Szerk
P. 5667. Az ábrán egy izzólámpa látható két homorú tükör között. A jobb oldali tükör párhuzamos fénynyalábot állít elő, míg a bal oldali, kis méretű tükör megakadályozza, hogy az izzólámpa fényének jelentős része kiszökjön ebből az összeállításból, ami egy gépkocsi reflektorának felel meg.
a) Magyarázzuk el, hogy miért ad erősebb fényt a reflektor a bal oldali kis tükör használatával, mint nélküle!
b) Vonalzóval végezzünk méréseket az ábrán, és állapítsuk meg a két tükör fókusztávolságának arányát!
c) Vonalzóval elvégzett méréseink alapján becsüljük meg, hogy az izzólámpa fényének hány százaléka kerül a reflektor által előállított párhuzamos fénynyalábba a kis tükör használata nélkül, illetve a kis tükör beépítésével!
(5 pont)
Példatári feladat nyomán
Megoldás. a) A reflektornak párhuzamos fénynyalábot kell előállítania. A kis tükör visszajuttat a parabolatükörre olyan fénysugarakat, amelyek enélkül más irányokba szóródtak volna. Ezáltal annak ellenére megnő a reflektor fényereje, hogy a kis tükör a fénynyaláb egy részét kitakarja.
b) A nagy tükör egy parabolatükör, aminek éppen a fókuszában helyezkedik el az izzó (ezért hoz létre párhuzamos nyalábot), így annak \(\displaystyle f_1\) fókusztávolsága közvetlenül lemérhető. A kis tükör egy gömbtükör, ennek középpontjában van az izzó (ezért a fény ugyanabba az irányba verődik vissza), így a gömb \(\displaystyle r\) sugara olvasható le. Az \(\displaystyle f_2\) fókusztávolság ennek fele.
A kinyomtatott ábráról leolvasott és az ezekből számolt értékek:
Megjegyzés. A feladatban nincsenek abszolút méretek megadva, a kinyomtatott ábráról leolvasott méretek a nagyítástól függenek. Így csak a fókusztávolságok keresett aránya független a nyomtatás nagyításától.
c) A \(\displaystyle \Phi\) fényáramokat a térszögek (A térszög nagysága a térszög által egy \(\displaystyle r\) sugarú gömb felületéből kimetszett felületdarab területe osztva \(\displaystyle r^2\)-tel (\(\displaystyle \Omega=A/r^2\)). Mértékegysége a szteradián (sr).) alapján lehet kiszámolni:
\(\displaystyle \Phi=I\Omega, \)
ahol \(\displaystyle I\) a fényforrás intenzitása, \(\displaystyle \Omega\) pedig a térszög. Egy \(\displaystyle \varphi\) félnyílásszögű kúphoz tartozó térszög:
\(\displaystyle \Omega(\varphi)=2\pi(1-\cos\varphi), \)
a teljes térszög pedig \(\displaystyle 4\pi\).
Az ábrán három különböző szöget jelöltünk be: \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) a nagy, illetve a kis tükör pereméhez húzott sugarak optikai tengellyel bezárt szöge, \(\displaystyle \gamma\) pedig annak a sugárnak a szöge, amely a parabolatükörről visszaverődve éppen a kis tükör peremét érinti. Erre azért van szükségünk, mert az ennél kisebb szögben induló fénysugarakat a kis tükör kitakarja. A kinyomtatott ábrán lemérve:
\(\displaystyle \alpha\approx 47^\circ,\qquad\beta\approx 42^\circ,\qquad\gamma\approx 15^\circ. \)
A kis tükör nélkül az izzó fényének hasznosuló hányada:
\(\displaystyle \frac{\Omega(\alpha)}{4\pi}=\frac{2\pi(1-\cos\alpha)}{4\pi}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\approx 16\%. \)
A kis tükör használatával ehhez hozzáadódik az arról visszaverődő fény is, viszont mindkettőből le kell vonnunk a kitakart részt. Ez alapján a hasznosuló fényáram és a teljes fényáram aránya:
\(\displaystyle \frac{\Omega(\alpha)+\Omega(\beta)-2\Omega(\gamma)}{4\pi}=\frac{2\cos\gamma-\cos\alpha-\cos\beta}{2}\approx 25\%. \)
Láthatjuk, hogy a kis tükör több mint másfélszeresére növeli a reflektor teljesítményét.
Bús László Teodor (Ceglédi Kossuth L. Gimn., 12. évf.) ésSümeghi Nándor (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)dolgozata alapján.
Megjegyzés. A fényből az izzó foglalata is kitakar valamennyit, de ezt nem vettük figyelembe a számításnál. A kis tükröt gyakran beleépítik az izzóba.
26 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 15, hiányos(1–2 pont) 7, nem versenyszerű 1 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
P. 5737. Egy jó vezető sík fémlap fölött \(\displaystyle d\) távolságban lévő \(\displaystyle m\) tömegű és \(\displaystyle Q\) nagyságú pontszerű töltést a fémlap síkjával párhuzamos irányban \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel meglökünk. Mennyi idő múlva és hol csapódik be a töltés a fémlapba? (A nehézségi erő az elektromos erők mellett elhanyagolható.)
Közli: Cserti József, Budapest
G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.
a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?
b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!
c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
