Szerk
P. 5651. Egy szigetelt, egyenletesen \(\displaystyle \sigma\) felületi töltéssűrűséggel rendelkező szabályos háromszög alakú lap minden oldala \(\displaystyle \sqrt{2}a\) hosszúságú. Mekkora az elektromos térerősség értéke abban a pontban, amely minden csúcsponttól \(\displaystyle a\) távolságra helyezkedik el?
(6 pont)
KVANT feladat
Megoldás. Tegyük fel, hogy a csúcsoktól \(\displaystyle a\) távolságra lévő pontban van egy \(\displaystyle q\) töltésű pontszerű test. Ekkor Newton III. törvénye alapján ugyanakkora erővel hat a ponttöltés a lapra, mint a lap a ponttöltésre. Osszuk a lapot kis darabkákra, és jelöljük az \(\displaystyle i\)-edik darabka területét \(\displaystyle \Delta A_i\)-vel. Ekkor az egyenletes töltéseloszlás miatt az \(\displaystyle i\)-edik darabka töltése
\(\displaystyle \Delta Q_i=\sigma\Delta A_i \)
nagyságú, így a ráható elektromos erő nagysága
\(\displaystyle F_i=E_i\Delta Q_i, \)
ahol \(\displaystyle E_i\) a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a darabka helyén létrehozott térerősség nagysága. A szigetelőlapra ható erőt a lemezdarabkákra ható erők vektori összegeként számíthatjuk ki. A szimmetria miatt az eredő erő a lemezre merőleges lesz, így elegendő az ilyen irányú erőkomponenseket összegezni:
\(\displaystyle F=\sum_iF_i\cos\alpha_i=\sum_iE_i\sigma\Delta A_i\cos\alpha_i=\sigma\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i, \)
ahol \(\displaystyle \alpha_i\) a ponttöltést a felületdarabkával összekötő egyenes és a felület normálisa által bezárt szög. A kapott kifejezésben az összeg a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a lapon létrehozott elektromos fluxus:
\(\displaystyle \Psi=\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i. \)
Ha gondolatban körbevesszük a ponttöltést szimmetrikusan egy \(\displaystyle \sqrt{2}a\) oldalélű oktaéderrel, akkor a ponttöltés távolsága a csúcsoktól \(\displaystyle a\) lesz. A Gauss-törvény alapján az oktaéder lapjain összesen \(\displaystyle q/\varepsilon_0\) fluxus halad át, ezért egyetlen háromszöglapon ennek a nyolcada:
\(\displaystyle \Psi=\frac{q}{8\varepsilon_0}. \)
Ezt felhasználva a ponttöltés és a háromszöglap között ható erő:
\(\displaystyle F=\frac{\sigma q}{8\varepsilon_0}, \)
és ebből a \(\displaystyle q\) ponttöltés helyén létrejövő elektromos térerősség:
\(\displaystyle E=\frac{F}{q}=\frac{\sigma}{8\varepsilon_0}. \)
Kiss Adorján Timon (Kaposvári Táncsics M. Gimn., 12. évf.)
7 dolgozat érkezett. Helyes 6 megoldás. Hiányos (2 pont) 1 dolgozat.
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)
Közli: Cserti József, Budapest
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
