KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

MBUTTONS

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

A. 431. A nem egyenlő szárú ABC háromszög körülírt és beírt körének középpontja O, illetve I. A beírt kör a BC, CA, AB oldalakat rendre a D, E, F pontokban érinti. Az FD és AC egyenesek metszéspontja P, a DE és AB egyenesek metszéspontja Q. Az EP és FQ szakaszok felezőpontja M, illetve N. Bizonyítsuk be, hogy MN merőleges OI-re.

Kínai Matematikai Olimpia, 2007

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 432. Határozzuk meg mindazokat az a egész számokat, amikhez léteznek olyan különböző x, y pozitív egészek, amikre (ax2+1)2 osztható (axy+1)-gyel.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 433. Igazoljuk, hogy ha a, b, c valós számok és a2+b2+c2=1, akkor


a+b+c \le 2abc+\sqrt2.

Javasolta: Bodnár János, Budapest

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

B. 4012. Alíznak 8 kulcsa van felfűzve egy karikára. A kulcsok ránézésre megkülönböztethetetlenek és a két oldaluk is egyforma. Alíz, hogy meg tudja a kulcsokat különböztetni, mindegyikre egy-egy színes sapkát húz. Hány színre van szüksége?

Vojtech Jarnik Matematikaverseny, Ostrava, 2007 feladata alapján

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4013. Ki lehet-e színezni a pozitív racionális számokat pirossal és kékkel úgy, hogy piros és kék szám is keletkezzen, és

(a) a piros számok összege piros, a kék számok összege kék legyen;

(b) a piros számok szorzata piros, a kék számok szorzata kék legyen?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4014. Az ABC hegyesszögű háromszög csúcsainak a körülírt kör középpontjára vonatkozó tükörképei rendre A', B' és C'. Bizonyítsuk be, hogy az A'BC, AB'C, ABC' háromszögek területének összege egyenlő az ABC háromszög területével.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4015. Egy konvex négyszög átlói 45o-os szöget zárnak be. Állítsunk merőlegest a négyszög minden csúcsából a vele szomszédos két csúcsot összekötő átló egyenesére. Hogyan aránylik a merőlegesek talppontjai által alkotott négyszög területe az eredeti négyszög területéhez?

Javasolta: Bodnár János (Budapest)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4016. Egy 12 tagú társaságban bármely 9 ember között van 5 olyan, akik valamennyien ismerik egymást. Bizonyítsuk be, hogy létezik a társaságnak 6 olyan tagja is, akik ismerik egymást.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4017. A k1 kört a k2 kör belülről érinti az A pontban. A k2 körhöz egy A-tól különböző D pontjában húzott érintő a k1 kört a B és a C pontokban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AD felezi a BAC szöget.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4018. Az AB átmérőjű kör B-beli érintőjén adott egy P pont. A P-ből a körhöz húzott másik érintő érintési pontja C. A C pont merőleges vetülete az AB egyenesen T. Bizonyítsuk be, hogy AP felezi a CT szakaszt.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4019. Bizonyítsuk be, hogy minden n pozitív egész számra


\frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \ldots + \frac{1}{{(2n+1)}^2} < \frac{1}{4}.

(Felvidéki versenyfeladat)

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4020. Mutassunk két olyan egymással nem egybevágó poliédert, amelynek az elölnézete és a fölülnézete is az alábbi:

(A belső találkozási pont a négyzet középpontja. A négyzetek szakaszai mind látható élek, de rejtett élekből sincsen más.)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4021. Igazoljuk, hogy ha n pozitív egész és az a_1, a_2, \ldots, a_n számok mindegyike legalább 1, akkor


(a_1+1) (a_2+1) \cdot \ldots \cdot (a_n+1)\ge 2^{n-1} (a_1+ a_2+\ldots + a_n-n+2).

(4 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

C. 905. Anna felír két tetszés szerinti természetes számot, melyek ugyanazokat a számjegyeket tartalmazzák, csak különböző sorrendben. A nagyobbikból kivonja a kisebbet és a különbséget megszorozza egy tetszőleges természetes számmal. Ezután a szorzatból kitöröl egy nullától különböző számjegyet. A megmaradt számot közli Bélával, aki rövid gondolkodás után kitalálja a kitörölt számjegyet. Hogyan?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 906. Egy derékszögű háromszögben az oldalak egy számtani sorozat egymást követő elemei. Határozzuk meg az oldalak arányát. Igazoljuk, hogy a beírt kör sugara a számtani sorozat különbsége.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 907. Az a oldalú ABCD, és a b oldalú BEFG négyzeteket az ábrán látható módon rajzoltuk egymás mellé.

Fejezzük ki a-val és b-vel az AB, BE, FC és DG szakaszok felezőpontjai által meghatározott négyszög területét.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 908. Egy tíztagú társaság moziba ment. Két különböző sorba kaptak 5-5 egymás melletti helyre szóló jegyet. A társaságból Ábel és Bendegúz szeretnének egymás mellé ülni, Zsuzsi és Anikó viszont külön akarnak ülni. Hányféleképpen helyezkedhetnek el?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 909. Egy háromszög oldalhosszúságai egész számok, egyik közülük 7, a vele szemben fekvő szög mértéke 60o. Mennyi lehet a háromszög területe?

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2007. október 10-én LEJÁRT.

K. 127. Egy négyjegyű pozitív egész szám minden számjegye helyett a négyszeresét írtuk. Így olyan négyjegyű számot kaptunk, amely az eredeti négyjegyű számnak a négyszerese. Hány ilyen négyjegyű szám van?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 128. Egy logikai játékban az alábbi kezdőállapotot láthatjuk:

A játékban a 7 helyet tartalmazó kis táblázatban nyíllal jelzett bábuk mozognak. Minden bábu csak a rajta levő nyíllal azonos irányba mozdulhat el: egyet léphet a szomszédos üres mezőre, vagy pedig átugorhatja a szomszédos mezőn álló (tetszőleges) bábut, feltéve, hogy mögötte üres mező van. (Ebben az esetben tehát az ugró bábu a helyétől számított második mezőre fog átkerülni.) A játék célja, hogy a kétféle nyilat tartalmazó bábuk helyet cseréljenek. Rajzoljunk le egy olyan lépéssorozatot, mely ezt a cserét eredményezi.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 129. Peti a 2007/2008-as tanév tiszteletére számítógépével a

200720082007200820072008...

sorozatot kezdte el kinyomtatni a számítógépének nyomtatójával. Azonban a nyomtatóban levő festék éppen a 2007. számjegy kinyomtatása után kifogyott. A 2 kinyomtatásához a számítógép 2/3 annyi festéket használ fel, mint a 0, illetve a 8 kinyomtatásához, a 7-es kinyomtatásához pedig feleannyit, mint a 2 kinyomtatásához. Hány darab hetes számjegyet lehetett volna kinyomtatni ugyanekkora tintamennyiséggel?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 130. Az ábrán látható 4 kör. A közepes körök sugara 2 egység, a legkisebb kör sugara 1 egység. Mekkora a legnagyobb kör sugara, ha az ábrán vonalkázással jelzett terület nagysága megegyezik a pöttyözéssel jelzett terület nagyságával?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 131. Van egy téglatest alakú ételtartó dobozunk a konyhai szekrényen, melynek külső mérete 3 dm×5 dm×2,9 dm. A doboz a 3×5 dm-es oldalán áll. Egy hangya a doboz alsó sarkától a vele átellenesen elhelyezkedő felső sarokba szeretne eljutni, végig a doboz oldalán mászva (a doboz belsejébe nem mehet be). Mekkora a legrövidebb út, amit meg kell tennie?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 132. Hány olyan hatjegyű szám van, melyben a számjegyek négyzetének összege 9?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley