A P. 5669. fizika feladat megoldása
Szerk
P. 5669. Egy \(\displaystyle R=5~\mathrm{cm}\) sugarú, \(\displaystyle m=0{,}5~\mathrm{kg}\) tömegű, homogén anyageloszlású tárcsa \(\displaystyle r=0{,}5~\mathrm{cm}\) sugarú tengelyéhez egy \(\displaystyle L=20~\mathrm{cm}\) hosszúságú, vékony fonál egyik végét rögzítjük, és a fonál \(\displaystyle L/2\) hosszúságú részét a tengelyre feltekerjük. A függőleges fonál másik végét rögzített helyzetben tartva a tárcsát elengedjük.
a) Mekkora erő feszíti a fonalat az egyenletesen gyorsuló tárcsa (,,jojó'') mozgása közben?
b) Mekkora a tárcsa tengelyének sebessége a fonál kitekeredésének pillanatában?
c) A tárcsa függőleges mozgásának megfordulásakor a fonalat feszítő erő egy rövid időre megnő (a tárcsa ,,ránt egyet'' a fonálon). Becsüljük meg a fonálerő átlagos értékét a rántás alatt!
A tengely tömegét, a fonál függőlegestől való eltérését és a közegellenállást elhanyagolhatjuk. A tárcsa szögsebességét az ,,átfordulás'' alatt tekintsük állandónak.
(6 pont)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
Megoldás. a) A tárcsára két erő hat: a nehézségi erő és a fonálerő (ábra). A tömegközéppont gyorsulása \(\displaystyle a_{\mathrm{tkp}}\), a tárcsa szöggyorsulása \(\displaystyle \beta\). A mozgásegyenletek:
$$\begin{gather*} ma_{\mathrm{tkp}}=mg-K,\\ \Theta\beta=Kr, \end{gather*}$$ahol \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{2}mR^2\) a tárcsa tehetetlenségi nyomatéka. A kényszerfeltétel miatt (a fonál nem csúszik meg a tengelyen):
\(\displaystyle a_{\mathrm{tkp}}=r\beta. \)
Az egyenletrendszer megoldása:
$$\begin{gather*} K=\frac{mg}{1+\frac{2r^2}{R^2}}=4{,}81~\mathrm{N},\\ a_{\mathrm{tkp}}=\frac{g}{1+\frac{R^2}{2r^2}}=0{,}192~\mathrm{m}/\mathrm{s}^2. \end{gather*}$$Tehát a fonálerő a letekeredés alatt: \(\displaystyle K=4{,}81~\mathrm{N}\).
b) A tengely \(\displaystyle a_{\mathrm{tkp}}\) gyorsulással tesz meg \(\displaystyle L/2\) távolságot, így a végsebessége:
\(\displaystyle v=\sqrt{La_{\mathrm{tkp}}}=\sqrt{\frac{Lg}{1+\frac{R^2}{2r^2}}}=0{,}196~\mathrm{m}/\mathrm{s}. \)
Megjegyzés. A végsebesség (a gyorsulás ismerete nélkül) az energiamegmaradásból is meghatározható:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}\Theta\omega^2=mg\frac{L}{2}, \)
amiből a \(\displaystyle v=r\omega\) kényszerfeltétel és \(\displaystyle \Theta=\tfrac{1}{2}mR^2\) felhasználásával:
$$\begin{gather*} v^2\left(1+\frac{R^2}{2r^2}\right)=Lg,\\ v=\sqrt{\frac{Lg}{1+\frac{R^2}{2r^2}}}, \end{gather*}$$az előző megoldással megegyezően.
c) A rántás alatt a tömegközéppont sebessége irányt vált, így a rendszer impulzusa
\(\displaystyle \Delta I=2mv \)
értékkel megváltozik. Eközben a tengely közel állandó szögsebességgel átfordul, a \(\displaystyle \pi\) szögelforduláshoz
\(\displaystyle \Delta t=\frac{\pi}{\omega}=\frac{r\pi}{v} \)
időre van szükség. (Itt ismét felhasználtuk a \(\displaystyle v=r\omega\) kényszerfeltételt.) A rántás alatt a testre ható átlagos erő:
\(\displaystyle K_{\mathrm{r}}-mg=\frac{\Delta I}{\Delta t}, \)
amiből a keresett (átlagos) fonálerő a rántás közben:
\(\displaystyle K_{\mathrm{r}}=\frac{\Delta I}{\Delta t}+mg=\frac{2mv^2}{r\pi}+mg=\left(\frac{4Lr}{\pi(2r^2+R^2)}+1\right)mg=7{,}35~\mathrm{N}. \)
Papp Emese Petra (Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., 11. évf.)
36 dolgozat érkezett. Helyes 11 megoldás. Kicsit hiányos (4–5 pont) 17, hiányos(1–3 pont) 7, nem versenyszerű 1 dolgozat.