A P. 5644. fizika feladat megoldása
Szerk
P. 5644. Milyen egyetlen, \(\displaystyle m\) tömeggel kellene helyettesíteni az ábrán szereplő jobb oldali csigát és a rajta lévő tömegeket, hogy az \(\displaystyle m_{1}\) tömegű test ugyanúgy mozogjon, mint az eredeti elrendezésben? Hanyagoljuk el a csigák tömegét és a súrlódást.
(4 pont)
Közli: Siposs András, Budapest
I. megoldás. A csigák és kötelek tömege, valamint a súrlódás elhanyagolható, így az egyes testek mozgásegyenlete:
$$\begin{gather*} m_1g-2K=m_1A,\\ K-m_3g=m_3(A+a),\tag{1}\\ K-m_2g=m_2(A-a),\tag{2}\\ 2K-mg=mA.\tag{3} \end{gather*}$$Itt \(\displaystyle A\) az \(\displaystyle m_1\) tömegű test, a köteléhez kapcsolódó csiga, valamint a keresett \(\displaystyle m\) helyettesítő tömeg gyorsulása, \(\displaystyle a\) az \(\displaystyle m_2\) és \(\displaystyle m_3\) tömegek gyorsulása a mozgócsigához viszonyítva, \(\displaystyle K\) pedig a mozgócsigán átvetett kötélben a kötélerő. Az 1. ábra bal oldalán az eredeti, a jobb oldalán a helyettesítő elrendezés látható (\(\displaystyle m_2>m_3\) és \(\displaystyle m_1>m\), és ebből következően \(\displaystyle A>0\) és \(\displaystyle a>0\) választással, de ennek a megoldás szempontjából nincs jelentősége).
1. ábra
Az (1) és (2) egyenleteket a tömegekkel elosztva, majd az egyenleteket összeadva, és végül rendezve:
\(\displaystyle \frac{K}{m_3}-g+\frac{K}{m_2}-g=2A,\qquad\Rightarrow\qquad A=\frac{m_2+m_3}{2m_2m_3}K-g, \)
majd \(\displaystyle A\) értékét (3)-ba beírva:
\(\displaystyle \frac{2K}{m}-g=\frac{m_2+m_3}{2m_2m_3}K-g. \)
Ebből a keresett helyettesítő tömeg:
\(\displaystyle m=\frac{4m_2m_3}{m_2+m_3}. \)
Zádori Gellért (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 11. évf.)
II. megoldás. Vizsgáljuk a mozgást a jobb oldali csigával együtt mozgó vonatkoztatási rendszerben. A csiga gyorsulása legyen \(\displaystyle A\), így ebben a rendszerben vizsgálva a mozgást az \(\displaystyle m_i\) tömegű testre az \(\displaystyle m_ig\) nehézségi erőn kívül egy \(\displaystyle m_iA\) nagyságú, lefelé mutató tehetetlenségi erő hatását is figyelembe kell vennünk, tehát olyan, mintha a nehézségi gyorsulás értéke \(\displaystyle g^\star=g+A\) lenne.
2. ábra
A 2. ábra alapján a mozgásegyenletek:
$$\begin{gather*} m_2a=m_2g^\star-K,\\ m_3a=K-m_3g^\star. \end{gather*}$$Ebből
\(\displaystyle a=\frac{m_2-m_3}{m_2+m_3}g^\star\qquad\textrm{és}\qquad K=\frac{2m_2m_3}{m_2+m_3}g^\star. \)
A csigát tartó kötélre (a csiga elhanyagolható tömege miatt) \(\displaystyle 2K\) erő hat. Ha a csigát és a két rajta lógó testet egyetlen \(\displaystyle m\) tömeggel helyettesítenénk, akkor arra (mivel ebben a rendszerben nyugalomban van) \(\displaystyle 2K-mg^\star=0\) erő hatna. Ebből a keresett tömeg:
\(\displaystyle m=\frac{2K}{g^\star}=\frac{4m_2m_3}{m_2+m_3}. \)
Megjegyzés. Látható, hogy a megoldás szempontjából az \(\displaystyle m_1\) tömeg nagysága érdektelen.
24 dolgozat érkezett. Helyes 9 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 4, hiányos (1–2 pont) 8, hibás 3 dolgozat.