Szerk
P. 5667. Az ábrán egy izzólámpa látható két homorú tükör között. A jobb oldali tükör párhuzamos fénynyalábot állít elő, míg a bal oldali, kis méretű tükör megakadályozza, hogy az izzólámpa fényének jelentős része kiszökjön ebből az összeállításból, ami egy gépkocsi reflektorának felel meg.
a) Magyarázzuk el, hogy miért ad erősebb fényt a reflektor a bal oldali kis tükör használatával, mint nélküle!
b) Vonalzóval végezzünk méréseket az ábrán, és állapítsuk meg a két tükör fókusztávolságának arányát!
c) Vonalzóval elvégzett méréseink alapján becsüljük meg, hogy az izzólámpa fényének hány százaléka kerül a reflektor által előállított párhuzamos fénynyalábba a kis tükör használata nélkül, illetve a kis tükör beépítésével!
(5 pont)
Példatári feladat nyomán
Megoldás. a) A reflektornak párhuzamos fénynyalábot kell előállítania. A kis tükör visszajuttat a parabolatükörre olyan fénysugarakat, amelyek enélkül más irányokba szóródtak volna. Ezáltal annak ellenére megnő a reflektor fényereje, hogy a kis tükör a fénynyaláb egy részét kitakarja.
b) A nagy tükör egy parabolatükör, aminek éppen a fókuszában helyezkedik el az izzó (ezért hoz létre párhuzamos nyalábot), így annak \(\displaystyle f_1\) fókusztávolsága közvetlenül lemérhető. A kis tükör egy gömbtükör, ennek középpontjában van az izzó (ezért a fény ugyanabba az irányba verődik vissza), így a gömb \(\displaystyle r\) sugara olvasható le. Az \(\displaystyle f_2\) fókusztávolság ennek fele.
A kinyomtatott ábráról leolvasott és az ezekből számolt értékek:
Megjegyzés. A feladatban nincsenek abszolút méretek megadva, a kinyomtatott ábráról leolvasott méretek a nagyítástól függenek. Így csak a fókusztávolságok keresett aránya független a nyomtatás nagyításától.
c) A \(\displaystyle \Phi\) fényáramokat a térszögek (A térszög nagysága a térszög által egy \(\displaystyle r\) sugarú gömb felületéből kimetszett felületdarab területe osztva \(\displaystyle r^2\)-tel (\(\displaystyle \Omega=A/r^2\)). Mértékegysége a szteradián (sr).) alapján lehet kiszámolni:
\(\displaystyle \Phi=I\Omega, \)
ahol \(\displaystyle I\) a fényforrás intenzitása, \(\displaystyle \Omega\) pedig a térszög. Egy \(\displaystyle \varphi\) félnyílásszögű kúphoz tartozó térszög:
\(\displaystyle \Omega(\varphi)=2\pi(1-\cos\varphi), \)
a teljes térszög pedig \(\displaystyle 4\pi\).
Az ábrán három különböző szöget jelöltünk be: \(\displaystyle \alpha\) és \(\displaystyle \beta\) a nagy, illetve a kis tükör pereméhez húzott sugarak optikai tengellyel bezárt szöge, \(\displaystyle \gamma\) pedig annak a sugárnak a szöge, amely a parabolatükörről visszaverődve éppen a kis tükör peremét érinti. Erre azért van szükségünk, mert az ennél kisebb szögben induló fénysugarakat a kis tükör kitakarja. A kinyomtatott ábrán lemérve:
\(\displaystyle \alpha\approx 47^\circ,\qquad\beta\approx 42^\circ,\qquad\gamma\approx 15^\circ. \)
A kis tükör nélkül az izzó fényének hasznosuló hányada:
\(\displaystyle \frac{\Omega(\alpha)}{4\pi}=\frac{2\pi(1-\cos\alpha)}{4\pi}=\frac{1-\cos\alpha}{2}\approx 16\%. \)
A kis tükör használatával ehhez hozzáadódik az arról visszaverődő fény is, viszont mindkettőből le kell vonnunk a kitakart részt. Ez alapján a hasznosuló fényáram és a teljes fényáram aránya:
\(\displaystyle \frac{\Omega(\alpha)+\Omega(\beta)-2\Omega(\gamma)}{4\pi}=\frac{2\cos\gamma-\cos\alpha-\cos\beta}{2}\approx 25\%. \)
Láthatjuk, hogy a kis tükör több mint másfélszeresére növeli a reflektor teljesítményét.
Bús László Teodor (Ceglédi Kossuth L. Gimn., 12. évf.) ésSümeghi Nándor (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)dolgozata alapján.
Megjegyzés. A fényből az izzó foglalata is kitakar valamennyit, de ezt nem vettük figyelembe a számításnál. A kis tükröt gyakran beleépítik az izzóba.
26 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 15, hiányos(1–2 pont) 7, nem versenyszerű 1 dolgozat.
P. 5640. A Kanári-szigetek legnagyobb városában, Las Palmasban található egy Európában egyedülálló kiállítás, amely a Föld vizeinek élővilágát mutatja be. A kiállítás egyik attrakciója egy \(\displaystyle 400\) köbméteres, függőleges, henger alakú tengeri akvárium, melynek karbantartását búvárok végzik. Vízszintesen körbenézve az akvárium falának hányad részén lát ki az a búvár, aki az \(\displaystyle R\) sugarú henger szimmetriatengelyétől \(\displaystyle d\) távolságra van? A tengervíz törésmutatója \(\displaystyle n\).
1. Két pozitív szám számtani közepe \(\displaystyle 205\), a számtani és mértani közepük különbsége \(\displaystyle 160\). Melyik ez a két szám?
2. Számítsa ki \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) értékét, ha \(\displaystyle \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=0\), valamint \(\displaystyle A(x;7)\), \(\displaystyle B(4;-1)\) és \(\displaystyle C(x-11; -4)\).
Azok is figyelmesen olvassák el a Versenykiírást, akik tavaly már részt vettek versenyünkben.
Idén is matematikából, fizikából és informatikából indítunk versenyeket. Egyénileg, illetve csapatban is lehet versenyezni, a versenyek 9 hónapon keresztül, 2025. szeptemberétől 2026. június elejéig tartanak. Minden hónapban új feladatokat tűzünk ki, és a megoldásokat a következő hónap elejéig küldheted be. A verseny végeredményét a 2026. szeptemberi számunkban hirdetjük ki. A díjakat jövő ősszel, a KöMaL Ifjúsági Ankéton adjuk át.
Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet!
\(\displaystyle \sqrt{x^2-5x-14}\cdot\lvert5-x\rvert\cdot\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\cdot\lg(9-x)=0 \)
Megoldás. Az értelmezési tartomány a logaritmikus kifejezés miatt \(\displaystyle 9-x>0\), így \(\displaystyle x<9\), továbbá a négyzetgyökös kifejezés miatt \(\displaystyle x^2-5x-14\ge 0\), amiből \(\displaystyle x\leq -2\) vagy \(\displaystyle x\geq 7\) ...
1. a) Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán:
\(\displaystyle (x^2-9)\left(\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x+3}-1\right)=9+x \)
b) Egy négyszög \(\displaystyle \alpha\) szögére teljesül, hogy \(\displaystyle 4\sin^2\alpha-3=0\). Mekkora lehet az \(\displaystyle \alpha\) szög nagysága?
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
A Rátz László vándorgyűlésen rendezett verseny feladatai
1. Az Azariah koncertre jegyet vásárlók sorában Dávid elölről a 2024., hátulról a 2025. várakozó. Hány ember áll a sorban?
(A) 4047; (B) 4048; (C) 4049; (D) 4050; (E) 4051
2. Dia és Viki egy táblán meglát néhány számot. Dia minden számhoz hozzáad 3-at, majd megállapítja, hogy a kapott számok összege 45. Viki az eredetileg a táblán szereplő számokat megszorozza 3-mal, és meglepődve állapítja meg, hogy az általa kapott számok összege is 45. Hány szám volt felírva a táblára a lányok érkezésekor?
(A) 10; (B) 9; (C) 8; (D) 6; (E) 5
A magyar matematika egyik fellegvára – az egyetemek mellett – a Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet. Az intézetet 1950-ben alapították a Magyar Tudományos Akadémia Alkalmazott Matematikai Intézete néven. A kommunista ideológia szerint ,,a tudomány közvetlen termelőerővé válik'', ennek megfelelően az intézet feladata a népgazdaság fejlődésének segítése volt a tudomány eszközeivel. Az intézet vezetésével az akkor mindössze 29 éves sztármatematikust, Rényi Alfrédot bízták meg. Rényi bölcsen hagyta, hogy a kötelező feladatok elvégzése mellett az intézetbe toborzott kiváló matematikusok elméleti kérdésekkel is foglalkozzanak, hiszen az alkalmazott és az elméleti matematika összetartozik, együtt művelve a két irányt sokkal eredményesebb lesz a munka. Ezt az Akadémia vezetésével is sikerült elfogadtatnia, ennek megfelelően már 1955-ben a Matematikai Kutató Intézet elnevezés került a cégtáblára. Rényi Alfréd sajnos korán, 49 évesen elhunyt. Az intézet 1999 óta viseli alapító igazgatójának a nevét.
A KöMaL 2025 szeptemberi számában (Tait tétele és a 3-reguláris gráfok – a B. 5403. feladat háttere) kimondtuk Tait alábbi tételét.
Tétel (Tait tétele). Legyen \(\displaystyle G\) egy 3-reguláris, hídélmentes, síkbarajzolt gráf. Ekkor \(\displaystyle G\) tartományai \(\displaystyle 4\)-színezhetők akkor és csak akkor, ha élei \(\displaystyle 3\)-színezhetők.
A tételben \(\displaystyle k\)-színezésen olyan színezést értünk, amely \(\displaystyle k\)-féle színt használ, és az egymással szomszédos tartományok (illetve élszínezés esetén az egy csúcsban találkozó élek) mindig különböző színűek.
A szeptemberi számba nem került be a tétel bizonyítása (azzal a céllal, hogy akinek van kedve, gondolkodhasson rajta), ezt most pótoljuk.
Legutóbb szeptemberi számunkban foglalkoztunk bújócska típusú ördöglakatokkal. Elkészítésre ajánlottunk olvasóinknak egy pálcás változatot, ahol a ,,szokásos'' trükk nem működik, mivel az átbújtatás után (lásd ábra) a pálca nem fér át a hurkon a zsinór rövidsége miatt. Azonban vegyük észre, hogy ebben az átbújtatott állapotban valójában annyi a célunk, hogy a hurok a dupla zsinór másik oldalára kerüljön. Ezt úgy is elérhetjük, ha a téglatest formájú ,,alapot'' bújtatjuk át a hurkon.
