Fonyó Lajos, Fonyóné Németh Ildikó
A verseny időtartama 90 perc. A feladatok pontozása: minden helyes válasz 5 pontot ér; helytelen válaszra 0 pont jár; válasz nélkül hagyott kérdésekre 1-1 pontot adunk. A versenyen íróeszközön, papíron, körzőn és vonalzón kívül semmilyen más segédeszköz nem használható, azaz számológép sem. A verseny befejeztével csak a kódlapot kell beadni. Kérjük, hogy a versenyen csak olyan tanárok induljanak, akik középiskolában tanítanak!
1. Az Azariah koncertre jegyet vásárlók sorában Dávid elölről a 2024., hátulról a 2025. várakozó. Hány ember áll a sorban?
(A) 4047; (B) 4048; (C) 4049; (D) 4050; (E) 4051
Megoldás
Megoldás: (B)
Előtte 2023, mögötte 2024 várakozó áll: \(\displaystyle 2023+1+2024=4048\).
2. Dia és Viki egy táblán meglát néhány számot. Dia minden számhoz hozzáad 3-at, majd megállapítja, hogy a kapott számok összege 45. Viki az eredetileg a táblán szereplő számokat megszorozza 3-mal, és meglepődve állapítja meg, hogy az általa kapott számok összege is 45. Hány szám volt felírva a táblára a lányok érkezésekor?
(A) 10; (B) 9; (C) 8; (D) 6; (E) 5
Megoldás: (A)
A táblán \(\displaystyle n\) szám van, az összegük \(\displaystyle S\). Dia: \(\displaystyle S+3n=45\); Viki: \(\displaystyle 3S=45\), tehát \(\displaystyle S=15\); \(\displaystyle n=10\).
3. Ha az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) valós számok átlaga 0, az \(\displaystyle a^2\), \(\displaystyle b^2\), \(\displaystyle c^2\) számoké 10, akkor mennyi az \(\displaystyle ab\), \(\displaystyle bc\), \(\displaystyle ca\) számok átlaga?
(A) \(\displaystyle -5\); (B) \(\displaystyle -\dfrac{10}{3}\); (C) \(\displaystyle -\dfrac{10}{9}\); (D) \(\displaystyle \dfrac{10}{9}\); (E) \(\displaystyle 5\)
\(\displaystyle \dfrac{a+b+c}{3}=0\), tehát \(\displaystyle a+b+c=0\), így \(\displaystyle {a^2+nb^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0}\); \(\displaystyle \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}=10\), vagyis \(\displaystyle a^2+b^2+c^2=30\), így \(\displaystyle 2ab+2bc+2ca=-30\), ahonnan \(\displaystyle \dfrac{ab+bc+ca}{3}=-5\).
4. A Miskolci Egyetemen a hallgatók 60%-a szeret táncolni, a többiek nem kedvelik ezt a szórakozási formát. Megkérdezve a diákokat, sajnos nem mindenki árulta el magáról az igazságot. A táncolni szeretők 80%-a azt mondta, hogy szeret táncolni, a többiek pedig azt, hogy nem szeretnek. A táncolást nem kedvelő hallgatók 90%-a mondta azt, hogy nem szeret táncolni, a többiek pedig azt, hogy szeretnek. A „nem szeretek táncolni” választ adók hány százalékára igaz, hogy szeret táncolni?
(A) 10; (B) 12; (C) 20; (D) 25; (E) \(\displaystyle 33\dfrac{1}{3}\)
Megoldás: (D)
A ,,nem szeretek táncolni'' választ adók száma: \(\displaystyle 0{,}6\cdot 0{,}2n+0{,}4\cdot 0{,}9n=0{,}48n\), közülük szeret táncolni: \(\displaystyle 0{,}6\cdot 0{,}2n=0{,}12n\), ezért \(\displaystyle \dfrac{0{,}12n}{0{,}48n}=\dfrac{1}{4}=0{,}25\). Tehát \(\displaystyle 25\%\).
5. Melyik az a legnagyobb \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, amelyre a \(\displaystyle 2^x+\dfrac{2025}{2^x}-n>0\) egyenlőtlenség bármely \(\displaystyle x\) valós számra teljesül?
(A) 45; (B) 64; (C) 69; (D) 79; (E) 89
Megoldás: (E)
\(\displaystyle 2^x+\dfrac{2025}{2^x}\geq 2\sqrt{2^x\cdot\dfrac{2025}{2^x}}=2\cdot 45=90>n\), ahonnan \(\displaystyle n_{\text{max}}=89\).
6. Mennyi az alábbi egyenlet megoldása a pozitív egész számok halmazán?
\(\displaystyle \dfrac{\log_2x\cdot \log_3x}{\log_2x+\log_3x}=2 \)
(A) 25; (B) 32; (C) 36; (D) 42; (E) 48
Megoldás: (C)
\(\displaystyle \dfrac{\log_2 x\cdot \log_{3}x}{\log_2 x+\log_{3}x}=2\), így \(\displaystyle \dfrac{\log_2 x+\log_{3} x}{\log_2 x\cdot \log_{3} x}=\dfrac{1}{\log_{3}x}+\dfrac{1}{\log_2x}=\log_{x} 3+\log_{x} 2=\log_{x}6=\dfrac{1}{2}\), ahonnan \(\displaystyle x=36\).
7. A 2025. évi Dürer Verseny döntőjére 150 diák nevezett, akik 3 fős csapatokban mérték össze tudásukat matematika, fizika és kémia tantárgyakból. A csoportok összetétele az alábbiak szerint alakult:
Hány lány vett részt a versenyen?
(A) 50; (B) 60; (C) 65; (D) 70; (E) 85
\(\displaystyle \dfrac{150}{3}-15-27=8\) csapatban nem volt fiú, ezért \(\displaystyle 2\cdot 8=16\) a fiúcsapatok száma. A pontosan 2 fiút tartalmazó csapatok száma \(\displaystyle 27-16=11\), azaz a fiúk száma \(\displaystyle 15\cdot 1+11\cdot 2+16\cdot 3=85\), a lányoké \(\displaystyle 150-85=65\).
8. A 20 egység oldalú \(\displaystyle RLV\) szabályos háromszög oldalaira kifelé négyzeteket rajzolunk.
Ha az ábra szerinti \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontok távolságát \(\displaystyle a+\sqrt{b}\) (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\in\mathbb{N}\)) formában fejezzük ki, akkor mennyi az \(\displaystyle a+b\) összeg értéke?
(A) 40; (B) 80; (C) 620; (D) 1220; (E) 1600
\(\displaystyle AB=20+20\sqrt{3}=20+\sqrt{1200}\). Tehát \(\displaystyle a+b=20+1200=1220\).
9. Az RLV2025 karaktersorozatnak hány olyan sorrendje létezik, amelyben nincs egymás mellett két mássalhangzó?
(A) 144; (B) 360; (C) 576; (D) 720; (E) 1440
A számjegyek \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\)-féle sorrendben követhetik egymást. A számjegyek elé, közé és mögé a mássalhangzók \(\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60\)-féleképpen szúrhatók be. Ezért a megfelelő sorrendek száma \(\displaystyle 12\cdot 60=720\).
10. Mennyi a \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}\cos(2x)}{\cos(x)-\sin(x)}\) (\(\displaystyle x\in\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\}\)) kifejezés maximális értéke?
(A) \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\); (B) 1; (C) \(\displaystyle \dfrac{3}{2}\); (D) 2; (E) nincs maximális érték
\(\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}\cos(2x)}{\cos x-\sin x} =\dfrac{\sqrt{2}(\cos^2 x-\sin^2 x)}{\cos x-\sin x}= \)
\(\displaystyle =\dfrac{\sqrt{2}(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x-\sin x}=\sqrt{2}(\cos x+\sin x)= \)
\(\displaystyle =\sqrt{2}(\cos x+\sin x) =2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin x\right) =2\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\leq 2, \)
de a maximumhelyeknél az eredeti kifejezés nem értelmezhető, ebből következik, hogy nincs maximális érték.
11. Az \(\displaystyle 1+3+5+\ldots+35+37+39\) kifejezésben Rózi néhány pluszjelet mínuszjelre változtatott. Így a kapott műveletsor eredménye negatív lett. Mennyi lehetett a legkevesebb műveleti jel, amit Rózi megváltoztatott?
(A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7; (E) 8
\(\displaystyle 1+3+5+\ldots+35+37+39=\dfrac{1+39}{2} \cdot 20=400\),
\(\displaystyle [1+3+5+\ldots+({2n-1})]-[(2n+1)+\ldots+39]<0. \)
Innen \(\displaystyle n^2-(400-n^2)<0\), azaz \(\displaystyle n^2<200\), tehát \(\displaystyle n_{\text{max}}=14\), eszerint legalább 6 előjelváltás szükséges.
12. Az alábbi sematikus térkép Miskolc 12 nevezetességét és az azokat összekötő 17 utat ábrázolja. Vivi az \(\displaystyle A\) helyről szeretne eljutni a \(\displaystyle B\)-be úgy, hogy útja során pontosan 13 útszakaszt járjon végig, azokon ne haladjon át többször, és sétája során minden nevezetességhez eljusson. (Útja során többször is eljuthat ugyanahhoz a nevezetességhez.)
Hányféle különböző úton haladhat Vivi?
(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3; (E) 4
Írjuk rá a térképre, hogy melyik nevezetességtől hány útszakasz indul, vagyis a gráf csúcsainak fokszámát. A gráfból 4 élet kell törölni úgy, hogy \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) fokszáma páratlan legyen, a többi csúcsé pedig páros. A megmaradt két kör két-két forgásirány szerint járható be, vagyis a megfelelő utak száma \(\displaystyle 2\cdot 2=4\).
13. Az \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) valós számok teljesítik az
egyenlőségeket. Mennyi az \(\displaystyle a+b\) kifejezés minimális értéke?
(A) \(\displaystyle -54\); (B) \(\displaystyle -46\); (C) \(\displaystyle -34\); (D) \(\displaystyle -16\); (E) 34
\(\displaystyle a+b=2x^2+2y^2-16x-4y=2(x-4)^2+2(y-1)^2-34\geq -34\), tehát \(\displaystyle (a+b)_{\text{min}}=-34\) (ha \(\displaystyle {x=4}\) és \(\displaystyle y=1\)).
14. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzetet az \(\displaystyle O\) középpontja körül az óramutató járásával megegyező irányba \(\displaystyle 20^{\circ}\)-kal elforgatva az ábra szerint az \(\displaystyle EFGH\) négyzetet kapjuk.
Hány fokos az \(\displaystyle EAD\sphericalangle\)?
(A) 20; (B) 24; (C) 30; (D) 32; (E) 35
\(\displaystyle OA=OE\), \(\displaystyle AOE\sphericalangle=20^{\circ}\), ebből következik, hogy \(\displaystyle OAE\sphericalangle=\frac{180^{\circ}-20^{\circ}}{2}=80^{\circ}\). \(\displaystyle OAD\sphericalangle=45^{\circ}\), tehát \(\displaystyle EAD\sphericalangle=80^{\circ}-45^{\circ}=35^{\circ}\).
15. Az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) városokat 30 km hosszú egyenes út köti össze. Két autó az \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) városból egyszerre indul el egymás felé. Az \(\displaystyle A\) várostól \(\displaystyle B\) felé haladva a megengedett sebességhatár 10 km-enként rendre 50, 80, illetve \(\displaystyle 40~\mathrm{km}/\mathrm{h}\). Az \(\displaystyle A\) várostól hány km-re találkozik a két autó egymással, ha mindkettő végig a megengedett maximális sebességgel halad?
(A) 15,5; (B) 16; (C) 16,5; (D) 17; (E) 17,5
Az 1. autó \(\displaystyle AX\) távolságot \(\displaystyle \dfrac{1}{5}\) h alatt, a 2. autó a \(\displaystyle BY\) távolságot \(\displaystyle \dfrac{1}{4}\) h alatt teszi meg. \(\displaystyle \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{20}\) h alatt az 1. autó az \(\displaystyle XY\) szakaszon 4 km-t halad, ezután a két jármű azonos utat tesz meg a találkozásig, következésképp az 1. autó 4 km-rel többet halad, \(\displaystyle 4+\dfrac{30-4}{2}=17\) km-t tesz meg.
16. Az alábbi ábra szerint az \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög \(\displaystyle AB\) oldala a körülírt körének átmérője, további oldalainak hossza pedig rendre \(\displaystyle BC=14\), \(\displaystyle CD=DA=6\) egység.
Hány egység hosszú a négyszög \(\displaystyle AB\) oldala?
(A) 16; (B) 17; (C) 18; (D) 19; (E) 20
\(\displaystyle m^2 = r^2 -49 \)
\(\displaystyle m^2 = 36-(r-7)^2 \)
innen \(\displaystyle r^2-49=36-(r-7)^2\), vagyis \(\displaystyle r^2-7r-18=0\), ezért \(\displaystyle r_1=9\) és \(\displaystyle {r_2=-2}\), tehát \(\displaystyle AB=2r_1=18\).
17. Egy \(\displaystyle 5\times 5\)-ös táblázat néhány mezőjébe az alábbi számokat írtuk:
Melyik szám kerül a ? helyére, ha tudjuk, hogy a táblázat minden sorában és oszlopában az egymás utáni számok egy-egy számtani sorozat szomszédos tagjai?
(A) 24; (B) 29; (C) 34; (D) 36; (E) 39
\(\displaystyle 32-2b=\dfrac{2a+12}{2}\), innen \(\displaystyle a+2b=26\); \(\displaystyle 48=\dfrac{3a+48-4b}{2}\), innen pedig \(\displaystyle 3a-4b=48\). Eszerint \(\displaystyle a=20\), \(\displaystyle b=3\). Tehát a táblázat első sorában álló számok rendre: 12, 29, 46, 63, 80, vagyis \(\displaystyle ?=29\).
18. Az \(\displaystyle f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(\displaystyle x\mapsto ax^2+bx+c\) (\(\displaystyle a\neq 0\)) másodfokú függvény maximumhelye \(\displaystyle {-1}\), és grafikonja az alábbi ábrán látható.
Hány állítás teljesül biztosan az alábbiak közül:
I. \(\displaystyle a-b+c>0\) II. \(\displaystyle a+b-c>0\) III. \(\displaystyle a+b+c>0\) IV. \(\displaystyle abc<0\)
A parabola állása alapján: \(\displaystyle a<0\). Az \(\displaystyle x_1<0\), \(\displaystyle x_2<0\) zérushelyek alapján \(\displaystyle x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}>0\), vagyis \(\displaystyle c<0\). \(\displaystyle x_1+x_2=-\frac{b}{a}<0\), azaz \(\displaystyle b<0\), a IV. állítás tehát igaz. De \(\displaystyle a+b+c<0\), tehát a III. állítás hamis. \(\displaystyle f(-1)=a-b+c>0\), vagyis az I. állítás igaz. Ha \(\displaystyle a-b+c>0\) és \(\displaystyle a+b-c>0\), akkor \(\displaystyle a>0\), ami ellentmondás, tehát a II. állítás hamis.
19. Az ábra szerinti \(\displaystyle ABCD\) téglalap oldalainak hossza \(\displaystyle AB=8\) és \(\displaystyle BC=4\) egység. \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) rendre az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle BC\) oldal azon pontja, amelyekre \(\displaystyle DEF\sphericalangle=90^{\circ}\), és \(\displaystyle T(DAE\triangle)=T(DFC\triangle)\).
Hány területegység a \(\displaystyle DEF\triangle\) területe?
(A) 12; (B) 14; (C) 15; (D) 16; (E) 18
\(\displaystyle T(DAE\triangle)=T(DFC\triangle)\), ebből következik, hogy \(\displaystyle 2x=4y\), azaz \(\displaystyle x=2y\). \(\displaystyle AED\triangle \sim BFE\triangle\) alapján \(\displaystyle \frac{x}{4}=\frac{4-y}{8-x}=\frac{4-\frac{x}{2}}{8-x}\), innen \(\displaystyle x^2-10x+16=0\), azaz \(\displaystyle x_1=2\) és \(\displaystyle x_2=8\), ám ez utóbbi nem megoldás. Ezek szerint \(\displaystyle x=2\), \(\displaystyle y=1\). \(\displaystyle T(DEF\triangle)=T(ABCD)-T(DAE\triangle)-T(BFE\triangle)-T(CDF\triangle)=32-4-9-4=15\).
20. A Keszthelyi Vajda János Gimnázium 11. B osztályos tanulói azt kapták tanárnőjüktől feladatként, hogy az alábbi táblázat üres mezőibe írják be a „lehetséges” vagy a „nem lehetséges” válaszokat aszerint, hogy egy adott, nem végtelen meredekségű egyenes tartalmazhat-e adott számú rácspontot (olyan pontot, amelynek mindkét koordinátája egész szám).
A 12 helyes válasz közül hány lesz „lehetséges”?
(A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7; (E) 9
Ha \(\displaystyle m\in\mathbb{Q}\), akkor vagy 0, vagy 2-nél több rácspontot tartalmazhat, például: \(\displaystyle y=\frac{1}{2}\), \(\displaystyle y=1\), \(\displaystyle y=x+\frac{1}{2}\), \(\displaystyle y=2x+1\); ha \(\displaystyle m\in\mathbb{Q}\setminus\{0\}\), akkor vagy 0, vagy pontosan 1 rácspontot tartalmazhat, például: \(\displaystyle y=\sqrt{3}x+\frac{1}{2}\), \(\displaystyle y=\sqrt{2}x+1\).
Az üres mezőkbe rendre: lehetséges, nem lehetséges, nem lehetséges, lehetséges; lehetséges, nem lehetséges, nem lehetséges, lehetséges; lehetséges, lehetséges, nem lehetséges, nem lehetséges kerül. Tehát a válasz: összesen 6 esetben ,,lehetséges''.
21. Hány olyan különböző pozitív egész számokból álló \(\displaystyle (a;b;c;d)\) számnégyes van, amelyekre \(\displaystyle a>b>c>d\), \(\displaystyle a+b+c+d=2024\) és \(\displaystyle a^2-b^2+c^2-d^2=2024\)?
(A) 0; (B) 1; (C) 24; (D) 504; (E) 505
\(\displaystyle 2024=a^2-b^2+c^2-d^2=(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)\geq a+b+c+d=2024\), tehát \(\displaystyle b+1+b+d+1+d=2024\), ahonnan \(\displaystyle b+d=2022\) (\(\displaystyle b\geq d+2\)).
22. Egy tanteremben 35 fogas található. Dani szereti a rendet, ezért a saját és az osztálytársai kabátjait mindig úgy próbálja felakasztani, hogy az első kabát előtt, két szomszédos kabát között és az utolsó után ugyanannyi üres fogas legyen. Hányféle kabátszám esetén tudja Dani az általa elképzelt elrendezést megvalósítani, ha tudjuk, hogy ha a fogasokon elhelyezett kabátok száma \(\displaystyle k\), akkor \(\displaystyle 1\leq k\leq 34\) (\(\displaystyle {k\in\mathbb{N}}\))?
(A) 2; (B) 4; (C) 5; (D) 7; (E) 9
\(\displaystyle k+(k+1)f=35\), vagyis \(\displaystyle (k+1)(f+1)=36\), így:
23. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle ABC\sphericalangle=90^{\circ}\) és \(\displaystyle BA=BC=\sqrt{2}\). \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), ..., \(\displaystyle P_{2025}\) az \(\displaystyle AC\) átfogó azon pontjai, amelyekre \(\displaystyle AP_1=P_1P_2=P_2P_3=\ldots=P_{2024}P_{2025}=P_{2025}C\). Mekkora a \(\displaystyle \overrightarrow{BP_1}+\overrightarrow{BP_2}+\ldots+\overrightarrow{BP_{2024}}+\overrightarrow{BP_{2025}}\) vektorösszeg hossza?
(A) 1011; (B) 1012; (C) 2023; (D) 2024; (E) 2025
Vegyük fel a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle ABCD\) egy \(\displaystyle \sqrt{2}\) oldalú négyzet legyen. Ha \(\displaystyle 1\leq k\leq 1012\), akkor \(\displaystyle \overrightarrow{BP_{k}}+\overrightarrow{BP_{2025-k}}=\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BO}\), így a 2025 tag összege \(\displaystyle 2025\overrightarrow{BO}\)-ral egyenlő, amelynek hossza \(\displaystyle 2025\cdot \bigl|\overrightarrow{BO}\bigr|=2025\).
24. Andris megrajzolta az \(\displaystyle 5\times 5\)-ös négyzetrácsban az összes olyan rácsvonalakon haladó útvonalat, amely a bal alsó sarokból a jobb felső sarokba vezet, és 1 egység hosszúságú jobbra vagy felfelé irányuló szakaszokból áll. Minden egyes esetben kiszámította a négyzetrácsnak az útiránytól jobbra eső területét. Az alábbi ábrákon két példa látható. Hány egység az Andris által kiszámolt területek összege?
(A) 2520; (B) 3150; (C) 3840; (D) 4730; (E) 5050
Minden útnak megfeleltethető egy másik (ábra), amelyek alatt lévő területek összege a négyzet területével egyenlő. Az \(\displaystyle A\)-ból \(\displaystyle B\)-be vezető utak száma \(\displaystyle \binom{10}{5}=252\), innen \(\displaystyle T_{\text{összes}}=\frac{252\cdot 5^2}{2}=3150\).
25. Hány olyan \(\displaystyle k\) egész szám létezik, amelyre a \(\displaystyle kx^2+20x+20-k=0\) másodfokú egyenletnek csak egész megoldása van?
(A) 1; (B) 4; (C) 6; (D) 8; (E) 12
Bármely \(\displaystyle k\in \mathbb{Z}\) esetén \(\displaystyle {-1}\) megoldása az egyenletnek. A másik gyökre (esetleg szintén \(\displaystyle {-1}\)) teljesül, hogy \(\displaystyle {-1+x_2}=-\frac{20}{k}\). \(\displaystyle x_2\) akkor és csak akkor egész, ha \(\displaystyle k\mid 20\). \(\displaystyle k\) lehetséges értékei: \(\displaystyle \pm 1\), \(\displaystyle \pm 2\), \(\displaystyle \pm 4\), \(\displaystyle \pm 5\), \(\displaystyle \pm 10\), \(\displaystyle \pm 20\), összesen 12 lehetőség.
26. Kiss úr egy írószerboltban vásárolt 7 mappát, 5 golyóstollat, 9 radírt, és ezekért 27 eurót fizetett. Kovács úr ugyanebben az üzletben 13 mappáért, 11 golyóstollért és 21 radírért 60 eurót fizetett. Hány euróba kerül ebben a boltban 8 mappa, 4 golyóstoll és 6 radír együtt?
(A) 21; (B) 22; (C) 23; (D) 24; (E) 26
A felírható háromismeretlenes egyenletrendszer
első két egyenletének alkalmas lineáris kombinációjával kifejezhető a harmadik: \(\displaystyle {\lambda \cdot (1)+\mu \cdot (2)=(3)}\), innen
\(\displaystyle 7\lambda+13\mu = 8 \)
\(\displaystyle 5\lambda+11\mu = 4 \)
\(\displaystyle (9\lambda+21\mu =6 ) \)
ebből pedig \(\displaystyle \lambda=3\), \(\displaystyle \mu=-1\), vagyis \(\displaystyle n=3\cdot 27-60=21\) következik.
27. Az ábrán látható téglalapok közül hány teljesíti azt a feltételt, hogy a belsejében lévő számok összege osztható 5-tel?
(A) 45; (B) 57; (C) 60; (D) 71; (E) 75
Az 5-tel való osztási maradékokat vizsgáljuk, és eszerint újrarajzoltuk a táblázatot.
Ha egy téglalap magassága 5, akkor az megfelel a feltételeknek. Ilyen téglalap \(\displaystyle \binom{6}{2}=15\) van. Ha a téglalap magassága nem 5, akkor olyan szomszédos számok szerepelnek benne, amelyek összege 5 egy többszöröse. Ilyen lehet a 0, a \(\displaystyle 2+3\), az \(\displaystyle 1+2+3+4\) és az \(\displaystyle 1+2+3+4+0\). Minden ilyen típusú téglalapból \(\displaystyle \binom{6}{2}=15\) van, de ezek közül az 5 magasságúakat már számításba vettük. A megfelelő téglalapok száma tehát \(\displaystyle 15+4\cdot 14=71\).
28. Egy kisváros gimnáziumában 50 végzős tanuló érettségizett. Közülük 40 diák kapott jelest magyarból, 45 matematikából és 42 történelemből. Ha \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle n\) jelöli rendre a mindhárom tantárgyból ötöst szerzett diákok maximális és minimális számát, akkor mennyi az \(\displaystyle m-n\) különbség értéke?
(A) 13; (B) 14; (C) 15; (D) 16; (E) 17
Az ötösök száma összesen \(\displaystyle 40+45+42=127\). Ha mindenki legfeljebb két tárgyból kapott volna 5-öst, akkor legfeljebb 100 ötös lehetne, tehát legalább 27 tanuló mindhárom tárgyból ötöst kellett kapjon. Ez csak úgy lehetett, hogy a többi (23) tanuló közül magyarból további 13, matematikából további 18, történelemből további 15 kapott jelest. Ezért matematikából és történelemből 10, történelemből és magyarból 5, magyarból és matematikából 8 tanuló kellett, hogy ötöst kapjon (1. halmazábra).
Legfeljebb 40 tanuló kaphatott mindhárom tárgyból ötöst, mert magyarból mindössze 40 jeles született. A további 10 tanuló közül – például – 2 történelemből, 5 matematikából kapott ötöst, a többi (3) a három tantárgy egyikéből sem kapott ötöst (2. halmazábra). (Vagy 2-en történelemből és matematikából is, 3-an csak matematikából, és 5-en egyikből sem; vagy egyvalaki történelemből és matematikából is, egyvalaki csak történelemből, 4-en csak matematikából, és 4-en egyikből sem.
29. Bea véletlenszerűen kiválaszt 3 különböző számot az \(\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) halmazból, és csökkenő sorrendbe rendezve azokat egy háromjegyű számot képez belőlük. Balázs az \(\displaystyle \{1, 2, 3, 4, 5\}\) halmazból választ véletlenszerűen 3 különböző számot, és ő is csökkenő sorrend szerint felír belőlük egy háromjegyű számot. Mennyi a valószínűsége annak, hogy Bea száma nagyobb, mint Balázsé?
(A) \(\displaystyle \dfrac{11}{20}\); (B) \(\displaystyle \dfrac{29}{40}\); (C) \(\displaystyle \dfrac{3}{4}\); (D) \(\displaystyle \dfrac{5}{6}\); (E) \(\displaystyle \dfrac{19}{20}\)
Ha Bea számai között szerepel a 6-os, akkor az ő száma biztosan nagyobb, mint Balázsé \(\displaystyle P_1=\dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{6}{3}}\cdot 1=\dfrac{1}{2}\). Ha Bea számai között nincs 6-os (ennek az esélye \(\displaystyle \dfrac{1}{2}\)), akkor annak a valószínűsége, hogy két egyenlő számot választanak \(\displaystyle \dfrac{1}{\binom{5}{3}}=\dfrac{1}{10}\). Minden más esetben az egyik szám nagyobb, mint a másik, ezen esetek felében Bea száma a nagyobb \(\displaystyle \dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{20}\). Eszerint \(\displaystyle P_2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{9}{20}=\dfrac{9}{40}\). \(\displaystyle P=P_1+P_2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{40}=\dfrac{29}{40}\).
30. Van néhány egyforma négyzet alakú papírlapunk, mindegyiknek az egyik oldala fehér, a másik fekete. Hat papírnégyzetet összeillesztünk, így egy \(\displaystyle 3\times 2\)-es téglalap alakú kártyát kapunk. Minden kis négyzet esetén szabadon megválaszthatjuk, hogy melyik színű fele legyen fölül. Ha két \(\displaystyle 3\times 2\)-es kártyát nem lehet elforgatni vagy átfordítani úgy, hogy pontosan ugyanúgy nézzenek ki, akkor azokat különbözőnek tekintjük. Hány különböző \(\displaystyle 3\times 2\)-es kártya készíthető?
(A) 20; (B) 23; (C) 26; (D) 27; (E) 28
Az ábrán látható számozás segítségével soroljuk fel a lehetséges mintákat a fekete négyzetek száma szerint.
A fekete négyzetek száma 0 (vagy átfordítva 6) 1 esetben.
A fekete négyzetek száma 1 (vagy átfordítva 5) 3 megkülönböztethető esetben: \(\displaystyle \{1\}\circlearrowleft \{6\}\) (forgatással egymásba vihetők), \(\displaystyle \{2\}\circlearrowleft \{5\}\), \(\displaystyle \{3\}\circlearrowleft\{4\}\).
A fekete négyzetek száma 2 (vagy átfordítva 4). Lexikografikusan vesszük sorra a lehetséges hármasokat, de ami már szerepelt – ezeket kékkel jelöljük –, azt nem ismételjük meg. A pirossal jelöltek az adott transzformáción belül ismétlődnek.
Összesen 9 különböző eset. (A lehetséges 15 esetből 6 kétszer szerepel.)
A fekete négyzetek száma 3: \(\displaystyle \{1,2,3\}\), elforgava \(\displaystyle \{4,5,6\}\), átfordítva \(\displaystyle \{1,2,4\}\), ezt elforgatva \(\displaystyle \{3,5,6\}\), jelölésekkel: \(\displaystyle \{1,2,3\}\circlearrowleft\{4,5,6\}\leftrightarrow\{1,2,4\}\circlearrowleft\{3,5,6\}\).
Ez 7 különböző lehetőség. (A lehetséges 20 esetből 13 kétszer szerepel.)
Összesen \(\displaystyle 1+3+9+7=20\) lehetőség.
1. helyezett Molnár István (Gál Ferenc Egyetem Gazdasági Kar, Békéscsaba)
2. helyezett Cseh Judit (Radnóti Miklós Kísérleti Gimnázium, Szeged)
3. helyezett Teleki Olivér (Kőrösi Csoma Sándor Két Tanítási Nyelvű Baptista Gimnázium, Budapest)
4. helyezett Magyar Zsolt (Szent István Gimnázium, Budapest)
5. helyezett Tamásné Kollár Magdolna (Pannonhalmi Bencés Gimnázium)
6. helyezett Urbán Diana (Szent Margit Gimnázium, Budapest)
7. helyezett Bekőné Wekszli Mária (Mosonmagyaróvári Kossuth Lajos Gimnázium és Kollégium)
8. helyezett Retki Botond (XIII. kerületi Ady Endre Gimnázium/ELTE hallgató)
9. helyezett Kovács Ildikó (Veres Pálné Gimnázium, Budapest)
10. helyezett Bene Koppány (Szlovák Tanítási Nyelvű Óvoda, Általános Iskola, Gimnázium, Budapest)
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Nem kell túl sokáig keresgélnünk az interneten a fejtörő feladatok között ahhoz, hogy sík vagy tér kitöltésére vonatkozó feladványra bukkanjunk. Ezek egyik fajtája az, amikor néhány síkidom vagy test valamilyen keretben van elhelyezve úgy, hogy látszólag teljesen kitöltik azt, de van még külön egy további eleme a játéknak.
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
A KöMaL egy példányának ára 2025. szeptembertől 1600 Ft, előfizetése 1 évre 12500 Ft – BJMT tagoknak 12000 Ft.
Megrendelem
