A KöMaL 2023. májusi matematika feladatai

K-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

---

K. 769. A Kozmás Étteremben túl sósra sikerült a húsleves, ezért a főnök szeretné felhigítani a hűtőben talált sótlan levessel. A sós leves \(\displaystyle 5\) százaléka, a sótlan leves \(\displaystyle 1{,}2\) százaléka só. Hány litert keverjen össze a kétféle levesből a főnök, ha \(\displaystyle 72\) deciliter levesre van szüksége és szeretné, hogy a sótartalma \(\displaystyle 3{,}48\) százalék legyen?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 770. Hányszor annyi olyan mező van a sakktáblán, amelyről a huszár legalább négy mezőre léphet tovább, mint amelyről nyolc mezőre léphet?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K. 771. Ferike pontosan kilenc négyzet alakú részre vágott fel egy téglalapot. A négyzeteket megvizsgálva Ferike észrevette, hogy az egyiknek a területe \(\displaystyle 64~\mathrm{cm}^2\), két másiké \(\displaystyle 16~\mathrm{cm}^2\), a többié pedig \(\displaystyle 4~\mathrm{cm}^2\). Mekkora volt az eredeti téglalap kerülete?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika

K/C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

---

K/C. 772. Hány olyan négyjegyű, tízes számrendszerbeli természetes szám van, amelynek első három számjegye (a magasabb helyiértéktől az alacsonyabb felé haladva) különböző, mind a négy számjegye prímszám, de a négyjegyű szám nem osztható egyik számjegyével sem?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

K/C. 773. Létezik-e olyan derékszögű háromszög, amelyre az oldalak számértéke egész szám, pontosan két oldalának a hossza prímszám és a területének számértéke is prímszám?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

---

C. 1768. Mutassuk meg, hogy a

$$\begin{align*} 8x^3+27y^3 & =-6\cdot5^3, \\ \frac{3}{x}+\frac{2}{y} & =\frac{xy}{5} \end{align*}$$

egyenletrendszernek nincs megoldása, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) valós számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1769. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\), az oldalak hosszára \(\displaystyle AB\geq BC \geq CA\) teljesül. Az \(\displaystyle AM\) szakasz felezőmerőlegese az \(\displaystyle AC\) oldalt a \(\displaystyle D\), a \(\displaystyle BM\) szakasz felezőmerőlegese a \(\displaystyle BC\) oldalt az \(\displaystyle E\) pontban metszi. Mekkorák az \(\displaystyle ABC\) háromszög szögei, ha tudjuk, hogy a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle M\), \(\displaystyle E\) pontok egy egyenesre illeszkednek?

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1770. Oldjuk meg a valós számok halmazán a

\(\displaystyle \sqrt{7+\frac{3}{\sqrt{x}}}=7-\frac{9}{x} \)

egyenletet.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1771. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú derékszögű háromszögben a \(\displaystyle BC\) befogó felezőpontja \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AB\) átfogó \(\displaystyle B\)-hez közelebbi harmadolópontja \(\displaystyle E\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle CE\) merőlegesek egymásra.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 1772. A tízes számrendszerben legfeljebb háromjegyű pozitív egész számok között hány olyan van, amelynek a kettes számrendszerbeli alakja palindromszám? (Palindromszámnak nevezünk egy számot, ha számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza.)

Javasolta: Koncz Levente (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

---

B. 5318. Egy pozitív egész számnak leírtuk az összes pozitív osztóját egy lapra. A leírt számok között két olyan van, amely 8-cal osztva 2 maradékot ad és négy olyan van, amely 8-cal osztva 4 maradékot ad. Hány olyan szám lehet a lapon, amely 8-cal osztva 6 maradékot ad?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5319. Igaz-e minden hegyesszögű háromszögre, hogy van legalább egy olyan magasságvonala, amelynek talppontja az oldal középső harmadába esik?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5320. Az \(\displaystyle a_n\) sorozat elemeire teljesül, hogy \(\displaystyle \frac{a_{n+3}}{a_{n+1}} + \frac{a_n}{a_{n+2}} = 2\), első három tagja pedig \(\displaystyle a_1=1\), \(\displaystyle a_2=4\) és \(\displaystyle a_3=2\). Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \frac{2^{2021}}{a_{2023}}\) egész szám.

Javasolta: Andrei Eckstein (Temesvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5321. Mutassuk meg, hogy bármely háromszög súlyvonalainak négyzetösszege kisebb a félkerület négyzetének másfélszeresénél.

Javasolta: Németh László (Fonyód)

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5322. Bizonyítsuk be, hogy ha egy háromszögben a szokásos jelölésekkel

\(\displaystyle \frac{\cos\alpha}{s-b}-\frac{\cos\beta}{s-a}=\frac{\cos\alpha-\cos\beta}{s-c}, \)

akkor a háromszög derékszögű vagy egyenlő szárú. (Az \(\displaystyle s\) a háromszög kerületének felét jelöli.)

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5323. A következő nyereményjátékot játsszuk: 2023 darab kártyára tetszésünk szerint valós számokat írunk a \(\displaystyle [0, 100]\) tartományból. A kártyákat ezután egy urnába dobjuk, majd az urnából egy kártyát véletlenszerűen kihúzunk. Ha a kihúzott kártyán szereplő szám megegyezik az összes kártyán szereplő számok átlagának 2/3-ával, akkor a kihúzott kártyán szereplő összeget megnyerjük. Ellenkező esetben a nyereményünk 0. Milyen számokat írjunk a kártyákra, hogy a nyereményünk várható értéke a lehető legnagyobb legyen?

Javasolta: Dura-Kovács Balázs (Garching)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5324. Artúr és Bori a következő játékot játsszák: felváltva, balról jobbra haladva írnak egy-egy számjegyet, amíg egy 2023-jegyű egész számot nem kapnak. Az írást Artúr kezdi egy nem 0 számjeggyel. Artúr győz, ha a kapott számnak van \(\displaystyle 1\hspace{-5.5pt}\overbrace{7\ldots7}^{\text{\(\displaystyle n\)~db~7-es}}\) (\(\displaystyle n\ge 1\)) alakú osztója, ellenkező esetben Bori a nyertes. Melyiküknek van nyerő stratégiája?

Kós Géza (Budapest) javaslata alapján

(6 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 5325. Adjuk meg az összes olyan korlátos, konvex poliédert, amelynek lapsíkjai \(\displaystyle c+e+\ell+1\) részre bontják a teret, ahol \(\displaystyle c\), \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle \ell\) rendre a poliéder csúcsainak, éleinek és lapjainak számát jelöli.

Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2023. június 12-én LEJÁRT.

---

A. 854. Igazoljuk, hogy

\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{2^{2^k}\cdot 2^{k+1}}{2^{2^k}+3^{2^k}}<4 \)

teljesül bármely \(\displaystyle n\) pozitív egész szám esetén.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 855. A nem egyenlőszárú \(\displaystyle ABC\) háromszög legrövidebb oldala \(\displaystyle BC\). Vegyük fel az \(\displaystyle M\) és az \(\displaystyle N\) pontot az \(\displaystyle AB\), illetve az \(\displaystyle AC\) oldalon úgy, hogy \(\displaystyle BM=CN= BC\) teljesüljön. Jelölje \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle E\) az \(\displaystyle AMN\) háromszög beírt és körülírt körének középpontját, jelölje továbbá \(\displaystyle I\) és \(\displaystyle O\) az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt és körülírt körének középpontját. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle DE\) és \(\displaystyle IO\) egyenesek az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körén metszik egymást.

Javasolta: Luu Dong (Vietnám)

(7 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 856. Egy kő-papír-olló bajnokságban a versenyzők teljes körmérkőzést játszanak, és bármely két versenyző tíz menetben ütközik meg egymással. Minden versenyzőnek van egy kedvenc stratégiája, egy előre leírt tízes (például KKOPPKOPPO), és minden ellenfél ellen ugyanazt a tíz kezet mutatja (az előre leírt sorrendben). A bajnokság végén kiderült, hogy minden versenyző legyőzte legalább egy menetben mindegyik másikat.

Bizonyítsuk be, hogy legfeljebb \(\displaystyle 1024\) versenyző vett részt a bajnokságban.

Javasolta: Matolcsi Dávid (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika