Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2021. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.


K. 699. Van hat korongunk, az egyik oldalukon betűjelek vannak (A, B, C, D, E, F), a másik oldalukon számok (valamilyen sorrendben 1, 2, 3, 4, 5, 6). A korongok úgy vannak letéve az asztalra, hogy a betűs oldalát látjuk. Tudjuk viszont, hogy az A, B és C jelű korongokon lévő számok összege 14, az A, D és E jelű korongokon lévő számok összege pedig 12. Legalább hány korongot kell megfordítanunk ahhoz, hogy megtudjuk, melyik betűjelű korongon melyik szám áll?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 700. Van tíz számkártyánk, melyeken az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 és 10 számok állnak. A kártyákat egymás mellé tesszük az asztalra és hármasával összeadjuk a rajtuk álló számokat: először az 1., 2., 3.; majd a 2., 3., 4.; a 3., 4., 5.; és így tovább; végül a 8., 9., 10. kártyákon lévőket. Így rendre az alábbi összegeket kapjuk: 14, 18, 24, 23, 24, 21, 16, 12. Mennyi az első és az utolsó kártyára írt számok összege?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 701. Egy bolha ül a számegyenesen a 0 számon és ugrani készül. A bolha minden ugrásánál jobbra vagy balra ugrik 3-at vagy 5-öt. A bolha célja, hogy 1-től 20-ig eljusson minden egész számra. Adjunk meg egy legfeljebb 22 ugrásból álló ugrássorozatot, amellyel ezt a célját el tudja érni.

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.


K/C. 702. Öt nem figurás lapot húztunk egy pakli 52 lapos franciakártyából. Tudjuk, hogy mind a négy színből van köztük legalább egy. A kártyák értékét jelző páros számok összege ugyanannyi, mint a páratlanoké. Továbbá a pikkek összege 14, a pirosak összege 10, a legkisebb kártya pedig kőr. Melyik lapokat húztuk?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C. 703. Egy pozitív tizedestörtben a tizedesvesszőt 4-gyel jobbra tolva egy olyan számot kapunk, ami az eredeti szám reciprokának négyszerese. Mi az eredeti szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.


C. 1684. Igazoljuk, hogy nincs olyan ötszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú és van két \(\displaystyle 60^{\circ}\)-os szöge.

(5 pont)

megoldás


C. 1685. Egy királyi család nyolc gyermeke közül a legidősebb uralkodik. A testvérek mindegyike pontosan akkor uralkodik, amikor ő a legidősebb még élő személy közülük. Viszont ezen a királyi családon átok ül: ha három testvér, kik korban egymást követik, mind trónra kerülnek, akkor a rákövetkező testvérük meghal reménytelenségében. Hányféleképpen uralkodhatnak, ha csak arra vagyunk tekintettel, hogy kik kerülnek trónra a testvérek közül?

(5 pont)

megoldás


C. 1686. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög átfogója az \(\displaystyle AB\) szakasz. Az \(\displaystyle A\) csúcsból kiinduló \(\displaystyle f\) belső szögfelező a \(\displaystyle BC\) oldalt a \(\displaystyle D\) pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle AB-BD\) és \(\displaystyle AC+CD\) szakaszok hosszának mértani közepe éppen az \(\displaystyle f = AD\) szögfelező hossza.

Javasolta: Zagyva Tiborné (Baja)

(5 pont)

megoldás


C. 1687. Egy bevásárlószatyorban találtunk három bevásárló listát. Az első listán 23 zsömle, 13 alma és 15 tojás szerepelt, a másodikon 9 zsömle, 3 alma és 28 tojás, a harmadikon pedig 25 zsömle, 18 alma és 11 tojás. Az első listán lévő árukért 2021 forintot fizettünk, a másik két bevásárlásért pedig 2031, illetve 2041 forintot, de nem tudjuk, melyik összeg melyik vásárláshoz tartozik. Minden termék darabára pozitív egész szám. Mi mennyibe került?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(5 pont)

megoldás


C. 1688. Hány eleme lehet annak az adathalmaznak, melynek egyetlen módusza a \(\displaystyle 2\), mediánja \(\displaystyle 3\), átlaga \(\displaystyle 4\), terjedelme pedig \(\displaystyle 5\)?

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.


B. 5190. Egy \(\displaystyle n\) sorból és \(\displaystyle k\) oszlopból álló táblázat mindegyik mezőjébe \(\displaystyle -1\) van írva. Egy lépésben egy sort és egy oszlopot kijelölünk és előbb a kijelölt sor, majd a kijelölt oszlop mindegyik számát az ellentettjére változtatjuk.

Mely \(\displaystyle n\) és \(\displaystyle k\) esetén érhető el, hogy mindegyik mezőben \(\displaystyle 1\)-esek legyenek?

Javasolta: Szoldatics József (Budapest)

(3 pont)

megoldás


B. 5191. Van egy derékszögű favonalzónk, amelynek az átfogóját megrágta a nyúl. A vonalzó segítségével össze tudunk kötni közeli pontokat, az egyes szakaszokat meg tudjuk hosszabbítani, és az egyenesekre bármelyik pontjukban merőlegest tudunk állítani. Meg tudjuk-e szerkeszteni egy tetszőlegesen nagy kör középpontját?

Javasolta: Gáspár Merse Előd (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5192. Nyolc gyerek elhatározta, hogy az őszi szünet első hét napján egy-egy focimeccset játszanak, négy a négy ellen. Meg tudják-e úgy szervezni a meccseket, hogy bármelyik három gyerek legalább egyszer ugyanabban a csapatban játsszon?

Gáspár Merse Előd (Budapest) ötletéből

(5 pont)

megoldás


B. 5193. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben \(\displaystyle BCA\sphericalangle=45^{\circ}\), a magasságok talppontjai a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\), \(\displaystyle AB\) oldalakon rendre \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\), a háromszög magasságpontja \(\displaystyle M\). Tudjuk, hogy az \(\displaystyle F\) pont az \(\displaystyle AB\) szakaszt \(\displaystyle {AF}:{FB}={2}:{3}\) arányban osztja. Az \(\displaystyle AC\) oldalon megjelöljük azt a \(\displaystyle G\) pontot, amelyre \(\displaystyle CG=BM\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle ABG\) háromszög súlypontja \(\displaystyle M\).

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5194. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=2CAB\sphericalangle\). Az \(\displaystyle AB\) oldal a beírt kört az \(\displaystyle E\) pontban érinti, a \(\displaystyle C\)-ből induló szögfelezőt az \(\displaystyle F\) pontban metszi. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle AF=2BE\).

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5195. Mutassuk meg, hogy minden \(\displaystyle (x;y)\) pozitív valós számokból álló számpár és minden \(\displaystyle 0<p<1\) valós szám esetén fennáll az \(\displaystyle x^{p}\cdot y^{1-p}<x+y\) egyenlőtlenség.

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5196. Legyen \(\displaystyle p(x)=2x+1\). Az \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle S=\{1,2,\dots,2021\}\) halmaz olyan részhalmaza, mely minden \(\displaystyle n\)-re az \(\displaystyle n\), \(\displaystyle p(n)\), \(\displaystyle p\big(p(n)\big)\) számok közül legfeljebb egyet tartalmaz, de újabb \(\displaystyle S\)-beli elem hozzávétele esetén már nem teljesül ez a feltétel. Hány elemű lehet az \(\displaystyle A\) halmaz?

(6 pont)

megoldás


B. 5197. Jelölje \(\displaystyle \mathbb{N}\) a nemnegatív egész számok halmazát, és legyen \(\displaystyle k\) adott pozitív egész. Van-e olyan monoton növő \(\displaystyle f \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) függvény, amelyre

\(\displaystyle f\big(f(x)\big) = f(x) + x + k \)

minden \(\displaystyle x \in \mathbb{N}\) esetén?

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2021. november 10-én LEJÁRT.


A. 806. Adott a síkon négy különböző egyenes, melyek nem mennek át egy ponton, és nincs köztük három párhuzamos. Bizonyítandó, hogy a síkon lehet találni négy pontot, \(\displaystyle A\)-t, \(\displaystyle B\)-t, \(\displaystyle C\)-t és \(\displaystyle D\)-t, melyekre teljesülnek a következők:

\(\displaystyle (i)\) \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) ebben a sorrendben egy egyenesre esnek,

\(\displaystyle (ii)\) \(\displaystyle AB=BC=CD\),

\(\displaystyle (iii)\) a négy adott egyenes alkalmas sorrendje mellett \(\displaystyle A\) az első, \(\displaystyle B\) a második, \(\displaystyle C\) a harmadik és \(\displaystyle D\) a negyedik egyenesre esik.

Javasolta: Williams Kada (Cambridge)

(7 pont)

megoldás


A. 807. Adott egy \(\displaystyle n \ge 2\) egész szám. Legyen \(\displaystyle G\) egy véges egyszerű gráf, melynek minden élén legfeljebb \(\displaystyle n\) kör halad át. Bizonyítandó, hogy a gráf kromatikus száma legfeljebb \(\displaystyle n+1\).

Javasolta: Schweitzer Ádám (Budapest)

(7 pont)

megoldás


A. 808. Keressük meg az összes páronként relatív prím \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) pozitív egészt, melyekre

\(\displaystyle a^2+3b^2c^2=7^c. \)

Javasolta: Nikolai Beluhov (Bulgária)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)