthogy a geometriát szeretem a leginkább) sikerült egy csak a szögazonosságokra épülő megoldást találnom. Fölvittem GeoGebrába, itt nézhető, lapozható (az alsó sáv bal részén lévő nyilakkal) a megoldás folyamata: https://www.geogebra.org/m/DPGW8FDQ

[348] jonas2017-07-22 14:37:31

Az 5. feladat szerintem tanulságos, úgyhogy mondanék rá egy megoldást.

Amikor az \(\displaystyle N(N+1)\) játékos sorba állt, vágjuk fel a sort \(\displaystyle N\) szakaszra, ahol minden szakasz \(\displaystyle N+1\) fős. Ki szeretnék választani minden szakaszból két-két játékost, hogy ez a \(\displaystyle 2N\) játékos megfeleljen a feltételeknek.

Minden szakaszban keressük meg a legmagasabb és a második legmagasabb játékost. A szakaszonként második legmagasabb játékosok közül keressük meg a legmagasabbat, mondjuk Dezsőt. Dezsőt és az ő szakaszában álló legmagasabb játékost, Ernőt, válasszuk be végleg a kiválasztott játékosok közé. Hagyjuk el Dezső szakaszából a többi \(\displaystyle N-1\) játékost, valamint minden további szakaszból a legmagasabb játékost. Vegyük észre, hogy az el nem hagyott játékosok közül Ernő és Dezső a két legmagasabb.

Maradt \(\displaystyle N-1\) szakaszunk, mindegyikben \(\displaystyle N\) egymás mellett álló játékos, és a már kiválasztott játékosok nem állnak egyik megmaradt szakaszban sem. Ugyanezt a kiválasztást ezért folytathajtuk ezen az \(\displaystyle N-1\) szakaszon, addig, amíg \(\displaystyle 1\le N\). A folyamat minden lépésében van legalább egy szakasz, és a szakaszban legalább két játékos, így minden lépésben ki tudunk választani két újabb játékost.

Összesen \(\displaystyle N\) lépés lesz, és \(\displaystyle 2N\) pár játékost választunk ki. A kiválasztott játékosok közül Ernő és Dezső a két legmagasabb, a második lépésben kiválasztott két játékos a második legmagasabb, stb. Ha egy párt ugyanabban a lépésben választunk ki, akkor ők ugyanabból a szakaszból jönnek, és ebből a szakaszból mindenki mást elhagyunk (az eredeti szakaszokra osztás szerint is), ezért a pár a kiválasztott játékosok sorában egymás mellett áll. Ez pont a feladatban kért tulajdonságot igazolja.

(Az egészben csak annyi a csalás, hogy középiskolás koromban ezt a megoldást valószínűleg nem tudtam volna megtalálni. Az 1. feladat is tanulságos, de most nem lövöm le a megoldását, mert könnyű.)

Előzmény: [346] Kós Géza, 2017-07-22 02:10:20
[347] Kós Géza2017-07-22 03:01:35

A 2017-es eredmények:

1.2.3.4.5.6 összesenhelyezésdíj
Baran Zsuzsanna 7 4 0 7 0 0 18 139–187 bronzérem
Borbényi Márton 7 3 0 7 7 1 25 36–48. aranyérem
Gáspár Attila 7 4 0 7 7 0 25 36–48 aranyérem
Kovács Benedek 7 3 0 3 0 0 13 390–415. dicséret
Matolcsi Dávid 5 4 0 3 0 0 12 416–441
Williams Kada 7 4 0 7 2 2 22 72–81 ezüstérem
csapat: 40 22 0 34 16 3 115 22–24

A versenyen összesen 615-en vettek részt. 48-an kaptak aranyérmet, 90-en ezüstérmet, 153-an bronzérmet.

http://imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2017&column=total&order=desc

Előzmény: [346] Kós Géza, 2017-07-22 02:10:20
[346] Kós Géza2017-07-22 02:10:20

Az idei IMO feladatai:

1. nap, 2017. július 18.

1. feladat. Minden \(\displaystyle a_0 > 1\) egész számra definiáljuk az \(\displaystyle a_0\), \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), ... sorozatot a következőképpen. Minden \(\displaystyle n\geqslant 0\)-ra legyen

\(\displaystyle a_{n+1} = \begin{cases} \sqrt{a_n} & \text{ha \(\displaystyle \sqrt{a_n}\) egész szám}, \\ a_n + 3 & \text{különben.} \end{cases} \)

Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle a_0\) értéket, amihez van olyan \(\displaystyle A\) szám, amire \(\displaystyle a_n = A\) teljesül végtelen sok \(\displaystyle n\)-re.

2. feladat. Legyen \(\displaystyle \mathbb{R}\) a valós számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan \(\displaystyle f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) függvényt, amire minden valós \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) szám esetén teljesül

\(\displaystyle f \left( f(x) f(y) \right) + f(x+y) = f(xy). \)

3. feladat. Egy vadász és egy láthatatlan nyúl egy játékot játszik az euklideszi síkon. A nyúl \(\displaystyle A_0\) kiindulópontja és a vadász \(\displaystyle B_0\) kiindulópontja egybeesnek. A játék \(\displaystyle (n-1)\)-edik menete után a nyúl az \(\displaystyle A_{n-1}\) pontban, a vadász a \(\displaystyle B_{n-1}\) pontban van. A játék \(\displaystyle n\)-edik menetében a következő három dolog történik, ebben a sorrendben:

(i)   A nyúl láthatatlan módon egy olyan \(\displaystyle A_n\) pontba megy, amire \(\displaystyle A_{n-1}\) és \(\displaystyle A_n\) távolsága pontosan 1.

(ii)  Egy nyomkövető eszköz megad egy \(\displaystyle P_n\) pontot a vadásznak. Az eszköz által a vadásznak nyújtott információ mindössze annyi, hogy \(\displaystyle P_n\) és \(\displaystyle A_n\) távolsága legfeljebb 1.

(iii) A vadász látható módon egy olyan \(\displaystyle B_n\) pontba megy, amire \(\displaystyle B_{n-1}\) és \(\displaystyle B_n\) távolsága pontosan 1.

Igaz-e, bárhogyan mozogjon is a nyúl, és bármilyen pontokat jelezzen is a nyomkövető eszköz, hogy a vadász mindig meg tudja úgy választani a mozgását, hogy \(\displaystyle 10^9\) menet után a távolság közte és a nyúl között legfeljebb \(\displaystyle 100\) legyen?

2. nap, 2017. július 19.

4. feladat. Legyenek \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) különböző pontok egy \(\displaystyle \Omega\) körön, amikre \(\displaystyle RS\) nem átmérője a körnek. Legyen \(\displaystyle \ell\) az \(\displaystyle \Omega\) körhöz a \(\displaystyle R\) pontban húzott érintőegyenes. Legyen \(\displaystyle T\) az a pont, amire teljesül az, hogy \(\displaystyle S\) az \(\displaystyle RT\) szakasz felezőpontja. Legyen \(\displaystyle J\) egy olyan pont az \(\displaystyle \Omega\) kör rövidebb \(\displaystyle RS\) ívén, amire teljesül az, hogy a \(\displaystyle JST\) háromszög \(\displaystyle \Gamma\) körülírt köre az \(\displaystyle \ell\) egyenest két különböző pontban metszi. Legyen \(\displaystyle \Gamma\) és \(\displaystyle \ell\) metszéspontjai közül az \(\displaystyle A\) pont az, ami közelebb van az \(\displaystyle R\)-hez. Az \(\displaystyle AJ\) egyenes \(\displaystyle \Omega\)-val vett második metszéspontja legyen \(\displaystyle K\). Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle KT\) egyenes érintője a \(\displaystyle \Gamma\) körnek.

5. feladat. Adott egy \(\displaystyle N \geqslant 2\) egész szám. \(\displaystyle N(N+1)\) futballjátékos, akik között nincs két egyenlő magasságú, valahogyan felállnak egy sorban. Az edző ki akar hagyni ebből a sorból \(\displaystyle N(N-1)\) játékost úgy, hogy a megmaradt \(\displaystyle 2N\) játékos alkotta sor játékosaira teljesüljön az alábbi \(\displaystyle N\) feltétel:

(1) senki nem áll a legmagasabb és a második legmagasabb játékos között,

(2) senki nem áll a harmadik legmagasabb és a negyedik legmagasabb játékos között,

      \(\displaystyle \vdots\)

(\(\displaystyle N\)) senki nem áll a két legalacsonyabb játékos között.

Bizonyítsuk be, hogy ez mindig megtehető.

6. feladat. Egy egész számokból álló \(\displaystyle (x,y)\) rendezett párt primitív rácspontnak nevezünk, ha \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) legnagyobb közös osztója 1. Ha adott primitív rácspontok egy véges \(\displaystyle S\) halmaza, bizonyítsuk be, hogy van olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész, és vannak olyan \(\displaystyle a_0\), \(\displaystyle a_1\), ..., \(\displaystyle a_n\) egészek, hogy minden \(\displaystyle (x,y)\) \(\displaystyle S\)-beli pontra teljesül

\(\displaystyle a_0 x^n + a_1 x^{n-1} y + a_2 x^{n-2} y^2 + \cdots + a_{n-1} x y^{n-1} + a_n y^n = 1. \)

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]