Szerk
P. 5640. A Kanári-szigetek legnagyobb városában, Las Palmasban található egy Európában egyedülálló kiállítás, amely a Föld vizeinek élővilágát mutatja be. A kiállítás egyik attrakciója egy \(\displaystyle 400\) köbméteres, függőleges, henger alakú tengeri akvárium, melynek karbantartását búvárok végzik. Vízszintesen körbenézve az akvárium falának hányad részén lát ki az a búvár, aki az \(\displaystyle R\) sugarú henger szimmetriatengelyétől \(\displaystyle d\) távolságra van? A tengervíz törésmutatója \(\displaystyle n\).
(5 pont)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
Megoldás. A fénysugarak útja megfordítható, így a búvár abba az irányba lát ki, amerre egy fénysugár ki tud lépni az akváriumból. Ennek az a feltétele, hogy az akvárium falánál a fénysugár beesési szöge ne legyen nagyobb a teljes visszaverődés \(\displaystyle \alpha=\arcsin\tfrac{1}{n}\) határszögénél. Az akváriumot felülnézetben mutató ábrán ez a pirossal jelölt \(\displaystyle P_1'P_1\) és \(\displaystyle P_2'P_2\) íveken teljesül.
A keresett arány az ívekhez tartozó középponti szögek összegének és a teljes szögnek a hányadosa:
\(\displaystyle \eta=\frac{2(\beta+\delta)}{2\pi}=\frac{\beta+\delta}{\pi}. \)
A \(\displaystyle \delta\) szög az \(\displaystyle OBP_2\) háromszög külső szöge, így
\(\displaystyle \delta=\alpha+\gamma. \)
A szinusztételt az \(\displaystyle OBP_1\) és \(\displaystyle OBP_2\) háromszögekre is felírva:
\(\displaystyle \frac{R}{d}=\frac{\sin(\gamma+\varepsilon)}{\sin\alpha}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}, \)
amiből egyrészt
\(\displaystyle \gamma=\pi-(\gamma+\varepsilon)=\alpha+\beta, \)
másrészt
\(\displaystyle \sin\gamma=\frac{R}{d}\sin\alpha=\frac{R}{nd}. \)
Mindezek alapján a keresett arány:
\(\displaystyle \eta=\frac{\beta+\delta}{\pi}=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\pi}=\frac{2\gamma}{\pi}=\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{R}{nd}. \)
A kifejezés csak \(\displaystyle d\geq\tfrac{R}{n}\) értékeknél értelmezhető. Ha \(\displaystyle d<\tfrac{R}{n}\), akkor \(\displaystyle \eta=1\), azaz a búvár minden irányba kilát az akváriumból.
Fekete Lúcia (Budapest V. Ker. Eötvös J. Gimn., 12. évf.)
9 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 2, hiányos (2 pont) 2, nem versenyszerű 2 dolgozat.
A KöMaL levelezős versenyei azon kevesek közé tartoznak, amelyek ingyenesek – immár több mint 130 éve! Sajnos azonban a KöMaL állami támogatásának rendszere az elmúlt évben jelentősen átalakult, a következő években az előre látható bevételeink várhatóan nem tudják fedezni a költségeinket.
Ezért kérünk mindenkit, aki szereti a KöMaL-t, létezését fontosnak tartja, hogy lehetőségéhez mérten támogassa a KöMaL-t kiadó MATFUND Alapítványt. Ha teheti, rendelkezzen adója 1%-áról az Alapítvány javára. Ezen kívül pedig, ha saját vagy céges lehetőségei megengedik, támogassa a KöMaL kiadását, a KöMaL tudáskincsének gondozását!
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
M. 447. Mérjük meg egy laza csavarrugó rugóállandóját különböző, a rugóval összemérhető tömegű nehezékek segítségével
a) statikus módszerrel,
b) dinamikus módszerrel (rezgések tanulmányozásával).
Vessük össze a kétféle módszerrel kapott eredményeket, és próbáljunk magyarázatot adni az esetleges eltérésre!
G. 915. Egy \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) oldalélű háromszög alakú, vékony lemez homogén tömegeloszlású, súlya \(\displaystyle G\). A lemezt vízszintes helyzetben, a háromszög csúcsainál alátámasztjuk. Mekkora erővel terheli a lemez az alátámasztási pontokat?
