Szerk
P. 5664. Sokszor halljuk, hogy a sarkokon olvadó jég lassítja a Föld tengely körüli forgását. Becsüljük meg a jelenség nagyságát! Az Antarktisz területe \(\displaystyle 14~\textrm{millió~km}^2\), az Arktisz jégtakaróját is tekintsük ugyanekkorának. Vizsgáljuk azt, ha a Déli, illetve az Északi sarkon 1 m vastagságban elolvad a jég.
a) Mennyivel változik a tengerszint az egyik és a másik esetben?
b) Mennyivel változik egy földi nap hossza?
(5 pont)
Közli: Cserti József, Budapest
Megoldás. A feladatban felhasznált megadott, táblázatokból kikeresett és számított adatok:
az Antarktisz (és az Arktisz) területe: \(\displaystyle A=14~\textrm{millió}~\mathrm{km}^2=1{,}4\cdot 10^{13}~\mathrm{m}^2\),
az olvadó jég vastagsága: \(\displaystyle h=1~\mathrm{m}\),
a jég sűrűsége: \(\displaystyle \varrho_{\mathrm{j}}=917~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\), a víz sűrűsége: \(\displaystyle \varrho_{\mathrm{v}}\approx 1000~\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3\),
a Föld sugara: \(\displaystyle R=6{,}371\cdot 10^6~\mathrm{km}\),
a Föld tehetetlenségi nyomatéka: \(\displaystyle \Theta_\oplus=8{,}04\cdot 10^{37}~\mathrm{kgm}^2\). (Irodalmi adat. A Föld tehetetlenségi nyomatékára az egyszerű homogén gömb modellel ennél nagyobb érték adódik: \(\displaystyle \Theta=\tfrac{2}{5}mR^2\approx 9{,}7\cdot 10^{37}~\mathrm{kgm}^2\). Az eltérés fő oka (a nem teljesen szabályos gömb alakon kívül), hogy a Föld nem homogén, a magjának sokkal nagyobb a sűrűsége, mint a kéregnek.) Az óceánok és tengerek felszíne: \(\displaystyle A_{\mathrm{o}}\approx 3{,}61\cdot 10^{14}~\mathrm{m}^2\) (a Föld felszínének \(\displaystyle 70{,}8\%\)-a),
a) I. Antarktisz (szárazföldi jég).
Az elolvadó jég térfogata:
\(\displaystyle V_{\mathrm{j}}=Ah=1{,}4\cdot 10^{13}~\mathrm{m}^3, \)
a keletkező víz térfogata:
\(\displaystyle V_{\mathrm{v}}=\frac{\varrho_{\mathrm{j}}}{\varrho_{\mathrm{v}}}V_{\mathrm{j}}\approx 1{,}28\cdot 10^{13}~\mathrm{m}^3. \)
Ebből a tengerek vízszintemelkedése:
\(\displaystyle \Delta h=\frac{V_{\mathrm{v}}}{A_{\mathrm{o}}}\approx 0{,}0358~\mathrm{m}\approx 3{,}6~\mathrm{cm}. \)
II. Arktisz (tengeri jég).
A tengeri jég úszik a vízen, így a megolvadás előtt is a súlyának megfelelő mennyiségű vizet szorít ki. A tengerek szintje ezért az olvadás miatt nem emelkedik.
b) Az olvadás közben a Föld perdülete nem változik, így
\(\displaystyle N=\Theta\omega=\textrm{állandó}. \)
Ebből a napok \(\displaystyle T=1~\mathrm{nap}\approx 86400~\mathrm{s}\) hosszának változása:
\(\displaystyle \Delta T=\frac{\Delta\Theta}{\Theta_\oplus}\,T. \)
(Azért csak közelítően, mert valójában itt nem a 24 órás nap, hanem a \(\displaystyle 23^\mathrm{h}~56'\,4''\)-es csillagnap, a Föld állócsillagokhoz viszonyított forgási periódusának változását számítjuk.)
Az elolvadó jég tömege:
\(\displaystyle m_{\mathrm{j}}=\varrho_{\mathrm{j}}V_{\mathrm{j}}=1{,}284\cdot 10^{16}~\mathrm{kg}. \)
A (kezdeti) tehetetlenségi nyomaték meghatározásához a jeget gömbsüveg alakúnak tekintjük. (Mivel a gömbsüveg magassága mindössze a Föld sugarának \(\displaystyle 5\%\)-a, feladat megoldásának közelítései mellett a gömbsüveg helyett – sokkal egyszerűbben – körlappal is számolhatunk.) Ekkor a területe így is felírható:
\(\displaystyle A=2\pi R^2(1-\cos\vartheta), \)
ahol \(\displaystyle \vartheta\) a jégtakaró peremének szögtávolsága a sarkoktól. Az adatokat behelyettesítve \(\displaystyle \vartheta\approx 19^\circ\).
A jégsapka tehetetlenségi nyomatéka a Föld forgástengelyére vonatkoztatva:
\(\displaystyle \Theta_0=\int\limits_V\varrho_{\mathrm{j}}(R\sin\vartheta)^2\mathrm{d}V=2\pi\varrho_{\mathrm{j}}hR^4\int\limits_0^\vartheta\sin^3\vartheta\mathrm{d}\vartheta, \)
ahol \(\displaystyle \mathrm{d}V=2\pi R\sin\vartheta\,hR\mathrm{d}\vartheta\) a jégsapka elemi gömbövének térfogata. Az integrál értéke:
\(\displaystyle \int\limits_0^\vartheta\sin^3\vartheta\mathrm{d}\vartheta=\left[-\cos\vartheta+\frac{1}{3}\cos^3\vartheta\right]_0^\vartheta=\frac{2}{3}-\cos\vartheta+\frac{1}{3}\cos^3\vartheta\approx 0{,}0029. \)
Ezt felhasználva és az adatokat behelyettesítve:
\(\displaystyle \Theta_0\approx 2{,}7\cdot 10^{28}~\mathrm{kgm}^2. \)
I. Antarktisz.
Az olvadás után a víz elterül a világtengereken. A kontinensek eloszlása nem egyenletes, de közelítőleg úgy számolhatunk, mintha egy vékony gömbhéj lenne. Ennek tehetetlenségi nyomatéka:
\(\displaystyle \Theta_1=\frac{2}{3}m_{\mathrm{j}}R^2=3{,}47\cdot 10^{29}~\mathrm{kgm}^2. \)
A tehetetlenségi nyomaték változása:
\(\displaystyle \Delta\Theta=\Theta_1-\Theta_0=3{,}20\cdot 10^{29}~\mathrm{kgm}^2, \)
és ez alapján a napok hosszának változása:
\(\displaystyle \Delta T=\frac{\Delta\Theta}{\Theta_\oplus}\,T=3{,}4\cdot 10^{-4}~\mathrm{s}=0{,}34~\mathrm{ms}. \)
II. Arktisz.
Ebben az esetben nincs tömegátrendeződés, így a napok hossza se változik.
Az Entrópiatagadók csapat: Budai Máté, Nacsa Domán(Gyula, Erkel F. Gimn., 12. évf.)
26 dolgozat érkezett. Helyes 4 megoldás. Kicsit hiányos (4 pont) 10, hiányos (2–3 pont) 8, hibás 1, nem versenyszerű 3 dolgozat.
P. 5640. A Kanári-szigetek legnagyobb városában, Las Palmasban található egy Európában egyedülálló kiállítás, amely a Föld vizeinek élővilágát mutatja be. A kiállítás egyik attrakciója egy \(\displaystyle 400\) köbméteres, függőleges, henger alakú tengeri akvárium, melynek karbantartását búvárok végzik. Vízszintesen körbenézve az akvárium falának hányad részén lát ki az a búvár, aki az \(\displaystyle R\) sugarú henger szimmetriatengelyétől \(\displaystyle d\) távolságra van? A tengervíz törésmutatója \(\displaystyle n\).
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
Megoldás. Az értelmezési tartomány a logaritmikus kifejezés miatt \(\displaystyle 9-x>0\), így \(\displaystyle x<9\), továbbá a négyzetgyökös kifejezés miatt \(\displaystyle x^2-5x-14\ge 0\), amiből \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle x\geq 7\) ...
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
A Rátz László vándorgyűlésen rendezett verseny feladatai
1. Az Azariah koncertre jegyet vásárlók sorában Dávid elölről a 2024., hátulról a 2025. várakozó. Hány ember áll a sorban?
(A) 4047; (B) 4048; (C) 4049; (D) 4050; (E) 4051
2. Dia és Viki egy táblán meglát néhány számot. Dia minden számhoz hozzáad 3-at, majd megállapítja, hogy a kapott számok összege 45. Viki az eredetileg a táblán szereplő számokat megszorozza 3-mal, és meglepődve állapítja meg, hogy az általa kapott számok összege is 45. Hány szám volt felírva a táblára a lányok érkezésekor?
(A) 10; (B) 9; (C) 8; (D) 6; (E) 5
A magyar matematika egyik fellegvára – az egyetemek mellett – a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet. Az intézetet 1950-ben alapították a Magyar Tudományos Akadémia Alkalmazott Matematikai Intézete néven. A kommunista ideológia szerint ,,a tudomány közvetlen termelőerővé válik'', ennek megfelelően az intézet feladata a népgazdaság fejlődésének segítése volt a tudomány eszközeivel. Az intézet vezetésével az akkor mindössze 29 éves sztármatematikust, Rényi Alfrédot bízták meg. Rényi bölcsen hagyta, hogy a kötelező feladatok elvégzése mellett az intézetbe toborzott kiváló matematikusok elméleti kérdésekkel is foglalkozzanak, hiszen az alkalmazott és az elméleti matematika összetartozik, együtt művelve a két irányt sokkal eredményesebb lesz a munka. Ezt az Akadémia vezetésével is sikerült elfogadtatnia, ennek megfelelően már 1955-ben a Matematikai Kutató Intézet elnevezés került a cégtáblára. Rényi Alfréd sajnos korán, 49 évesen elhunyt. Az intézet 1999 óta viseli alapító igazgatójának a nevét.
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
