Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire (2025/8)

Kozma Katalin Abigél

I. rész

1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?   (11 pont)

2. a) Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).  (8 pont)

b) Adja meg az – a) részben kapott – \(\displaystyle ABC\) háromszög súlypontját.  (2 pont)

c) Mekkora az – a) részben kapott – \(\displaystyle ABC\) háromszög területe?  (3 pont)

3. a) Határozza meg az

\(\displaystyle f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; \qquad f(x)=-3\cos (4x)+2 \)

függvény értékkészletét.  (6 pont)

b) Számítással igazolja, hogy a

\(\displaystyle g\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}; \qquad g(x)=2025x^3-2026x \)

függvény páratlan.  (6 pont)

4. a) Egy egyenes folyó mentén fekvő téglalap alakú telek folyóval párhuzamos oldalának hossza a téglalap másik oldalhosszának a négyszerese. A telek folyó felőli oldalán nincs kerítés, a másik három oldal mentén lévő kerítés együttes hosszúsága \(\displaystyle 600\) méter. Mekkora a telek területe?  (3 pont)

b) Egy másik folyóparti, téglalap alakú telek körbekerítésére szintén \(\displaystyle 600\) méter hosszúságú kerítést használnak fel úgy, hogy a folyópartra nem építenek kerítést, de közben a telek területe a lehető legnagyobb legyen. Mekkora az így kapott telek területe?  (8 pont)

c) Hány osztója van a \(\displaystyle (-45\,000)\)-nek?  (4 pont)

II. rész

5. a) Adott az \(\displaystyle e\colon x-y=8\) egyenletű egyenes és a \(\displaystyle k\colon {x^2+y^2-6x+4y+4=0}\) egyenletű kör. Állapítsa meg az \(\displaystyle e\) egyenes és a \(\displaystyle k\) kör kölcsönös helyzetét. Ha van(nak), adja meg a közös pont(ok) koordinátáit.  (8 pont)

b) Adott a koordinátasíkon a \(\displaystyle P(3;-5)\) és a \(\displaystyle Q(6;-2)\) pont. Jelöljük rendre \(\displaystyle P_1\)-gyel és \(\displaystyle Q_1\)-gyel a \(\displaystyle P\), illetve a \(\displaystyle Q\) pont \(\displaystyle x\) tengelyre eső merőleges vetületét; \(\displaystyle P_2\)-vel és \(\displaystyle Q_2\)-vel pedig a \(\displaystyle P\), illetve a \(\displaystyle Q\) pont \(\displaystyle y\) tengelyre eső merőleges vetületét. Mekkora a \(\displaystyle Q_1P_1Q_2P_2\) négyszög kerülete?  (5 pont)

c) Mekkora a \(\displaystyle Q_1P_1Q_2P_2\) négyszög területe?  (3 pont)

6. a) Anna, Bogi és Cili unokatestvérek. Hat év múlva Bogi annyi idős lesz, mint most Anna. Hét év múlva Anna \(\displaystyle 9\)-szer annyi idős lesz, mint most Cili. Nyolc év múlva hárman együtt \(\displaystyle 42\) évesek lesznek. Hány évesek most a lányok?  (10 pont)

b) Oldja meg a \(\displaystyle \biggl(\dfrac{2}{5}\biggr)^{\!\ln (x)}\!\!\!\!\!\!\!\ge\! 6{,}25\) egyenlőtlenséget a valós számok halmazán.   (6 pont)

7. a) Bizonyítsa be, hogy a tízes számrendszerben felírt \(\displaystyle 2{,}\dot{0}2\dot{5}\) szám racionális.  (6 pont)

b) Mutassa meg, hogy a \(\displaystyle 2 \cdot \lg 7\) irracionális.  (5 pont)

c) Számítsa ki az \(\displaystyle \displaystyle{\int{(5x^2-3x^9+8x)dx}}\) határozatlan integrált!  (5 pont)

8. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett \(\displaystyle f(x)=x^3\), illetve \(\displaystyle g(x)={2x+1}\) hozzárendelési szabállyal megadott két függvényt. Adja meg az alábbi összetett függvények hozzárendelési szabályát és deriváltfüggvényét.

9. a) Töhötöm számegyenesen ábrázolta a \(\displaystyle {[-5;8]}\) intervallumot, majd csukott szemmel rábökött az egyik pontjára. Mekkora a valószínűsége, hogy Töhötöm a \(\displaystyle {[-1;2]}\) intervallum egyik pontjára bökött rá, ha a választás valószínűsége egyenesen arányos az intervallum hosszával?  (3 pont)

b) Igazolja, hogy a \(\displaystyle [-5;8]\) és a \(\displaystyle [-1;2]\) intervallum számossága egyenlő.  (5 pont)

c) Hányféleképpen választható ki pontosan két szám a Pascal–háromszög felső öt sorából úgy, hogy összegük páros legyen? (Két kiválasztás különböző, ha legalább az egyik számot másik helyről választottuk a Pascal-háromszögből.)  (4 pont)

d) Hányféleképpen választható ki legalább hét szám a Pascal–háromszög felső öt sorából úgy, hogy szorzatuk páratlan legyen? (Két kiválasztás különböző, ha legalább az egyik számot másik helyről választottuk a Pascal-háromszögből.)  (4 pont)