A P. 5651. fizika feladat megoldása

Szerk

P. 5651. Egy szigetelt, egyenletesen \(\displaystyle \sigma\) felületi töltéssűrűséggel rendelkező szabályos háromszög alakú lap minden oldala \(\displaystyle \sqrt{2}a\) hosszúságú. Mekkora az elektromos térerősség értéke abban a pontban, amely minden csúcsponttól \(\displaystyle a\) távolságra helyezkedik el?

(6 pont)

KVANT feladat

Megoldás. Tegyük fel, hogy a csúcsoktól \(\displaystyle a\) távolságra lévő pontban van egy \(\displaystyle q\) töltésű pontszerű test. Ekkor Newton III. törvénye alapján ugyanakkora erővel hat a ponttöltés a lapra, mint a lap a ponttöltésre. Osszuk a lapot kis darabkákra, és jelöljük az \(\displaystyle i\)-edik darabka területét \(\displaystyle \Delta A_i\)-vel. Ekkor az egyenletes töltéseloszlás miatt az \(\displaystyle i\)-edik darabka töltése

\(\displaystyle \Delta Q_i=\sigma\Delta A_i \)

nagyságú, így a ráható elektromos erő nagysága

\(\displaystyle F_i=E_i\Delta Q_i, \)

ahol \(\displaystyle E_i\) a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a darabka helyén létrehozott térerősség nagysága. A szigetelőlapra ható erőt a lemezdarabkákra ható erők vektori összegeként számíthatjuk ki. A szimmetria miatt az eredő erő a lemezre merőleges lesz, így elegendő az ilyen irányú erőkomponenseket összegezni:

\(\displaystyle F=\sum_iF_i\cos\alpha_i=\sum_iE_i\sigma\Delta A_i\cos\alpha_i=\sigma\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i, \)

ahol \(\displaystyle \alpha_i\) a ponttöltést a felületdarabkával összekötő egyenes és a felület normálisa által bezárt szög. A kapott kifejezésben az összeg a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a lapon létrehozott elektromos fluxus:

\(\displaystyle \Psi=\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i. \)

Ha gondolatban körbevesszük a ponttöltést szimmetrikusan egy \(\displaystyle \sqrt{2}a\) oldalélű oktaéderrel, akkor a ponttöltés távolsága a csúcsoktól \(\displaystyle a\) lesz. A Gauss-törvény alapján az oktaéder lapjain összesen \(\displaystyle q/\varepsilon_0\) fluxus halad át, ezért egyetlen háromszöglapon ennek a nyolcada:

\(\displaystyle \Psi=\frac{q}{8\varepsilon_0}. \)

Ezt felhasználva a ponttöltés és a háromszöglap között ható erő:

\(\displaystyle F=\frac{\sigma q}{8\varepsilon_0}, \)

és ebből a \(\displaystyle q\) ponttöltés helyén létrejövő elektromos térerősség:

\(\displaystyle E=\frac{F}{q}=\frac{\sigma}{8\varepsilon_0}. \)

Kiss Adorján Timon (Kaposvári Táncsics M. Gimn., 12. évf.)

7 dolgozat érkezett. Helyes 6 megoldás. Hiányos (2 pont) 1 dolgozat.