[206] lorantfy | 2004-01-06 20:50:09 |
Kedves Attila!
Kösz a helyreigazítást. Én is rájöttem a hibára, csak már azután, hogy feltettem a hozzászólást. Hirtelen valami olyasmire gondoltam, hogy miközben x mint valós szám végigfut az adott intervallumon, a zárójelben lévő kifejezés értékei milyen egész számokat érintenek, és ezek szummája. Ez persze hülyeség, elkapkodtam!
Nagyon szép és szemléletes a megoldásod! Az a fajta, amit megnéz az ember és csak fogja a fejét: - Milyen egyszerű, mért nem jutott ez nekem eszembe? Felteszek egy ábrát, hátha más is kedvet kap, hogy megnézze a hozzá tartozó feladatot és megoldást! (Lászlónak hívnak!)
|
|
Előzmény: [203] jenei.attila, 2004-01-05 15:27:03 |
|
[1452] jenei.attila | 2004-01-06 10:55:56 |
Sziasztok!
A 41.feladat megoldása
A feltételekből következik, hogy p|ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de -nek. A szimmetrikus polinomok alaptétele szerint mindem szimmetrikus polinom előáll elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként. Ez alapján:
a5+b5+c5+d5+e5=5abcde+(a+b+c+d+e)5-
-5(a+b+c+d+e)3(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)+5(a+b+c+d+e)(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)2+
+5(a+b+c+d+e)2(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)-
-5(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)-
-5(a+b+c+d+e)(abcd+abce+abde+acde+bcde)
. Innen már látszik a feladat állítása.
|
Előzmény: [182] Pach Péter Pál, 2003-12-08 20:18:19 |
|
[205] GJ | 2004-01-05 19:35:20 |
46.feladat p prím,tehát 3-mal osztva 1 vagy 2 maradékot ad tehát ha p maradéka 1 (3-mal osztva)->p+2 maradéka (3-mal osztva) 0->p+2 nem prím hasonlóan ha p maradéka 3-mal osztva 2,akkor p-2 maradéka 0(3-mal soztva)->p-2 nem prím
vagyis nincs az 5-ön kívül ilyen p prím
|
Előzmény: [204] Gubbubu, 2004-01-05 19:22:37 |
|
[204] Gubbubu | 2004-01-05 19:22:37 |
Üdvözlök mindenkit!
A két ünnep között egy nap azzal szórakoztam, hogy a természetes számok során valameddig végigmenve a számokat különféle nevezetes sorozatokba soroltam. Ennek során egész érdekes, könnyebb-nehezebb problémákra bukkantam, sokat egyáltalán nem tudok vagy nincs időm megoldani, de hátha másokat érdekel. Néhány példa:
46. feladat:
Van-e olyan p prím az 5-ön kívül, amelyre p-2, p és p+2 is prím? Keressünk minél többet, vagy lássuk be hogy nincs.
47. feladat:
Lássuk be vagy cáfoljuk meg, hogy 6 az egyetlen szám (poz. egész, egész, rac., valós vagy komplex), amely ugyanazon számtani sorozat elemeinek egyszerre az összege és a szorzata!
47. feladat:
Oldjuk meg a n2+1=2n egyenletet!
Egyenlőre ennyi.
(Várhatóan hétvégén jövök újra, addig megoldani!)
|
|
[203] jenei.attila | 2004-01-05 15:27:03 |
Kedves István!
A Te megoldásoddal az a baj, hogy miközben az x végigmegy a megfelelő egész számokon, nem biztos, hogy 1-től egyesével növekedve kapjuk a számokat [P/Q*x]-ből, hanem a sorozatban az egymás utáni tagok [P/Q]-val, vagy [P/Q]+1 -gyel növekszenek.
Vegyük a derékszögű koordináta rendszerben a P/Q meredekségű, origón áthaladó egyenest, és tekintsük az x=1, y=1, és x=[Q/2], y=[P/2] egyenesek által határolt téglalapot. Ekkor a bizonyítandó egyenlőség mindkét oldala, a téglalapban található rácspontok (mindkét koordinátája egész) számát adja (a határokat is beleértve). Ugyanis [P/Q*x] az x-en áthaladó függőleges egyenesen fekvő, P/Q meredekségű egyenes alatti, a szóbanforgó téglalapba eső rácspontok száma. Ha x végigfut a megfelelő egész számokon, nyilván megkapjuk az összes, téglalapba eső, P/Q meredekségű egyenes alatti rácspontok számát. A másik szumma ugyanígy az egyenes feletti rácspontok számát adja. A feltételek biztosítják, hogy nem esik rácspont a P/Q meredekségű egyenesre, így minden pontot csak egyszer számolunk. Márészt a jobboldali kifejezés közvetlenül a téglalapban fekvő rácspontok számát adja.
|
Előzmény: [194] lorantfy, 2003-12-17 23:58:40 |
|
|
|
|
[199] lorantfy | 2003-12-29 14:48:13 |
44. feladat: Arkhimédész "problema bovinum"-a (kb. 2222 éves faladat!) Volt a Napistennek egy bikákból és tehenekből álló csordája, amelyiknek egyik része fehér, egy másik része fekete, egy harmadik része tarka és egy negyedik része barna marhákból állt. A fehér bikák száma a fekete bikák számának felével meg egyharmadával volt több, mint a barna bikáké, a feketéké a tarka bikák számának negyedével meg ötödével, a tarkáké pedig a fehérek számának egyhatodával meg egyhetedével. A fehér tehenek száma az összes fekete marhák számának egyharmada meg egynegyede volt, a fekete tehenek száma az összes tarka marhák számának egynegyede meg egyötöde, a tarka tehenek száma az összes barna marhák számának egyötöde meg egyhatoda, a barna tehenek száma az összes fehér marha számának egyhatoda meg egyhetede. Hogyan tevődött össze a csorda a különböző színű állatokból?
Szilveszter utáni önteszthez ajánlom ezt a feladatot! (Magamhoz tértem-e már?)
(A feladat Heinrich Dörrie: A DIADALMAS MATEMATIKA c. könyvében található.)
|
|
|