Fórum: Érdekes matekfeladatok

147.feladat: Az Erdős Pál Matematikai Iskolában volt kitűzött feladat:

Elnézést mindenkitől,de sajnos tévesen irtam azt,hogy a 3szögek sorozata akkor konvergál egy ponthoz,ha a végtelen sok véletlenszerüen választott 0..1 közti szám szorzata 0-hoz tart.Ugyanis ha az oldalon az arány x,akkor az új 3szög területe 1-3x(1-x) szerese lesz az elözönek.Igy az kell,hogy ha az x-eket véletlenszerüen választjuk,milyen eséllyel tart az 1-3x(1-x) számok szorzata 0-hoz.ezek pedig nem véletlenszerüen vannak kivál.va 0..1röl,hiszen pl.mindegyikük legalább 1/4.Szerencsére azonban itt is az 1/4..1/2 int.vallumba 1 val.szinüséggel esik végtelen sok,mert ehhez az kell hogy 1/4<1-3x(1-x)<1/2 teljesüljön az x-re.Ez a feltétel x-re nézve 2 int.vallumot ad,azokba pedig 1 val.szin.gel végtelen sok x fog esni,igy az 1-3x(1-x) ek közt 1 val.szin.gel végtelen sok lesz az 1/4..1/2 int.vall.ban,igy a szorzatuk 0-hoz tart 1 val.szin.gel.

Folytatva a súlypont körüli asszociációs játékot :

146. feladat. Bizonyítsuk be, hogy minden konvex sokszög belsejében van olyan P pont, hogy minden, P-n átmenő AB húrra

AP/BP2

.

Kedves jenei.attila!

A gyógyszeres feladat jelenleg pihen, bár lehet, hogy néhányan törik rajta a fejüket. Annyi eredményünk van, amennyi eddig a fórumon elhangzott, azaz p_2,k kivételével csak egy általános rekurzív alak. Könnyen lehetséges, hogy nincs zárt alakban megoldás. A feladatot én találtam ki évekkel ezelőtt egy unalmas matekórán, s néha-néha előszedtem egy kicsit. Azért tettem fel ide a fórumra, hátha valakinek bevillan valami okos ötlet. Egyelőre úgy tűnik, hogy kifog rajtunk, de sosem szabad feladni, mint ahogy Wiles sem engedte ki a markából a Fermat tétel bizonyítását. A kettő között mindössze annyi különbség van, hogy annak megoldása a matematika sok területét kapcsolta össze, míg ez valószínűleg csak egy jelentéktelen zsákutca. Én már annak is örülnék, ha pl. közelítő megoldás, vagy valami ügyes rekurziós átalakításunk lenne, vagy a spec esetek száma bővülne (pl. zárt alak p_k,k-ra.)

Minden jót!

Szia Atosz!

A gyógyszeres feladattal hogy állunk? A rekurzió megoldása elég reménytelennek tűnik. Lehetséges egyáltalán szép zárt alakot adni rá? Vagy esetleg valami ügyes trükkel (ld. őrült légi utasok) egyszerűbben megoldható? Egyébként honnan származik a feladat?

Végtelen sok véletlenszerüen választott 0..1 közti szám között 1 val.szinüséggel lesz végtelen sok a 0..1/2 intervallumban,ekkor pedig a szorzat csak 0-hoz tarthat.Igy 1 a val.szine annak hogy 0 lesz a szorzat.

Teljesen igazad van, becsapott az aⁿ sorozat, ami minden 0 és 1 közötti a esetén 0-hoz tart. Így viszont, jogosnak tűnik Kemény Legény felvetése, miszerint ha véletlenszerűen választunk számokat a (0,1) intervallumból, akkor milyen valséggel lesz a szorzat 0-tól különböző.

Azt viszont furcsálnám, ha 1-nél kisebb számok szorzata nem tartana a nullához.

Miért is? Legyen mondjuk , ami szemlátomást szigorúan 0 és 1 közé esik, ha n legalább 2. Ekkor az a_n-ek szorzatának határértéke nem nulla lesz. Gyakorlásképpen, akinek van kedve, számolja ki a szorzat határértékét, mondjuk a 2. tagtól kezdve (n=1-re a_n=0, tehát úgy nem lenne túl nehéz szorzatot számolni).

Kedves Kemény Legény!

Gratulálok a megoldáshoz! Ez tulajdonképpen egy ujjgyakorlat volt "szörnyűnek" tűnő megfogalmazásban. Szerintem azért ez egy érdekes tulajdonsága a súlypontnak. Azt viszont furcsálnám, ha 1-nél kisebb számok szorzata nem tartana a nullához.

Legyenek az A0B0C0 csúcsaiba mutató helyvektorok:a,b,és c.Ekkor az A1 pont helyvektora kifejezhető a és b lin.komb.jaként,mégpedig ax+by alakban ahol x+y=1.Ekkor B1,C1 pontok helyvektorai: bx+cy ill.cx+ay lesznek. Az eredeti 3-szög súlypontja (a+b+c)/3,mig az új 3-szögé: (ax+by+bx+cy+cx+ay)/3=(a+b+c)(x+y)/3=(a+b+c)/3 lesz. Igy a müvelet során a háromszögek súlypontjai változatlanul maradnak,és mivel a háromszög súlypontja általában a belsejébe szokott esni,ezért ha a 3-szögek végtelen sorozata egyáltalán konvergál vmely ponthoz(elég ha a területük tart 0-hoz,mivel egymásba skatulyázott zárt halmazok),akkor az a háromszög súlypontja lesz.Az már persze nem geometriai kérdés hogy végtelen sok véletlenszerüen választott 0 és 1 közti szám szorzata milyen eséllyel tart 0-hoz,hiszen csak ekkor konvergálhat a 3-szögsorozat vhová.