KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Belépés
Regisztráció
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. (Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.)


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.


K. 385. Egy négyzet alakú papírlapot összehajtottunk, majd egy egyenes vágással levágtunk az összehajtott papírból egy darabot. Amikor kihajtottuk, láthattuk, hogy egy négyzet alakú lyuk keletkezett a közepén az ábrának megfelelően (a két négyzet középpontja egybeesik, és a kis négyzet megfelelő oldalai párhuzamosak a nagy négyzet átlóival).

Adjunk meg egy megfelelő összehajtás és vágás kombinációt, amely a feladatban leírtakat eredményezi.

Adjunk meg egy olyan összehajtás-vágás kombinációt, amelyben a kivágott rész egy téglalap, de nem négyzet. (Az összehajtott papírlapból most is egy egyenes vágással vágunk le egy darabot, és a négyzet és a téglalap középpontja egybeesik, és a téglalap megfelelő oldalai párhuzamosak a négyzet átlóival.)

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 386. Az asztalon hever 12 pénzérme, mind fejet mutat. Egyszerre bármely 5 pénzérmét megfordíthatjuk. El tudjuk-e érni néhány lépésben, hogy mind csupa írást mutasson? Meg tudjuk-e ezt csinálni, ha csak 11 pénzérménk van eredetileg?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 387. Négy egyforma téglalapot az ábrán látható módon illesztettünk össze. A négy téglalap egy nagy négyzetet hoz létre, belül pedig szintén egy négyzetet határolnak. A belső négyzet kerülete megegyezik egy téglalap kerületével. Mennyi a külső négyzet és a belső négyzet területének aránya?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 388. Az angol ABC betűit (ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ) piramis formában leírjuk úgy, hogy minden sorba eggyel több betűt írunk, mint az előző sorba. Amikor a Z-hez érünk, akkor ismét az A, B, C, ...betűk következnek. Hányadik soroknál fordul elő először, hogy két egymás követő sor M betűvel végződik? Hányadik sor végén lesz M betű először?

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 389. Adott a koordinátarendszerben egy F betűt formázó alakzat, melynek csúcsait az alábbi koordináták határozzák meg: (0;2), (3;2), (3;1), (1;1), (1;0), (2;0), (2;-1), (1;-1), (1;-4), (0;-4). Adjuk meg annak az elsőfokú függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelynek a grafikonja felezi az F betű területét.

(6 pont)

megoldás, statisztika


K. 390. Adjuk meg a legnagyobb pozitív egész n kitevőt, amelyre igaz, hogy 11^{n}
\mid 97!+98!+99!, ahol k! jelöli 1-től k-ig az egész számok szorzatát.

(6 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.


C. 1182. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\frac{x^2 +2xy +3y^2}{3x^2 + 2xy +y^2} + \frac{3x^2 + 2xy +y^2}{x^2 +2xy +3y^2} =2;

3x-2y=1.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1183. Az origó középpontú, 5 egység sugarú körvonalra illeszkedő rácspontok meghatároznak egy konvex sokszöget. Mekkora ennek a sokszögnek a területe?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1184. Igazoljuk, hogy 52013.21008+31008.22013 osztható 19-cel.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1185. Határozzuk meg n értékét, ha


1+1^2+2+2^2+3+3^2+\ldots+n+n^2=2280.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1186. Az ABC háromszög A és B csúcsából kiinduló súlyvonal hossza egyaránt 6, továbbá az A-ból induló 60o-os szöget zár be a BC oldallal. Mekkorák az ABC háromszög oldalai?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1187. Vágjunk ketté egy paralelogrammát a rövidebbik átlójával két háromszögre. Rajzoljuk meg az egyik háromszög beírt körét, illetve a másik háromszögnek azt a hozzáírt körét, mely érinti az átlót. Bizonyítsuk be, hogy az a négy érintési pont, mely nem az átlóra esik, egy egyenesen van.

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1188. Egy körcikket kúp alakú süveggé formálunk. Mekkora a körcikk középponti szöge, ha a süveg magassága a körcikk sugarának négyötöde?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.


B. 4562. Az ABC derékszögű háromszög AC befogója, mint átmérő fölé írjunk félkört a háromszög belseje felé. A félkörnek az átfogóval való E metszéspontjában húzott érintője a BC befogót a D pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az EBD háromszög egyenlő szárú.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4563. Oldjuk meg a


\sqrt{x+14-\sqrt{4x-8}} - \sqrt{x-1-\sqrt{4x-8}} = 3

egyenletet.

Javasolta: Fülöp Dóra (Pécs)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 4564. Mutassuk meg, hogy ha n+1<k<2n, akkor n különböző egyenes nem oszthatja a síkot k részre.

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4565. Határozzuk meg azokat a pozitív egész számokat, amelyekre


\frac{3}{\sqrt{x}} + \frac{2}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

(XXII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 4566. Az ABC háromszög oldalaira kifelé az ABDE, BCFG és CAHI négyzeteket rajzoltuk, majd a DBG, FCI és HAE háromszögeket a DBGJ, FCIK és HAEL paralelogrammákká egészítettük ki. Igazoljuk, hogy


AKB\sphericalangle +BLC\sphericalangle + CJA\sphericalangle =90^{\circ}.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4567. Határozzuk meg az összes olyan f\colon \mathbb{R} \backslash \{0, 1\} \to
\mathbb{R} függvényt, amely teljesíti az


f\left(\frac{x-1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{1-x}\right)=2-2x

összefüggést.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4568. Egy börtönben n rab tartózkodik. Az unatkozó börtönőrök azt találják ki, hogy az udvaron mindegyik rab fejére piros vagy kék sapkát tesznek úgy, hogy senki se lássa, a saját fejére milyen színű kerül. Miután a rabok jól megnézték egymást (minden rab a sajátján kívül az összes többi rab sapkáját látja), mindegyiküknek le kell írnia egy-egy lapra, hogy milyen színű sapka van a fején. Ha mindegyikük válasza helyes, kiengedik őket az udvarra. Milyen stratégiában állapodjanak meg a rabok, hogy minél nagyobb valószínűséggel kimehessenek?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4569. Két tetraéderről tudjuk, hogy mindkettőnek pontosan 3 darab a hosszúságú és 3 darab b>a hosszúságú éle van. A b/a arány milyen értékeinél következik ebből, hogy a két tetraéder egybevágó?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 4570. Bizonyítsuk be, hogy egy szabályos nyolcszöget nem lehet felosztani egyenlő területű paralelogrammákra.

(6 pont)

statisztika


B. 4571. Tegyük fel, hogy az A2,A3,...,An független eseményekre


P(A_i)=\frac{1}{2i^2}.

Mennyi annak a valószínűsége, hogy A2,A3,...,An közül páratlan sok következik be?

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.


A. 596. Határozzuk meg azokat a k\ge3 egész számokat, amikre teljesül, hogy bármely P1,P2,... síkbeli, végtelen pontsorozathoz, amelyben semelyik három pont nincs egy egyenesen, léteznek olyan 1\le i_1<i_2<\ldots<i_k egészek, amelyekre a P_{i_1},P_{i_2},\ldots,P_{i_k} pontok ebben a sorrendben konvex k-szöget alkotnak.

Javasolta: Surányi László, Budapest

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 597. Adottak a síkon a k0, k1, k2, k3 és k4 körök úgy, hogy i=1,2,3,4 esetén ki kívülről érinti k0-t a Ti pontban, továbbá ki kívülről érinti ki+1-et az Si pontban (k5=k1). Legyen O a k0 középpontja, T az T1T3 és T2T4 egyenesek metszéspontja, és legyen S a S1S3 és S2S4 egyenesek metszéspontja. Igazoljuk, hogy O, T és S egy egyenesen van.

Javasolta: Mester Márton, Cambridge

(5 pont)

megoldás, statisztika


A. 598. Jelöljük un-nel az n-edik Fibonacci-számot (u1=u2=1, un+1=un+un-1). Igazoljuk, hogy ha a,b,c>1 olyan egész számok, amelyekre a osztója ub-nek, b osztója uc-nek, és c osztója ua-nak, akkor a, b és c osztható 5-tel, vagy a, b és c osztható 12-vel.

(5 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;
  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:
    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley