KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

Kifordítható

tetraéder

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

A. 377. Az ABC háromszög beírt köre az AB oldalt a C1, a BC oldalt az A1, a CA oldalt pedig a B1 pontban érinti. Mint ismeretes, AA1, BB1 és CC1 szakaszok egy ponton mennek át; jelöljük ezt a pontot N-nel. Rajzoljuk meg azt a három kört, amely átmegy N-en és érinti valamelyik két oldalt. Igazoljuk, hogy a hat érintési pont egy körön van.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 378. Létezik-e olyan f:\mathbb{Q}\to\{-1,1\} függvény, amelyre f(x)=-f(y), valahányszor x és y különböző racionális számok, és xy=1 vagy x+y\in{0,1}?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 379. Határozzuk meg az összes olyan \lambda valós számot, amelyhez létezik olyan 0-tól különböző P polinom, hogy tetszőleges n pozitív egészre

\frac{P(1)+P(3)+P(5)+\dots+P(2n-1)}{n} = \lambda P(n).

Írjuk fel az összes ilyen polinomot \lambda=2 esetén.

Vojtech Jarnik matematikaverseny, Ostrava, 2005

(5 pont)

Megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

B. 3832. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának tetszőleges pontja P, C-ből induló magasságának talppontja C1. P vetülete az AC befogón A1, a BC-n B1.

a) Bizonyítsuk be, hogy a P, A1, C, B1, C1 pontok egy körön vannak.

b) Bizonyítsuk be, hogy az A1B1C1 és az ABC háromszögek hasonlók.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3833. Adottak az A, B, C és D pontok a síkban. Szerkesszünk olyan A-n és B-n átmenő kört, amelyhez C-ből és D-ből egyenlő hosszú érintők húzhatók.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3834. Mi az n egész szám legnagyobb értéke, ha négy megfelelő segédsúly és egy kétkarú mérleg segítségével minden olyan test tömege meghatározható, amelyről tudjuk, hogy kilogrammban vett mérőszáma 1-től az n-ig terjedő egész szám? (A kétkarú mérleggel tetszőlegesen sok mérést végezhetünk, de csak a segédsúlyokat és a mérendő tárgyat rakhatjuk serpenyőibe, és sem a segédsúlyokat, sem pedig a mérendő tárgyakat nem darabolhatjuk fel.)

A klasszikus feladatot módosította: Törcsvári Attila

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3835. Idén tavasszal a női kézilabda EHF kupában három magyar csapat is bejutott a legjobb nyolc közé. A nyolc csapatot sorsolással összepárosították. A sorsoláson mindhárom magyar csapat külföldi ellenfelet kapott. Mennyi volt ennek az esélye?

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3836. Ábrázoljuk a síkon a p, q számpároknak azokat az értékeit, amelyekre az x2-2px+q=0 egyenletnek

a) kettő gyöke van;

b) gyöke a kettő;

c) a kettő az egyetlen gyöke.

Javasolta: Hraskó András

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3837. Jelölje P, illetve Q az ABC háromszög AB oldalára kifelé rajzolt ABDE négyzet és a BC oldalára kifelé rajzolt BCGH négyzet középpontját. Az AC és a DH szakaszok felezőpontja R, illetve S. Mutassuk meg, hogy a P, Q, R és S pontok egy négyzet csúcsai.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3838. Az A pozitív egész kettes számrendszerbeli alakja n darab 1-esből áll. Bizonyítsuk be, hogy nA kettes számrendszerbeli alakjában a számjegyek összege n.

Javasolta: Lorántfy László, Dabas

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3839. Az ABC háromszög A-ból induló szögfelezője D-ben metszi a BC oldalt. A B és a C ponton keresztül olyan b, illetve c egyenest rajzolunk, amelyek egymással párhuzamosak, és egyenlő távolságra vannak A-tól. Legyen M a b, N pedig a c egyenesnek az a pontja, amelyre AB a DM szakaszt, AC pedig a DN szakaszt felezi. Bizonyítsuk be, hogy DM=DN.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3840. Ismeretes, hogy egy tetraéder lapsíkjai 15 részre osztják a teret. E részek közül legfeljebb hányba metszhet bele egy egyenes?

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 3841. Határozzuk meg, hogy ha a Szalonpóker cikkben leírt módon 52 lapot keverünk össze, akkor hányadik keverés után kapjuk vissza az eredeti sorrendet. Oldjuk meg ezt a feladatot abban az esetben is, ha a jobboldali pakli alsó lapjával kezdjük a keverést, vagyis ha az eredetileg 26-odik helyen álló kártya kerül a legalsó helyre.

Javasolta: Hraskó András és Jelitai Árpád, Budapest

(4 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

C. 815. Az a és b valós számokról tudjuk, hogy a szorzatuk 1, továbbá

 {a+b+2\over4}={1\over a+1}+{1\over b+1}.

Határozzuk meg a és b értékét.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 816. Történt egyszer, hogy Margit néni kedvenc csokoládéjának árát 30%-kal felemelték, ugyanakkor a nyugdíja is emelkedett 15%-kal. Hány százalékkal csökken Margit néni csokoládéfogyasztása, ha csak 15%-kal tud többet költeni csokoládéra?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 817. Miután Klári kiszámolta, hogy 62+8=44, észrevette, hogy 662+88=4444. Igaz-e minden n-re, hogy

(\underbrace{6\dots6}_{n~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n~{\rm jegy}}?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 818. Egy kör alakú asztalra rátettünk egy négyzet alakú terítőt úgy, hogy a középpontjaik egybeestek. A kör és a négyzet kerülete egyenlő. Az asztallap területének hány százalékát takarja a terítő?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 819. Az ABCDEF szabályos hatszög K középpontjában, továbbá a B csúcsában egy-egy légy, az A csúcsban pedig egy pók ül. A B csúcsból a C irányába, a K-ból pedig az E irányába egyszerre, azonos sebességgel elindulnak a legyek. (A pók helyben marad.) Mutassuk meg, hogy a mozgás során mindig egy szabályos háromszög csúcsaiban vannak.

(5 pont)

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. október 10-én LEJÁRT.

K. 43. Két diák beszélget iskola után:

-- Mennyi a szeptemberben kapott jegyeid átlaga informatikából?

-- Pontosan 4,6.

-- Az nem lehet, hisz még csak most kezdődött el a tanév. Nem lehet még ennyi jegyed!

Mire gondolhatott a kétkedő diák?

Mikusi Imre ötlete nyomán

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 44. Mekkorák a derékszögű háromszög hegyesszögei, ha az ábrán látható módon három egyenlő szárú háromszögre tudjuk felbontani?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 45. Hányféleképpen tehetünk fel a sakktáblára egy királyt és egy bástyát, hogy egyik se üsse a másikat? (A sakktábla mezői a szokásos módon betűkkel és számokkal vannak jelölve; két helyzet különbözőnek számít, ha legalább az egyik bábu másik mezőn áll a két helyzetben.)

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 46. Aurumban a megmunkált aranytárgyak értéke tömegük négyzetével arányos. Tolvajok ellopnak egy 100 peták értékű aranytárgyat, és ebből egyforma tömegű medálokat készítenek, melyek értéke összesen 10 peták. A medálokat egy ékszerész megvásárolja, majd belőlük (nem feltétlenül egyforma tömegű) karkötőket készít oly módon, hogy egy-egy karkötőhöz egész számú medált használ fel. A karkötők összértéke 46 peták. Mennyit érnek az egyes karkötők?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 47. Egy szigeten kétféle ember él: jók és rosszak. A jók mindig igazat mondanak, a rosszak mindig hazudnak. Természetesen mindenki vagy fiú vagy lány a szigeten. Egyszer két fiatal ember a következőket mondta:

A: Ha én jó vagyok, B rossz.

B: Ha én fiú vagyok, A lány.

Állapítsuk meg mindkettőről, hogy jó-e és hogy milyen nemű!

Javasolta: Szalkai Balázs, Veszprém

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 48. Bélának háromféle körsablonja van: ezek rendre 6, 15 és 83 cm2 területű körök rajzolására alkalmasak. Béla szeretne néhány kört rajzolni, melyek területe összesen 220 cm2. Melyik körből hányat rajzoljon?

Szilágyi Dániel, Budapest

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley