KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2009. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

A. 479. Létezik-e olyan, 103-mal osztható pozitív egész n, amire


2^{2n+1}\equiv2\pmod{n}?

Holland versenyfeladat; szerzője Hendrik Lenstra (Leiden)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 480. Tegyük fel, hogy p(z) olyan n-edfokú, komplex együtthatós polinom, melynek minden (komplex) gyöke egységnyi abszolút értékű. Mutassuk meg, hogy tetszőleges c\ge0 valós számra a

2z(z-1)p'(z)+((c-n)z+(c+n))p(z)

polinom gyökei is egységnyi abszolút értékűek.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 481. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok olyan n van, amelyhez léteznek olyan S1,...,Sn egyszerű gráfok, melyekre a következők teljesülnek:

(a) mindegyik Si teljes páros gráf;

(b) az S1,...,Sn gráfok uniója egy 2n csúcsú teljes gráf;

(c) ennek a 2n csúcsú teljes gráfnak minden egyes éle páratlan sok Si-ben szerepel.

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

B. 4172. Legyen n pozitív egész és jelölje a k1,k2,k3,...,kn az 1-től n-ig terjedő egész számok egy tetszőleges sorrendjét. Mekkora az


{(1-k_1)}^2+{(2-k_2)}^2+{(3-k_3)}^2+\ldots+{(n-k_n)}^2

n-tagú kifejezés legnagyobb értéke?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4173. Melyek azok az ABCD konvex négyszögek, amelyeknek van olyan P belső pontja, amelyre az ABP, BCP, CDP, DAP háromszögek területe egyenlő?

Javasolta: Maga Péter

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4174. Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:

(1)4a+bc=32,
(2)2a-2c-b2=0,
(3)a+12b-c-ab=6.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4175. Legyenek A, B, C, D általános helyzetű pontok a síkon. Igazoljuk, hogy ha az ABC és az ABD körök merőlegesen metszik egymást, akkor ugyanez igaz az ACD és a BCD körökre is.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4176. Oldjuk meg a következő egyenletet:

(sin x+sin 2x+sin 3x)2+(cos x+cos 2x+cos 3x)2=1.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4177. Az ABC háromszög körülírt körének B és C pontban húzott érintői az M pontban metszik egymást. Az M ponton át húzott, AB-vel párhuzamos egyenes az AC egyenest az N pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy AN=BN.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4178. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n, k pozitív egészek esetén az \binom{n}{k},
\binom{n+1}{k}, \ldots, \binom{n+k}{k} számok legnagyobb közös osztója 1.

(1949. évi Schweitzer Miklós Emlékverseny feladata)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4179. Egy parabola C csúcsa egy olyan körnek a középpontja, amely átmegy a parabola F fókuszán. Legyenek a parabola és a kör metszéspontjai A és B, az AB és a CF metszéspontja E, a kör F-fel átellenes pontja D. Mutassuk meg, hogy a kör átmérőjének és FE-nek mértani közepe DE.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4180. Bizonyítsuk be, hogy az a_n=\big[n \sqrt{2}\,\big] sorozat 3-nak végtelen sok egész kitevős hatványát tartalmazza.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4181. Egy tetraéder szemköztes élei egyenlő hosszúak és páronként ugyanakkora szöget zárnak be. Igazoljuk, hogy a tetraéder szabályos.

(4 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. május 15-én LEJÁRT.

C. 985. Egy kétjegyű számot megszoroztunk 4-gyel, majd a kapott eredmény mögé írtuk az eredeti kétjegyű számot. Így olyan számhoz jutottunk, amelynek pontosan 6 osztója van. Mi lehetett az eredeti kétjegyű szám?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 986. Adjuk meg az összes olyan egész számot, amely lehet egy szabályos sokszög belső szögének fokban kifejezett mérőszáma.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 987. Egy papírból kivágott háromszög oldalainak hossza 8 cm, 10 cm és 12 cm. A legrövidebb oldalt ráhajtjuk a leghosszabb oldalra a közös csúcsból induló hajtásvonal mentén. Ekkor a papírlapnak lesz kétrétegű és egyrétegű része. Igazoljuk, hogy az egyrétegű rész egyenlő szárú háromszög alakú.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 988. Ha egy 6 kocsiból álló metrószerelvényen utazók között 4 meghűlt utas van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legfeljebb két kocsiban utazik meghűlt utas?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 989. Egy gömb alakú testből ,,dobókockát'' készítünk hat egyforma gömbszelet levágásával olymódon, hogy a gömbszeletek helyén keletkező körlapok mindegyike érinti négy szomszédját. Hány százaléka a hat körlap együttes területe a dobókocka teljes felszínének?

(5 pont)

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley