Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Valaki mondja meg!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1021] Euler2009-11-08 11:48:21

Sziasztok! Van egy diofantikus egyenletem, amelyet a pozitiv egész számok halmazán kellene megoldani,ha tud valaki, sagitsen,előre is köszönöm..Az egyenlet: 2x2+2x=3y2+3y

[1020] leni5362009-11-08 10:46:32

Nekem nem tetszett nagyon ez a feladat, egy folytonosan változó tömegnél nincs sok esélye a tömegnövekménynek csak együtt mozogni az eredeti tömeggel, akár az F=ma-val, vagy az F=\frac{dp}{dt}-vel számolunk. Mivel nem tudjuk, hogy honnan jön a plusz tömeg, ezért nem tudhatjuk, hogy melyiket kell alkalmazni. Persze a feladat elég egyszerűnek minősülne, ha az F=ma-t kellene alkalmazni, így lehet sejteni, hogy a másikra van szükség, de akkor sem megalapozott, hogy az a helyes.

[1019] Willy2009-11-08 00:33:39

Azon gondolkoztál, hogy mi van, ha \tau nagy?

Előzmény: [1018] Alma, 2009-11-06 02:23:23
[1018] Alma2009-11-06 02:23:23

Ennek a feldatnak a megoldását pont megírtam tex-ben, úgyhogy feltöltöm. Lehet, hogy valamit nagyon elnéztem, mert nekem gyanúsan egyszerűnek tűnik (nem nagyképűségből mondom, hanem a többi feladathoz képest).

Írjuk fel a test mozgásegyenletét!

\frac{d}{dt}\left(m(t)v(t)\right)=-m(t)g

Behelyettesítve a feladat által megadott tömeg(idő) függvényt, a következő egyenlethez jutunk:

\frac{d}{dt}\left(m_0e^{\frac{t}{\tau}}v(t)\right)=-m_0e^{\frac{t}{\tau}}g

Elvégezve a deriválást és az egyszerűsítéseket:

a=-\left(\frac{v}{\tau}+g\right),

ahol a=\frac{dv}{dt} a test sebessége. Ez a sebességre nézve egy lineáris elsőrendű differenciálegyenlet. Szeparálva a változókat:

-\frac{dv}{\left(\frac{v}{\tau}+g\right)}=dt.

Mindkét oldalt határozottan integrálva a fellövés pillanatától t idővel későbbig:

\tau ln\left(\frac{v_0+g\tau}{v+g\tau}\right)=t.

Ebből kifejezve a sebességet a felhajítástól eltelt idő függvényében:

v=(v_0+g\tau)e^{-\frac{t}{\tau}}-g\tau=\left(2e^{-\frac{t}{\tau}}-1\right)g\tau,

felhasználva, hogy v0=g\tau a feladat szövege szerint. A test akkor van pályájának tetőpontján, amikor sebessége zérussá válik. Ezt a következőképp írhatjuk fel egyenlettel:

v=\left(2e^{-\frac{t_{max}}{\tau}}-1\right)g\tau=0,

ami akkor teljesül, ha tmax=ln2\tau. Így a test tmax=ln2\tau idő múlva jut pályájának tetőpontjára. Ekkor a test tömege a megadott képlet alapján

m_1=m_0e^{\frac{t_{max}}{\tau}}=2m_0

[1017] Geg2009-11-05 13:59:25

Igen, szerintem is kell az a minusz elojel.

Ha pedig lefele dobjuk. akkor a megadott kezdeti feltetelt kielegito megoldas v=g\tau, vagyis a sebesseg konstans.

Előzmény: [1016] SmallPotato, 2009-11-05 12:47:53
[1016] SmallPotato2009-11-05 12:47:53

Hm. Lehet, hogy a levezetés a (kezdeti) sebesség és a nehézségi gyorsulás ellentétes irányán bukik meg. Eszerint g előjelét végig ellentétesre kéne cserélni. De akkor is felmerül a kérdés: lefelé (azaz v0 és g egyező iránya esetén) el se lehet hajítani a testet? :-)

Előzmény: [1014] SmallPotato, 2009-11-05 09:13:17
[1015] SmallPotato2009-11-05 09:19:04

Persze, hogy eltoltam, bocsánat:

t=-\tau ln (g-\frac v \tau)+lnC alapján

t= ln \frac {C}{(g-\frac v \tau)^\tau }, de ez a v=v0=g\tau esetén 0-vá váló nevező problémáján nem változtat.

Előzmény: [1014] SmallPotato, 2009-11-05 09:13:17
[1014] SmallPotato2009-11-05 09:13:17

A Newton-törvény F=\frac {d(mv)}{dt} alakjából, a szorzás differenciálási szabályát alkalmazva

v \frac{dm}{dt}+m \frac{dv}{dt}=mg, azaz

v\frac 1 \tau m_0 e^{\frac t \tau} + m_0 e^{\frac t \tau}\frac{dv}{dt}=m_0 e^{\frac t \tau}g, ahonnan (mivel m_0 e^{\frac t \tau} nem lehet 0) kapjuk

v\frac 1 \tau  + \frac{dv}{dt}=g, azaz

dv=(g-\frac v \tau)dt, vagy az integrálhatóság végett átrendezve

dt=\frac {dv} {g-\frac v \tau}.

Ennek megoldása

t=\int\frac {dv} {g-\frac v \tau}, azaz

t=-\tau ln (g-\frac v \tau)+lnC, vagyis

t= ln \frac {C}{\tau (g-\frac v \tau)}=ln \frac {C}{g \tau-v}.

Ha mármost C meghatározásához a kezdeti feltételt beírjuk:

0=ln \frac {C}{g \tau-v_0}=ln \frac {C}{g \tau-g \tau}=ln \frac C 0, ahol is elakadtam rendesen.

Mondhatnánk, hogy 0 logaritmusa 1-nek van, tehát némi határérték-belemagyarázással C=0 lehetne, csakhogy ez a visszahelyettesítésnél ismét nem értelmezhető eredményhez (ln0) vezet.

Valahol biztosan rosszul látok valamit - de nem tudom, hol.

Előzmény: [1013] Lóczi Lajos, 2009-11-05 00:48:51
[1013] Lóczi Lajos2009-11-05 00:48:51

Be tudnád írni a számolási részleteket?

Előzmény: [1012] SmallPotato, 2009-11-05 00:14:44
[1012] SmallPotato2009-11-05 00:14:44

Tényleg szokatlan volt a változó tömeg ... pedig valóban csak vissza kellett volna nyúlni az eredeti Newton-törvényhez.

Tartok tőle, hogy ennek alapján magam is eljutottam az általad írt "csavar"ig ... legalábbis az integrálási konstans meghatározásába beletörött a bicskám. A szomorú az, hogy a szemlélet alapján nem látom a kiutat - a kezdeti feltétel nem abszurd, tehát megoldásnak igenis lennie kell, akkor is, ha nem látom.

Előzmény: [1011] Geg, 2009-11-04 22:59:08
[1011] Geg2009-11-04 22:59:08

A feladatban Newton torvenyet kell alkalmazni: a testre hato ero megegyezik az idoegysegre juto impulzusvaltozassal. Tekintettel arra, hogy a tomeg nem allando, ezert a kozvetett fuggveny derivalasi szabalya alapjan lesz egy, a sebesseggel aranyos, a tomegvaltozas utemehez kapcsolodo tag is a szokasos m*a mellett. Az igy adodo differencialegyenletet kell megoldani a sebesseg-ido fuggvenyre.

Erdemes kicsit utanaszamolni. En most megtettem, es ha nem rontottam el, ezutan jon csak a csavar a feladatban.

Előzmény: [1010] SmallPotato, 2009-11-04 22:33:54
[1010] SmallPotato2009-11-04 22:33:54

Nem relativisztikus tömegnövekedésről van szó. A feladat, amint azt Higgs a 997. hsz-ban megírta, itt található, az 5-ös számú.

Előzmény: [1009] Ergon, 2009-11-04 21:59:30
[1009] Ergon2009-11-04 21:59:30

Ha feldobjuk a testet, akkor -mivel sebességre tesz szert-, már nem a nyugalmi tömeg lesz a tömege, hanem egy másik, annál nagyobb tömeg. Nem?

[1008] Higgs2009-11-04 12:53:18

Egyik hozzászólásomba oda írtam a feladat címét, és ott sincs megadva, hogy honnan jön a tömeg.

[1007] bily712009-11-04 09:27:54

Valóban, ha nem zárt a rendszer az energiamegmaradás szempontjából, akkor nem módosul a pálya.

De ezt hogy képzeljül el? Fellövünk egy rakétát, és út közben, egy másik rakétáról, mondjuk zsákokat pakolunk rá? Ha a találkozás pillanatában egyforma sebességű a zsák, és a rakéta, akkor nem változik a pálya.

Én azon az eseten gondolkoztam el, amikor a tömeg csak az összenergia rovására nőhet, és ebben az esetben a pálya módosul, hasonlóan, mint az elektron pályája is módosul a részecske gyorsítóban a relatív tömegnövekedés miatt, és nem gyorsulhat fel a "klasszikus" sebességre.

Előzmény: [1005] SmallPotato, 2009-11-03 21:30:08
[1006] Sirpi2009-11-04 08:52:37

Szerintem is azon múlik, hogy honnan jön a plusz tömeg. Ha feltételezzük, hogy a testre rárakódó tömeg rögtön "fel van gyorsítva", azaz a megnövekedett rész is felveszi a test pillanatnyi sebességét, akkor ez a plusz tömeg nyilván nem fogja befolyásolni a test pályáját. Ha viszont a plusz tömeg nyugalmi állapotban kerül rá a testre, akkor az a sebességet csökkenteni fogja.

Az igazi gond az a feladattal, hogy ilyen váratlan tömegnövekedés nem nagyon szokott előfordulni a valóságban, ezért nehéz megfogni a dolgot.

Előzmény: [1005] SmallPotato, 2009-11-03 21:30:08
[1005] SmallPotato2009-11-03 21:30:08

Számomra is ez tűnik teljesen kézenfekvőnek. Mégis aggályaim vannak. Ha a test tömege nő (és ez nincs befolyással a sebességviszonyokra és a pályára), akkor mozgási és helyzeti energiája egyaránt nő az eredeti tömegű állapothoz képest. Honnan származik ez az energiatöbblet?

(Bár, gyanítom, ez épp azzal a kérdéssel azonos, hogy "honnan származik a tömegnövekedés?" Végülis, ha a tömeg növekedését fedezi valami, akkor energiamegmaradás szempontjából sem zárt a rendszer.)

Előzmény: [1004] Higgs, 2009-11-03 21:05:50
[1004] Higgs2009-11-03 21:05:50

Függőlegesen feldobott tömegpont pályája, csak a kezdősebességtől, és a rá ható gravitációs gyorsulástól függ. Ha a tömege folyamatosan nő, azzal egyenes arányban nő a rá ható gravitációs erő, vagyis a rá ható gravitációs gyorsulás állandó. Tehát a 2 eset leírása azonos. Ez jutott eszembe, bár lehet rossz.

[1003] jonas2009-11-03 20:28:41

Elrontottam, helyesen


\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \dots + (-1)^{m-1} \binom{n}{m-1} = (-1)^{m-1} \binom{n-1}{m-1}

(Ez lényegében az (5.16)-os képlet a Konkrét Matematikában.)

Előzmény: [1001] jonas, 2009-11-03 15:10:25
[1002] bily712009-11-03 17:59:11

Ez igaz, nem vettem figyelembe, hogy nem zárt rendszerről van szó.

A függőlegesen felfelé dobott test mozgási energiája folyamatosan átalakul helyzeti energiává, tehát lassul a test.

Amikor elengedjük a testet, már nem végzünk munkát rajta, tehát van egy kezdeti mozgási energiája: E=\frac12mv^2, ami állandó, ha nem hat rá erő, és függ a tömegtől, ha nő a tömeg, akkor lassul a test.

Tehát a testet egyszer lassítja g, a gravitációs gyorsulás, (lassulás), mely független a test tömegétől, másodszor lassulnia kell a tömegnövekedés miatt, tehát a lassulás nagyobb mértékű, mint, ha csak a gravitációból adódna.

De ha nem jól tudom, nyugodtan javítsatok ki, nem akarok senkit félrevezetni.

De mitől nő a tömeg?

Előzmény: [999] SmallPotato, 2009-11-03 14:48:05
[1001] jonas2009-11-03 15:10:25

Aha, most már értem: az alternáló összeget lehet egyszerűsíteni.


\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \dots + (-1)^{m-1} \binom{n}{m-1} = (-1)^{m-1} \binom{n-1}{m}

Előzmény: [993] gabor7987, 2009-10-31 22:01:49
[1000] jonas2009-11-03 14:58:11

Szép feladat. Nem látom, hogyan kéne hozzáfogni.

Előzmény: [993] gabor7987, 2009-10-31 22:01:49
[999] SmallPotato2009-11-03 14:48:05

Az impulzusmegmaradásnak feltételei vannak (elsősorban a zárt rendszer), amelyek itt nem teljesülnek. Gondolj bele: a nehézségi erőnek kitett test állandó tömeg esetén folyamatosan gyorsul, tehát már ekkor is v1\neqv2, azaz mv1\neqmv2.

Előzmény: [998] bily71, 2009-11-03 11:47:30
[998] bily712009-11-03 11:47:30

Az impulzus megmaradás tétele szerint \sum_i{I_i}=c., azaz állandó, és mivel egy testünk van, ezért m1v1=m2v2. Ezek szerint, ha nő a tömeg csökken a sebesség, tehát befolyásolja a mozgást. De mitől nő a tömeg?

Előzmény: [996] HoA, 2009-11-03 11:10:31
[997] Higgs2009-11-03 11:43:33

Mivel a verseny véget ért, már nyugodtan kérdezhetem:D http://ortvay.mafihe.hu/2009/H09.pdf linken található az 5. feladat!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]