KöMaL - Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
 English
Információ
A lap
Pontverseny
Cikkek
Hírek
Fórum
Versenykiírás
Tudnivalók
Nevezési lap
Feladatok
Eredmények
Korábbi évek
Arcképcsarnok
Munkafüzet

Rendelje meg a KöMaL-t!

ELTE

VersenyVizsga portál

Kísérletek.hu

Matematika oktatási portál

A KöMaL 2014. februári matematika feladatai

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

Figyelem! Kézírással készült megoldást csak postai úton fogadunk el. Ha kézzel rajzolsz ábrát, jól látható minőségben beszkenneled, majd beilleszted a dokumentumba, azt elfogadjuk.


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

A. 608. Tegyük fel, hogy az egy síkban fekvő \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\) és \(\displaystyle P_3\) konvex sokszöglemezek rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy bárhogyan is választjuk az \(\displaystyle A\in P_1\), \(\displaystyle B\in P_2\) és \(\displaystyle C\in P_3\) pontokat, az \(\displaystyle ABC\) háromszög területe legfeljebb egységnyi. Bizonyítsuk be, hogy a \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\) és \(\displaystyle P_3\) sokszöglemezek között van két különböző, amelyek területének összege nem több \(\displaystyle 8\) egységnél.

Javasolta: Fleiner Tamás (Budapest)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 609. Legyenek \(\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n\) és \(\displaystyle b_1,b_2,\dots,b_n\) olyan komplex számok, amelyekre \(\displaystyle \mathop{\rm Im} a_j\ge 1\) és \(\displaystyle \mathop{\rm Im} b_j\le -1\) (\(\displaystyle j=1,2,\dots,n\)), és legyen

\(\displaystyle f(z) = \frac{(z-a_1)(z-a_2)\ldots (z-a_n)}{(z-b_1)(z-b_2)\ldots (z-b_n)}. \)

Igazoljuk, hogy az \(\displaystyle f'(z)\) függvénynek nincs gyöke az \(\displaystyle |\mathop{\rm Im}z|<1\) halmazon.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

A. 610. Adott egy \(\displaystyle p\) prímszám és két pozitív egész, \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle n\). Határozzuk meg azt a legkisebb \(\displaystyle d\) nemnegatív egész számot, amihez létezik olyan \(\displaystyle n\)-változós, \(\displaystyle d\)-edfokú, egész együtthatós \(\displaystyle f(x_1,\dots,x_n)\) polinom, amelyre a következő tulajdonság teljesül: tetszőleges \(\displaystyle a_1,\dots,a_n\in\{0,1\}\) esetén \(\displaystyle f(a_1,\dots,a_n)\) akkor és csak akkor osztható \(\displaystyle p\)-vel, ha \(\displaystyle a_1+\ldots+a_n\) osztható \(\displaystyle p^k\)-nal.

(5 pont)

Statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

B. 4602. Egy húrtrapéz átlói merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy a trapéz köré írható kör középpontjának az egyik alaptól mért távolsága egyenlő az átlók metszéspontjának a másik alaptól mért távolságával.

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4603. Egy egyenes körkúp felszíne A, térfogata V. Igazoljuk, hogy A3\ge72\pi.V2.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4604. Oldjuk meg az


x^{3}+\left(\frac{x}{2x-1}\right)^{3}=\frac{243}{64}

egyenletet.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4605. Tegyük fel, hogy \alpha és \beta olyan, egymástól különböző valós számok, amelyek közül legalább az egyik nem egész. Igaz-e, hogy biztosan létezik olyan n pozitív egész szám, amelyre \alphan-\betan nem egész?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4606. Oldjuk meg a pozitív számok körében az


\frac{x\cdot 2014^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x}\cdot 2014^x}2 =2014

egyenletet.

(Matlap, Kolozsvár)

(3 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4607. Az a, b, c oldalú háromszög beírt körének középpontján átmenő egyenes a c oldalt P-ben, a b oldalt pedig Q-ban metszi. Legyen AP=p és AQ=q. Bizonyítsuk be, hogy


\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{a+b+c}{bc}.

Kacsó Ferenc (Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4608. Az ABC háromszög S súlypontjának a háromszög BC, AC és AB oldalaira eső merőleges vetületei A1, B1 és C1. Igazoljuk, hogy (a szokásos jelölésekkel)


a^2 \overrightarrow{SA_1} +b^2 \overrightarrow{SB_1}+c^2
\overrightarrow{SC_1} =\mathbf{0}.

(4 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4609. Melyik az a legkisebb pozitív c szám, amelyre igaz, hogy tetszőleges a_1,a_2,\ldots,a_n valós számok közül kiválasztható néhány, amelyek összegének a hozzá legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb c?

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4610. Legyen az ABC hegyesszögű háromszög köré írt körének középpontja K, beírt körének középpontja O, magasságpontja pedig M. Lehetnek-e az O, K és M pontok egy egyenlő szárú háromszög csúcsai?

(Kvant)

(6 pont)

Megoldás, statisztika

B. 4611. Tükrözzünk a térben valamilyen sorrendben egy kocka mind a hat lapjának a síkjára. A hat tükrözés egymásutánja hány különböző transzformációt eredményez?

(6 pont)

Megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

C. 1210. Négy zsákban liszt van. Határozzuk meg, melyik zsák a legnehezebb, ha három mérés után a következőt állíthatjuk: az első zsák a másodikkal együtt kisebb, a harmadikkal együtt ugyanannyi és a negyedikkel együtt nagyobb tömegű, mint a másik két zsák.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1211. Az ABCD konvex négyszögben a D csúcsra illeszkedő, BC egyenessel párhuzamos egyenes az AB oldalt az oldal F felezőpontjában metszi. Mekkora az AFCD négyszög területe, ha az ABD háromszög területe 4?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 1-10. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1212. Igazoljuk, hogy (2+3+5) \mid \big(2 \cdot 2^{5^3} + 3^{2^5} - 5^{3^2}\big).

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1213. Adott téglalapba szerkesszünk egy feleakkora területű téglalapot, amelyet a két téglalap közötti síkrész egyenlő szélességű keretbe foglal.

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1214. Egy 30 fős osztályból két tanuló hiányzik. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hiányzók szomszédosak a névsorban? Mekkora lenne az osztály létszáma, ha ez a valószínűség 0,1?

(5 pont)

Megoldás, statisztika

C. 1215. Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszögbe írható kör egységnyi sugarú, és az egyik befogó mérőszáma racionális, akkor a másik két oldalé is az.

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

C. 1216. Az elkészült ideális farsangi fánk 54 gramm, melynek 8%-a a sütéskor beszívott olaj, és alakja egy 78 mm átmérőjű, 3 cm magasságú, azonos méretű alsó- és felső fedőlapú (vagyis középpontosan szimmetrikus) gömböv. A fánk tésztája sütés közben a kétszeresére dagad és tömege csak az olaj tömegével nő. Lefedhető-e egy lapos fedővel a 2,5 l-es keverőtálba tett sütés előtt álló 1 kg-nyi tészta?

(5 pont)

Ezt a feladatot csak 11-12. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

K. 409. Hányféle olyan négyszög van, amelyet egyik átlója két egyenlő szárú derékszögű háromszögre vág szét?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 410. Egy szabályos háromszögrácsra a rácsvonalak mentén szabályos háromszöget rajzoltunk. A háromszög belsejében 5995 rácspont van. Hány rácsponton haladt keresztül a ceruzánk a háromszög megrajzolásakor?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 411. Az x5 hatványt kiszámolhatjuk, nemcsak úgy, hogy x.x.x.x.x, amihez 4 szorzás kell, hanem ennél kevesebb szorzással is, ha a részeredményeket is felhasználhatjuk (pl.: y=x.x), majd a végeredményt y.y.x műveletekkel kapjuk, ami összesen csak 3 szorzás. Írjuk fel az x23 hatványt kevesebb, mint 10 szorzással.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 412. Egy \sqrt{2} sugarú kör középpontja egy egységsugarú kör kerületén helyezkedik el. A két körvonal így négy részre osztja a síkot, közöttük egy kisebb és egy nagyobb hold alakú síkidomot találunk. Mekkora a kisebbik hold alakú síkidom területe?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 413. Adjuk meg az a és b számjegyeket úgy, hogy a következő egyenlőség igaz legyen:


\frac{a}{b} +\frac{\;\overline{ba}\;}{\overline{ab}} =2,

ahol \overline{ab} és \overline{ba} kétjegyű számokat jelöl.

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika

K. 414. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Két versenyző lemondta a részvételét, ezért a tervezettnél 17-tel kevesebb mérkőzésre kerül sor. Hány résztvevő lesz a lemondás után?

(6 pont)

Ezt a feladatot csak 9. osztályosok küldhetik be.

Megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait többféleképpen is beküldheted.

  • Megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben;

  • Elküldheted postán a szerkesztőség címére:

      KöMaL Szerkesztőség
      Budapest 112, Pf. 32.  1518.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Támogatóink:   Ericsson   Cognex   Emberi Erőforrás Támogatáskezelő   Emberi Erőforrások Minisztériuma   Nemzeti Tehetség Program    
MTA Energiatudományi Kutatóközpont   MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont     Nemzeti
Kulturális Alap   ELTE   Morgan Stanley