Szerk
P. 5640. A Kanári-szigetek legnagyobb városában, Las Palmasban található egy Európában egyedülálló kiállítás, amely a Föld vizeinek élővilágát mutatja be. A kiállítás egyik attrakciója egy \(\displaystyle 400\) köbméteres, függőleges, henger alakú tengeri akvárium, melynek karbantartását búvárok végzik. Vízszintesen körbenézve az akvárium falának hányad részén lát ki az a búvár, aki az \(\displaystyle R\) sugarú henger szimmetriatengelyétől \(\displaystyle d\) távolságra van? A tengervíz törésmutatója \(\displaystyle n\).
(5 pont)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
Megoldás. A fénysugarak útja megfordítható, így a búvár abba az irányba lát ki, amerre egy fénysugár ki tud lépni az akváriumból. Ennek az a feltétele, hogy az akvárium falánál a fénysugár beesési szöge ne legyen nagyobb a teljes visszaverődés \(\displaystyle \alpha=\arcsin\tfrac{1}{n}\) határszögénél. Az akváriumot felülnézetben mutató ábrán ez a pirossal jelölt \(\displaystyle P_1'P_1\) és \(\displaystyle P_2'P_2\) íveken teljesül.
A keresett arány az ívekhez tartozó középponti szögek összegének és a teljes szögnek a hányadosa:
\(\displaystyle \eta=\frac{2(\beta+\delta)}{2\pi}=\frac{\beta+\delta}{\pi}. \)
A \(\displaystyle \delta\) szög az \(\displaystyle OBP_2\) háromszög külső szöge, így
\(\displaystyle \delta=\alpha+\gamma. \)
A szinusztételt az \(\displaystyle OBP_1\) és \(\displaystyle OBP_2\) háromszögekre is felírva:
\(\displaystyle \frac{R}{d}=\frac{\sin(\gamma+\varepsilon)}{\sin\alpha}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}, \)
amiből egyrészt
\(\displaystyle \gamma=\pi-(\gamma+\varepsilon)=\alpha+\beta, \)
másrészt
\(\displaystyle \sin\gamma=\frac{R}{d}\sin\alpha=\frac{R}{nd}. \)
Mindezek alapján a keresett arány:
\(\displaystyle \eta=\frac{\beta+\delta}{\pi}=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\pi}=\frac{2\gamma}{\pi}=\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{R}{nd}. \)
A kifejezés csak \(\displaystyle d\geq\tfrac{R}{n}\) értékeknél értelmezhető. Ha \(\displaystyle d<\tfrac{R}{n}\), akkor \(\displaystyle \eta=1\), azaz a búvár minden irányba kilát az akváriumból.
Fekete Lúcia (Budapest V. Ker. Eötvös J. Gimn., 12. évf.)
9 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 2, hiányos (2 pont) 2, nem versenyszerű 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5707. Eduárd egy hosszú, állandó hajlásszögű lejtőn gurul lefelé a kerékpárjával egyenletes sebességgel. Hogyan függ a sebességtől a fékeken disszipálódó teljesítmény?
Eduárd tömege biciklivel együtt \(\displaystyle m\), a lejtő hajlásszöge \(\displaystyle \alpha\), és fékezés nélkül Eduárd \(\displaystyle v_{\mathrm{max}}\) sebességre gyorsulna fel.
Közli: Bodor András, Budapest
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
