Szerk
P. 5651. Egy szigetelt, egyenletesen \(\displaystyle \sigma\) felületi töltéssűrűséggel rendelkező szabályos háromszög alakú lap minden oldala \(\displaystyle \sqrt{2}a\) hosszúságú. Mekkora az elektromos térerősség értéke abban a pontban, amely minden csúcsponttól \(\displaystyle a\) távolságra helyezkedik el?
(6 pont)
KVANT feladat
Megoldás. Tegyük fel, hogy a csúcsoktól \(\displaystyle a\) távolságra lévő pontban van egy \(\displaystyle q\) töltésű pontszerű test. Ekkor Newton III. törvénye alapján ugyanakkora erővel hat a ponttöltés a lapra, mint a lap a ponttöltésre. Osszuk a lapot kis darabkákra, és jelöljük az \(\displaystyle i\)-edik darabka területét \(\displaystyle \Delta A_i\)-vel. Ekkor az egyenletes töltéseloszlás miatt az \(\displaystyle i\)-edik darabka töltése
\(\displaystyle \Delta Q_i=\sigma\Delta A_i \)
nagyságú, így a ráható elektromos erő nagysága
\(\displaystyle F_i=E_i\Delta Q_i, \)
ahol \(\displaystyle E_i\) a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a darabka helyén létrehozott térerősség nagysága. A szigetelőlapra ható erőt a lemezdarabkákra ható erők vektori összegeként számíthatjuk ki. A szimmetria miatt az eredő erő a lemezre merőleges lesz, így elegendő az ilyen irányú erőkomponenseket összegezni:
\(\displaystyle F=\sum_iF_i\cos\alpha_i=\sum_iE_i\sigma\Delta A_i\cos\alpha_i=\sigma\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i, \)
ahol \(\displaystyle \alpha_i\) a ponttöltést a felületdarabkával összekötő egyenes és a felület normálisa által bezárt szög. A kapott kifejezésben az összeg a \(\displaystyle q\) ponttöltés által a lapon létrehozott elektromos fluxus:
\(\displaystyle \Psi=\sum_iE_i\Delta A_i\cos\alpha_i. \)
Ha gondolatban körbevesszük a ponttöltést szimmetrikusan egy \(\displaystyle \sqrt{2}a\) oldalélű oktaéderrel, akkor a ponttöltés távolsága a csúcsoktól \(\displaystyle a\) lesz. A Gauss-törvény alapján az oktaéder lapjain összesen \(\displaystyle q/\varepsilon_0\) fluxus halad át, ezért egyetlen háromszöglapon ennek a nyolcada:
\(\displaystyle \Psi=\frac{q}{8\varepsilon_0}. \)
Ezt felhasználva a ponttöltés és a háromszöglap között ható erő:
\(\displaystyle F=\frac{\sigma q}{8\varepsilon_0}, \)
és ebből a \(\displaystyle q\) ponttöltés helyén létrejövő elektromos térerősség:
\(\displaystyle E=\frac{F}{q}=\frac{\sigma}{8\varepsilon_0}. \)
Kiss Adorján Timon (Kaposvári Táncsics M. Gimn., 12. évf.)
7 dolgozat érkezett. Helyes 6 megoldás. Hiányos (2 pont) 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5689. Tekintsük a Föld Nap körüli pályáját 150 millió kilométer sugarú körnek. Tegyük fel, hogy egy üstökös az ekliptika síkjában, parabolapályán közelít a Naphoz úgy, hogy a Föld pályáját kétszer metszi, és a két metszéspontot összekötő egyenes szakasz hossza éppen a földpálya átmérője. (Szerencsére a Föld jó messzire elkerüli az üstököst, amikor az a földpálya közelében mozog.)
a) Mennyire közel halad el az üstökös a Nap középpontjához, és mekkora a sebessége ekkor?
b) Mekkora szögben metszi egymást a Föld és az üstökös pályája?
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
