Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire (2026/1)

Jócsik Csilla (Győr)

I. rész

1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:

\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)

(6 pont)

b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?  (6 pont)

2. Zoli biciklikerekének átmérője \(\displaystyle 70~\mathrm{cm}\), a pedálhoz kapcsolódó első váltója olyan fokozatban van, ahol a fogaskerék kerületén \(\displaystyle 56\) ,,fog'' van, míg a hátsó kerékhez kapcsolódó váltó esetén a fogaskeréken 20 ,,fog'' helyezkedik el. (A biciklin a pedálhoz kapcsolódó első váltó fogaskereke és a pedál teljesen együtt forog. Az első és a hátsó fogaskereket köti össze a biciklilánc, így a két fogaskerék mindig ugyanannyi ,,fogat'' fordul.)

a) Mekkora sebességgel halad Zoli, ha a pedálja \(\displaystyle 10\) teljes kört \(\displaystyle 8\) másodperc alatt tesz meg, illetve a hátsó kerék és a hátsó fogaskerék teljesen együtt forog?   (4 pont)

b) Zoli \(\displaystyle 34\) barátjával együtt közös kerékpártúrára indul. A biciklik minden kereke egymástól függetlenül két egész kilométer között \(\displaystyle 0{,}0005\) valószínűséggel kap defektet. Milyen hosszú út esetén mondhatják, hogy legalább \(\displaystyle 0{,}95\) valószínűséggel lesz defekt a túrán?   (6 pont)

c) Egy biciklikölcsönzőben kedden \(\displaystyle 48\)-an kértek kerékpárt, \(\displaystyle 4\)-gyel több nő, mint férfi. A legalább \(\displaystyle 40\) éves vendégek számának \(\displaystyle 60\%\)-a volt a \(\displaystyle 40\) évnél fiatalabbak száma; a legalább \(\displaystyle 40\) évesek közül ötször annyian kértek hagyományos kerékpárt, mint elektromosat. Egyetlen férfi kért elektromosat, \(\displaystyle 2\)-vel több legalább \(\displaystyle 40\) éves nő volt, mint férfi. Hány \(\displaystyle 40\) évesnél fiatalabb nő kölcsönzött kedden biciklit?   (4 pont)

3. a) Adja meg az \(\displaystyle (m-1)x^2+(2m-9)x+1=0\) másodfokú egyenlet \(\displaystyle m\in \mathbb{R}\) paraméterének lehetséges értékeit úgy, hogy az egyenlet két különböző pozitív gyökének összege \(\displaystyle 5\)-nél nagyobb legyen.   (7 pont)

b) Gondoltam egy számra, lejegyeztem egy lapra, és leírtam mellé a négyzetét. Lehet-e a gondolt szám páros, ha a leírt számok tízes alapú logaritmusainak összege kisebb, mint a számok összegének tízes alapú logaritmusa?   (6 pont)

4. Egy pozitív tagokból álló számtani sorozat első három tagjának összege \(\displaystyle 10{,}5\). Az \(\displaystyle f\colon\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}\), \(\displaystyle f(x)=2^{x}\) függvény helyettesítési értékeinek összege a sorozat első három tagjának helyén \(\displaystyle 73\sqrt{2}\). Határozza meg a sorozat differenciáját.   (7 pont)

b) Igazolja, hogy ha egy sorozat első \(\displaystyle n\) tagjának összege \(\displaystyle S_{n}=1{,}5n^2-n\), akkor az egy \(\displaystyle 3\) differenciájú számtani sorozat.   (5 pont)

II. rész

5. Egy kastély parkjában a tulipánok virágágyása derékszögű trapéz alakú, amelynek párhuzamos oldalai \(\displaystyle 8~\mathrm{m}\) és \(\displaystyle 5~\mathrm{m}\), derékszögű szára pedig \(\displaystyle 4~\mathrm{m}\) hosszúságú.

a) Igazolja, hogy a hegyesszögű csúcsból induló átló mentén ültetett tulipánok a hegyesszög szögfelezőjére illeszkednek.   (6 pont)

Egy olyan húrtrapéz alakú területet füvesítenek be a kertészek, amelynek alapjai \(\displaystyle 6~\mathrm{m}\) és \(\displaystyle 3~\mathrm{m}\) hosszúságúak, hegyesszögei \(\displaystyle 60^\circ\)-osak. Erre a területre a gyerekek \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\) sugarú műanyag hulahoppkarikákat dobálnak. A karikák (képzeletbeli) középpontjai véletlenszerűen esnek valahová a füvesített területre.

b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy hulahoppkarika nem lóg le a füves területről?   (5 pont)

A park közepén lévő tóban tavirózsákat láthatunk. A virágzás időszakában naponta \(\displaystyle 30\%\)-kal több kinyílt virágot láthatunk itt.

c) Ha június elsején tizenkét virágot számoltunk meg, akkor mikor lesz legalább kétszáz kinyílt virág ezen a tavon?   (5 pont)

6. A \(\displaystyle H\) halmazt azok az \(\displaystyle (a;b)\) számpárok alkotják, amelyekre teljesülnek a következő feltételek:

• \(\displaystyle a \in \mathbb{N}\); \(\displaystyle b \in \mathbb{N}\)
• \(\displaystyle a \leq b\)
• \(\displaystyle a \mid 12\); \(\displaystyle b\mid 12\)

a) Igazolja, hogy a \(\displaystyle \mathrm{H}\) halmaznak \(\displaystyle 21\) eleme van.   (3 pont)

Tekintsük azt a \(\displaystyle 21\) pontú gráfot, amelynek csúcsai a \(\displaystyle \mathrm{H}\) halmaz elemei. Ebben a gráfban két pontot akkor kötünk össze, ha a nekik megfelelő számpárok között vannak azonos számok. Pl. összekötjük a \(\displaystyle (4;6)\) pontot és a \(\displaystyle (6;12)\) pontokat, mert mindegyik számpárban szerepel a \(\displaystyle 6\).

b) Csúcsai felsorolásával adjon meg egy \(\displaystyle 5\) pontból álló kört ebben a gráfban.   (2 pont)

c) Hány él van ebben a gráfban?   (5 pont)

d) A \(\displaystyle 21\) pontú gráfnak megfelelő szabályos \(\displaystyle 21\) szöget szeretnénk egy körlapra megrajzolni úgy, hogy a szabályos sokszög leghosszabb átlója \(\displaystyle 18\) cm legyen. Ehhez minimálisan mekkora sugarú körlapra lesz szükség?   (6 pont)

7. a) Szilárd időjárás előrejelzésében hétfőtől péntekig a napi maximumok a következő módon alakulnak: \(\displaystyle 34~{}^{\circ}\mathrm{C}\), \(\displaystyle 30~{}^{\circ}\mathrm{C}\), \(\displaystyle 26~{}^{\circ}\mathrm{C}\), \(\displaystyle 22~{}^{\circ}\mathrm{C}\) és \(\displaystyle 28~{}^{\circ}\mathrm{C}\). Szilárd azt is elmondta, hogy a teljes hétre számítva a napi maximumok átlaga \(\displaystyle 28~{}^{\circ}\mathrm{C}\) és az átlagtól való átlagos abszolút eltérés értéke \(\displaystyle \frac{18}{7}~{}^{\circ}\mathrm{C}\). Határozza meg a hétvégi napi maximumokat, ha vasárnapra várhatóan kicsit lehűl az idő.   (6 pont)

b) A \(\displaystyle 2023\). évre vonatkozóan Szilárd összegyűjtötte a napi csapadékmennyiséget és megadta a sodrófadiagram elkészítéséhez szükséges adatokat. \(\displaystyle Q_{0}=0~\mathrm{mm}\); \(\displaystyle {Q_{1}=1~\mathrm{mm}}\); \(\displaystyle Q_{2}=5~\mathrm{mm}\); \(\displaystyle Q_{3}=8~\mathrm{mm}\) és \(\displaystyle Q_{4}=32~\mathrm{mm}\). Mennyi lehet a \(\displaystyle 2023\). évben összesen mért csapadék mennyiségének legkisebb, illetve legnagyobb értéke   (5 pont)

c) Szilárd számítógépén elromlott a \(\displaystyle 7\)-es számjegy, ezért az adatok továbbításához a \(\displaystyle 10\)-es számrendszer helyett a \(\displaystyle 7\)-es számrendszert használja. Mekkora a szélerősség, illetve a legalacsonyabb és legmagasabb hőmérséklet \(\displaystyle 10\)-es számrendszerbeli értéke, ha Szilárd üzenete így szólt:

A mai napon mért legnagyobb szélerősség \(\displaystyle 50~\mathrm{km}/\mathrm{h}\). A legmagasabb és legalacsonyabb hőmérséklet összege \(\displaystyle 105~{}^\circ\mathrm{C}\), különbsége pedig \(\displaystyle 15~{}^\circ\mathrm{C}\).   (5 pont)

8. a) Egy négyzetes hasáb tetejére olyan \(\displaystyle 6~\mathrm{cm}\) magas szabályos négyoldalú gúlát helyezünk, amelynek alaplapja pontosan illeszkedik a négyzetes hasáb négyzet alakú lapjára. Számítsa ki a test felszínét, ha az alapéleinek hossza \(\displaystyle 12~\mathrm{cm}\), teljes magassága pedig \(\displaystyle 30~\mathrm{cm}\).   (4 pont)

b) Az előbbi test éleire pozitív prímszámokat írunk úgy, hogy az egy csúcsba befutó éleken különböző számoknak kell szerepelni. Lehetséges-e olyan eset, hogy az élekre írt számok összege kevesebb, mint \(\displaystyle 70\)? Válaszát indokolja!   (4 pont)

c) Van egy \(\displaystyle 22~\mathrm{cm}\) magas négyzetes hasábunk, amelynek az egyik négyzet alakú lapjára \(\displaystyle 6~\mathrm{cm}\) magas szabályos négyoldalú gúlát illesztünk. Az összeillesztett testet a négyzetlapjára állítjuk, \(\displaystyle 500~\mathrm{ml}\) folyadékot töltünk bele, és megjelöljük a vízszintet. Ezt követően a testet a gúla csúcsára állítjuk, és azt tapasztaljuk, hogy a folyadékszint most \(\displaystyle 2~\mathrm{cm}\)-rel magasabban van, mint az első esetben bejelölt szint, de mindkét esetben a hasáb alakú részre esik. Mekkora a hasáb alapéleinek hossza?   (8 pont)

9. Az emelt szintű matematika érettségi szóbeli vizsgarészének fontos eleme az adott témakörhöz kapcsolódó gyakorlati alkalmazások ismertetése. A diákok a differenciál- és integrálszámításhoz kapcsolódóan gyakran hoznak példákat a fizika területéről.

a) Egy autó pillanatnyi sebességét olyan másodfokú függvény írja le az idő függvényében, amelynek két zérushelye a \(\displaystyle 0\) másodpercnél, illetve a \(\displaystyle 10\) másodpercnél van, maximális értéke pedig a mozgás \(\displaystyle 5\). másodpercében \(\displaystyle 8~\mathrm{m}/\mathrm{s}\). Igazolja, hogy a sebességnek megfelelő függvény hozzárendelési szabálya \(\displaystyle f(x)=-0{,}32x^{2}+3{,}2x\).   (4 pont)

b) Az autó által megtett út nagyságát a sebesség-idő grafikon alatti terület számértéke adja meg. Számítsa ki az autó által a megállásig megtett utat.   (4 pont)

c) A testek gyorsulását úgy számíthatjuk ki a sebesség-idő függvény ismeretében, ha meghatározzuk a függvény adott időponthoz tartozó érintőjének a meredekségét. Egy harmonikus rezgő mozgást végző test esetén a sebességet leíró függvény: \(\displaystyle f(x)=0{,}3\cos(3x)\). Számítsa ki az \(\displaystyle x=2\) másodperchez tartozó gyorsulás számértékét.   (4 pont)

d) A munka kiszámításához az erő és az erő irányába történő elmozdulás szorzatát kell kiszámítani. Mekkora a munkavégzés számértéke abban az esetben, ha a testre ható állandó \(\displaystyle 45~\mathrm{N}\) nagyságú erő a derékszögű koordinátarendszer \(\displaystyle x\) tengelyének pozitív irányába mutat, miközben a test az origóból felfelé induló \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x\) függvényre illeszkedő emelkedőn \(\displaystyle 160~\mathrm{m}\) utat tesz meg?   (4 pont)