Fórum: Trigonometria

Foglalkozom a feladattal. B. Zoltánnal sokat beszélgettem a feladatról. Nekem nagyon tetszik a tg alfa = 4*(gyök3) és tg beta = 3*(gyök3) kezdetű levezetésed. Próbáltam a 3*(gyök3)/5-re is alkalmazni:) PAL feladatának megoldását látta Facebook-on B. Zoltán. Azt próbálta belátni, aztán kitette ide.

Sajnos abszolút nem érted a hozzászólásom lényegét:-)

Hidd el, teljesen tisztában vagyok a feladattal kapcsolatos elmélettel és teljes mértékben értem B.Z. megoldását.

Zolit zríkáltam kicsit, mert "légből kapott"-nak nevezte a megoldásom első részének ötletét. Utána meg a saját megoldásában előveszi a 40°-ot a semmiből.

cos(3x)=4*cosx*cosx*cosx-3*cosx

1/2=cos60 fok=4*cos20*cos20*cos20-3*cos20

4*x*x*x-3*x-1/2=0 gyökei: cos20, -cos40, -cos80

A másik harmadfokú egyenlet megoldásainál a ciklikus permutációt alkalmazzuk.

x1=4cos20-12cos40 x2=-4cos40-12cos80 x3=-4cos80+12cos20

x*x*x-84*x-296=0

A megoldás rendben van. De én is megkérdezhetném, hogy miért pont a \(\displaystyle \cos3x=-\frac12\) egyenletet használtad? Az nem légből kapott?:-)

A jobb oldalon mondjuk miért nem \(\displaystyle \frac25\) áll?

Előző hozzászólásom elejét áttekkinthetőbben leírom:

Tekintsük a következő számokat, ahol \(\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}*\arctan\bigg(\frac{\sqrt{3}}{37}\bigg)\).

\(\displaystyle t_1=4*\sqrt{7}*\cos(\alpha)\approx+10,58171873\)

\(\displaystyle t_2=4*\sqrt{7}*\cos(\alpha+\frac{2\pi}{3})\approx-5,433762834\)

\(\displaystyle t_3=4*\sqrt{7}*\cos(\alpha-\frac{2\pi}{3})\approx-5.147955904\)

Feladat: A \(\displaystyle t=4*\sqrt{7}*\cos\bigg(\frac{1}{3}*\arctan\bigg(\frac{\sqrt{3}}{37}\bigg)+\frac{2\pi}{3}\bigg)\) kifejezést írjuk fel úgy hogy ne szerepeljen benne inverz szögfüggvény.

Megoldás:

Tekintsük a következő számokat, ahol \(\displaystyle \alpha=\frac{1}{3}*\arctan\bigg(\frac{\sqrt{3}}{37}\bigg)\). \(\displaystyle t_1=4*\sqrt{7}*\cos(\alpha)\approx+10,58171873\) \(\displaystyle t_2=4*\sqrt{7}*\cos(\alpha+\frac{2\pi}{3})\approx-5,433762834\) \(\displaystyle t_3=4*\sqrt{7}*\cos(\alpha-\frac{2\pi}{3})\approx-5.147955904\)

Ekkor addíciós tételek segítségével a következő összefüggések igazolhatóak:

\(\displaystyle t_1+t_2+t_3=0\)

\(\displaystyle t_1*t_2+t_3*t_1+t_2*t_3=-84\)

\(\displaystyle t_1*t_2*t_3=296\)

Ez azt jelenti, hogy a \(\displaystyle t_1\), \(\displaystyle t_2\), \(\displaystyle t_3\) számok gyökei a következő egyenletnek:

#1:\(\displaystyle t^3-84t-296=0\)

Legyenek \(\displaystyle s_1\), \(\displaystyle s_2\), \(\displaystyle s_3\) a következő számok:

\(\displaystyle s_1=2*\cos\bigg(\frac{2\pi}{9}\bigg)\)

\(\displaystyle s_2=2*\cos\bigg(\frac{4\pi}{9}\bigg)\)

\(\displaystyle s_3=2*\cos\bigg(\frac{8\pi}{9}\bigg)\)

Ekkor addíciós tételek segítségével a következő összefüggések igazolhatóak:

\(\displaystyle s_1+s_2+s_3=0\)

\(\displaystyle s_1*s_2+s_3*s_1+s_2*s_3=-3\)

\(\displaystyle s_1*s_2*s_3=-1\)

Ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle s_1\), \(\displaystyle s_2\), \(\displaystyle s_3\) számok gyökei a következő egyenletnek:

#2:\(\displaystyle s^3-3s+1=0\)

Legyenek \(\displaystyle ss_1\), \(\displaystyle ss_2\), \(\displaystyle ss_3\) a következő számok:

\(\displaystyle ss_1=a*s_1+b*s_2+c*s_3\)

\(\displaystyle ss_2=a*s_2+b*s_3+c*s_1\)

\(\displaystyle ss_3=a*s_3+b*s_1+c*s_2\)

Ekkor a következő azonosságok teljesülnek:

\(\displaystyle ss_1+ss_2+ss_3=0\)

\(\displaystyle ss_1*ss_2+ss_3*ss_1+ss_2*ss_3=-3*(a^2+b^2+c^2-ab-ca-bc)\)

\(\displaystyle ss_1*ss_2*ss_3=-a^3-b^3-c^3+6a^2b+6b^2c+6c^2a-3ab^2-3bc^2-3ca^2-6abc\)

Az \(\displaystyle ss_1\), \(\displaystyle ss_2\), \(\displaystyle ss_3\) számok akkor lesznek egyenlők a \(\displaystyle t_1\), \(\displaystyle t_2\), \(\displaystyle t_3\) számokkal, ha az \(\displaystyle ss_1\), \(\displaystyle ss_2\), \(\displaystyle ss_3\) számok is az #1 egyenlet gyökei, azaz a következő összefüggések teljesülnek:

\(\displaystyle ss_1+ss_2+ss_3=0\)

\(\displaystyle ss_1*ss_2+ss_3*ss_1+ss_2*ss_3=-84\)

\(\displaystyle ss_1*ss_2*ss_3=296\)

Ez azt jelenti, hogy a következő egyenleteknek kell teljesülni:

\(\displaystyle -3*(a^2+b^2+c^2-ab-ca-bc)=-84\)

\(\displaystyle -a^3-b^3-c^3+6a^2b+6b^2c+6c^2a-3ab^2-3bc^2-3ca^2-6abc=296\)

Egész számok körében keresve a megoldást, valamennyi próbálkozással például \(\displaystyle a=0\), \(\displaystyle b=-2\), \(\displaystyle c=-6\), vagy ezek ciklikus permutációja.

\(\displaystyle ss1=a*s1+b*s2+c*s3=0*\cos\bigg(\frac{2\pi}{9}\bigg)-4*\cos\bigg(\frac{4\pi}{9}\bigg)-12*\cos\bigg(\frac{8\pi}{9}\bigg)\approx+10,58171873\)

\(\displaystyle ss2=a*s2+b*s3+c*s1=0*\cos\bigg(\frac{4\pi}{9}\bigg)-4*\cos\bigg(\frac{8\pi}{9}\bigg)-12*\cos\bigg(\frac{2\pi}{9}\bigg)\approx-5,433762834\)

\(\displaystyle ss3=a*s3+b*s1+c*s2=0*\cos\bigg(\frac{8\pi}{9}\bigg)-4*\cos\bigg(\frac{2\pi}{9}\bigg)-12*\cos\bigg(\frac{4\pi}{9}\bigg)\approx-5,147955904\)

Tehát a következő azonosságok teljesülnek:

\(\displaystyle 4*\sqrt{7}*\cos\bigg(\frac{1}{3}*\arctan\bigg(\frac{\sqrt{3}}{37}\bigg)\bigg)=-4*\cos\bigg(\frac{4\pi}{9}\bigg)-12*\cos\bigg(\frac{8\pi}{9}\bigg)\)

\(\displaystyle 4*\sqrt{7}*\cos\bigg(\frac{1}{3}*\arctan\bigg(\frac{\sqrt{3}}{37}\bigg)+\frac{2\pi}{3}\bigg)=-4*\cos\bigg(\frac{8\pi}{9}\bigg)-12*\cos\bigg(\frac{2\pi}{9}\bigg)\)

\(\displaystyle 4*\sqrt{7}*\cos\bigg(\frac{1}{3}*\arctan\bigg(\frac{\sqrt{3}}{37}\bigg)-\frac{2\pi}{3}\bigg)=-4*\cos\bigg(\frac{2\pi}{9}\bigg)-12*\cos\bigg(\frac{4\pi}{9}\bigg)\)

Az tűnt fel , hogy 1+36=37 és innen a tg összeg azonosság jutott eszembe.Így kaptam az 1-et. Utána az erősített meg, hogy a sinus és cosinus tartalmazza a \(\displaystyle \sqrt7\)-et.Végül felírtam a két szöget fokokban és észrevettem 2-t

Szuper. Ehhez meg Galois sem kellett.

Ez milyen kifejezésekre működik? Ez a \(\displaystyle tg(\alpha)=4\sqrt{3}\) és \(\displaystyle tg(\beta)=3\sqrt{3}\) számok nagyon légből kapottaknak tűnnek.

Például \(\displaystyle R*cos\bigg(\frac{1}{3}*arctg\bigg(\frac{3\sqrt{3}}{5}\bigg)+\frac{2\pi}{3}\bigg)\) kifejezésre működik?

Például \(\displaystyle R*cos\bigg(\frac{1}{3}*arctg\bigg(\frac{3\sqrt{3}}{1}\bigg)+\frac{2\pi}{3}\bigg)\) kifejezésre működik?

Szerintem az alábbi két észrevétel elegendő a megoldáshoz:

1.

Ha \(\displaystyle \tg\alpha=4\sqrt3\) és \(\displaystyle \tg\beta=3\sqrt3\) hegyesszögek, akkor könnyű látni, hogy

\(\displaystyle tg(\alpha-\beta)=\frac{\sqrt3}{37}\)

2.

A fenti két szögre

\(\displaystyle \alpha+2\beta=240^\circ\)

(Ez pld. úgy látható be, \(\displaystyle \tg(\alpha+2\beta)=\sqrt3\) és a szögek nagyságrendjén látszik, hogy ez csak \(\displaystyle 240^\circ\) esetén lehetséges)

Így a "csúnya" \(\displaystyle \frac13\arctan\frac{\sqrt3}{37}\) helyett a szelídebb \(\displaystyle \frac{\alpha-\beta}3\) írható, ráadásul a második észrevétel miatt

\(\displaystyle \frac{\alpha-\beta}3=\frac{\alpha}2-40^\circ\)

ezért a kérdéses képletben a sinus és cosinus kifejtésben \(\displaystyle \sin\frac{\alpha}2\) és \(\displaystyle \cos\frac{\alpha}2\) szerepel, ami pontosan számolható a \(\displaystyle \tg\alpha=4\sqrt3\) képletből.

Így a végeredményben csak a \(\displaystyle 40^\circ\) sinusa és cosinusa szerepel.

A becsület olyan dolog, amit az életben csak egyszer lehet eljátszani.

Igazat adok, és elnézést kérek. Az eredmény volt hibátlan, és az enyimtől merőben eltérő (ahogy írtam), aminek tegnap éjszaka nagyon megörültem, elhamarkodottan, de most meg kell, hogy védje az IGAZAZÁT(!) az Úr, én nem hoztam át ide, csak a feladatot. Viszont az átküldött levezetést látva nagy-nagy kétségeim támadtak, hogy honnan származik, de ahhoz én is időt kértem... Azt is jeleztem számára, talán jobb lenne, ha itt folyna le az a védés (és nélkülem!), megkértem, hogy regisztráljon! Valamilyen folytatást még írok majd ide, nem marad ez a dolog szó nélkül így, és most fontos igazán számomra, hogy ez csak egy fórum, és nem egy verseny, belátom, jól is van ez így. Még egyszer elnézést, és várjuk a védést, amiről, ha az azt közlő nem teszi meg, én írom le a gondolatom, mert a korai dícséretet is én adtam itt: vállalom, hogy hibáztam. Annyit kérek, adjunk időt az IGAZSÁG(!) kiderülésének, mert valahonnan csak látszott egy - az enyimtől eltérő - helyes eredmény, de ez nem biztos, hogy az önálló tudást rejt, ezt minden kétséget kizáróan igazolni kell, és feltétlenül azt mondom, hogy nem előttem, hanem az itt lévő közösség előtt.

esetleg közzé lehetne tenni itt is a megoldást???? megköszönném.

Örömmel láttam, hogy a tegnapi napon a Matematika mindenkinek facebook-csoportban érkezett egy hibátlan megoldás erre a feladatomra, méghozzá az általam elképzelt, és feltételeimnek eleget tevő, igen egyszerű trigonometrikus formátumban. Nagyon ügyes volt: Deli Ádám, a Debreceni Fazekas Mihály Gimnázium 14 éves tanulója, ezúton is gratulál neki ezen a fórumon is a feladat kiötlője, Borsós Pál, az az jómagam! ;-) (Továbbá megjegyzem, hogy egyébként az általa leírtnál létezik egy picivel még egyszerűbb alak, tehát akit érdekel még, keresheti.)

Nem bírtam ki sajnos, hogy ne kezdjem el mielőbb a válaszokat, és két megjegyzést meg kell tegyek:

1. A "szép" matematikailag nem definiált fogalom, maradjunk a feladatomban szereplő eredeti megfogalmazásnál: Kérdésem, hogy az ott látható trigonometrikus kifejezés egyszerűbb alakba írható-e az arcus-függvény kiküszöbölésével, vagy sem...? Erre keressük a választ!

2. Előre elnézést kérek, ha most pontatlan és körülményes leszek a megfogalmazásomban: A [77] - [78] -ban szereplő állításodban van a "kutya elásva", mert a kérdés "trükkös", és LEHET, HOGY MATEMATIKAILAG HELYTELEN IS (vállalom, ezért ez egy fórum, és az meg nem egy beküldött versenyfeladat!), de nevezzük akkor a kérdést "didaktikainak/nyelvinek", ugyanis olyan, a megadottnál egyszerűbb trigonometrikus alakot keresek, amiben az arkusz-függvény nincs leírva... Mutatok erre egy nagyon egyszerű példát: A \(\displaystyle 8x^{3}-6x+1\) egyenlet egyik gyöke jól ismert: ez \(\displaystyle \sin(10°)\) . Erről tudjuk, hogy nem szerkeszthető euklidészi úton, mégis megjelent olyan alakban, hogy az arkusz függvény nem szerepel benne (leírva!), csak egy olyan trigonometrikus forma, ami "szakközepes ismeretekkel" értelmezhető, egy bizonyos mélységig (erre külön felhívtam a figyelmet utólag, ezen kérdésem ötletét adó szakközépiskolai - "Sárga"-könyvemre, mint forrásra - utalással!). Az igaz, hogyha mélyebbre megyünk, akkor már elkerülhetetlen a komplex szám is, és az arkusz-függvény bevezetése is, de az is igaz, hogy mégis látjuk az egyik gyök egy egyszerű, rövid, és tömör formáját, amiben sem gyökjel, sem komplex szám, sem arkusz-függvény nem szerepel: \(\displaystyle \sin(10°)\) . Én egy ilyen alakot keresek annál a feladatnál is, amit kitettem, bár elismerem, itt most ismerethiányok miatt lehet, hogy FÉLREÉRTHETŐ VOLT a kérdésem, de később jeleztem, hogy nem szerkeszthető alakot keresek. Az viszont, hogy az általad leírt formánál (lásd azt a hozzászólásod, amire válaszolok!) a kérdezett gyök jóval egyszerűbb alakban is felírható (ha úgy tetszik: egyszerűsíthető!), ez szerintem ugyanilyen létjogosultságú tény. De itt már vita képes vagyok, minden kritikát elfogadok.

Nagyon köszönöm, minden pillanatot, és a hozzászólásokat különösen, a matematikában nálam a rossz hozzászólás néha értékesebb, mint a jó, ha vállaljuk! Holnap át is nézem és reagálok is rájuk. És ha még bármi eszébe jut feltétlenül jelezze! Még egyszer köszönöm!

Írok valami bizonyításfélét, hogy a köbgyökvonás miért nem végezhető el szépen. És akkor talán válaszoltam valamennyire a problémára. Amúgy szép és érdekes volt a kérdés felvetése.

Legyen \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\), illetve \(\displaystyle 148-4*\sqrt{-3}=(a-b*\sqrt{-3})^3\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális számok. Ekkor a zárójel-felbontásokat elvégezve, a következő egyenletek adódnak:

#1: \(\displaystyle a^3-9*a*b^2=148\)

#2: \(\displaystyle 3*b*(a^2-b^2)=4\)

\(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\)

Mindkét oldal normáját véve:

\(\displaystyle N(148+4*\sqrt{-3})=N((a+b*\sqrt{-3})^3)\)

elvégezve a számításokat:

\(\displaystyle 28^3=(a^2+3*b^2)^3\)

köbgyökvonás:

#3: \(\displaystyle 28=a^2+3*b^2\)

rendezés:

#3: \(\displaystyle a^2=28-3*b^2\)

vissza a #2 egyenlethez:

#2: \(\displaystyle 3*b*(a^2-b^2)=4\)

helyettesítés: \(\displaystyle a^2=28-3*b^2\)

\(\displaystyle 3*b*(28-3*b^2-b^2)=4\)

rendezés:

\(\displaystyle 3*b^3-21*b+1\)=0

Ha \(\displaystyle b\) racionális, akkor \(\displaystyle b=+1\), \(\displaystyle b=-1\), \(\displaystyle b=+1/3\), \(\displaystyle b=-1/3\) lehet csak. Egyik esetben sincs olyan racionális \(\displaystyle a\), amely mindhárom egyenletnek megfelelne.

javítom magam, az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenlet diszkriminánsa:

\(\displaystyle D=\bigg(\frac{q}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{p}{3}\bigg)^3=-48\)

Nézzük az \(\displaystyle x^3-84x-296=0\) egyenlet megoldását.

\(\displaystyle p=-84\)

\(\displaystyle q=-296\)

\(\displaystyle D=\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2+\bigg(\frac{q}{3}\bigg)^3=-48\)

Ekkor az egyik gyök:

\(\displaystyle x=\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

A másik két gyök:

\(\displaystyle x=\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

\(\displaystyle x=\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}+\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}=\bigg(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148+4*\sqrt{-3}}+\bigg(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}\bigg)*\root 3\of {148-4*\sqrt{-3}}\)

Az egész csak azon múlik, hogy az \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}\), illetve a \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}\) kifejezések felírhatóak-e \(\displaystyle 148+4*\sqrt{-3}=(a+b*\sqrt{-3})^3\), illetve a \(\displaystyle 148-4*\sqrt{-3}=(a-b*\sqrt{-3})^3\) alakban, ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális (egész) számok. Ha ezt meg tudnánk tenni, akkor az egyenlet mindhárom gyökénél a köbgyökvonást szépen el tudnánk végezni, és akkor az egyenlet mindhárom gyöke szép alakban is megadható. Most géppel programot írtam, elég sok racionális számot próbáltam \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) értékére, és nem találtam megfelelő \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) racionális (egész) számokat. Nagyon nagy eséllyel nem tudjuk ezeket a köbgyökvonásokat szépen elvégezni.

Megengedett itt egy kis (témábavágó) humor? Az a félelmetes, hogy úgy gyök, hogy gyökjelet még hírből sem látott... ;) Na jó, most viszont már... Si tacuisses, philosophus mansisses!

Rendben. Elfogadom. Igazat is adok. Nem szerkeszthető. Ez tény. De, ha "egyszerű és szép", vajon megtalálható?

Talán szabályos 37 oldalú sokszöget aarsz szerkeszteni, vagy 37-ik egységgyököket akarod meghatározni? csak kérdezem.

bocsi, végig \(\displaystyle cos(1/3*arc tg(\alpha))\) kifejezésre gondoltam, és az "arc tg"-től való szabadulásra.

Ha ki tudnánk kerülni a \(\displaystyle cos(1/3*arc cos(\alpha))\) kifejezésben az "arc cos"-t, akkor tetszőleges \(\displaystyle \alpha\) szöget lehetne euklideszi szerkesztéssel harmadolni. De tudjuk, hogy ezt nem lehet.

Amit kérdezel, az tulajdonképpen egy algebrai szám. Az általam megadott egyenletben szereplő polinom ennek az algebrai számnak a minimálpolinomja. Legtöbbször a minimálpolinommal van definiálva az algebrai szám, ez a minimálpolinom megmutatja, hogy az algebrai számmal hogyan kell számolni.