Fórum: KöMaL Internetes Tesztverseny

Igazad van. :o(

Volt egy kis hiba a megoldás TeX forrásában, azért nem látszott rendesen. Most már látszik. A végét, a kúp és sík metszetének kiszámolását nem írtam le, csak a végeredményt.

Természetesen lehetséges, hogy a megoldás hibás. Itt az alkalom, hogy megvitassuk és kijavítsuk. :-)

Jó lenne látni 37. hivatalos megoldását, nem csupán a végeredményt. A végeredmény szerintem nem jó, helyette 1.0173 a helyes, ami kerekítve 1.02.

A 39. feladatra több pontot kellene adni, mint a 38-ra, mert képre nem lehet keresni a neten :-)!

Köszönöm.Ha jól értelmezem az eredményt pedig egyszerüen a feladat alatti téglalapocskába kell beirni?

Szabályok. Csak a végeredményt.

Lenne kérdésem. A tesztversenyre hogyan lehet eljuttatni a meoldásokat? Levezetést is szükséges? Vagy csak a végeredmény?

Bocs, hogy komolyan vettem:)) Szakmai ártalom. Nulladik közelitésnek elfogadható. De talán nem volt hiábavaló ezeket hozzátenni.Mint emlitetted: variációs elvet alkalmaztál. Én csak pontositottam minek nevezik ezt a mechanikában. Valamint még egy munkatételt (Betti) illetve egy abból levezethető elvet (Maxwell)emlitettem. Ez viszont mechanika (szilárdságtan) és a probléma tényleg igen fontos elméletileg is. Hátha utána akar nézni valaki. Erről a végtelenül vékony ámde 1o m hosszú 3kg "cérnáról" csak annyit, ha acélból lenne akkor kb. 7mm lenne az átmérője, műanyagból kb.18mm. (mondjuk PP), hegymászókötél kb. 9 mm (a rongy érdekes, de elég nehéz). A matematikai fizikában enélkül is megoldható a feladat, de tisztázni kell a tett elhanyagolásokat.Valmint azért mert másoknak is gondot okozott.A hajlitómerevség szóba se kerülhet, hiszen hajlitónyomaték nincs. Viszont Betti tételhez tényleg kellene (hacsak alkalmazható lenne, de nem az). Ezért inkább szil tan. diffegyenletrendszere. Szivesen elolvasnám a levezetésed.

Igazandibol nem ertem a problemat, hiszen korabban elhangzott, hogy ez egy elmeleti feladat, vegtelenul vekony, meg nem nyulo es el nem szakado kotellel, pontszeru terhelessel, stb. Emiatt teljesen ertelmetlen hajlitasi merevsegrol, nyiroerokrol beszelni.

Egyebkent nem alkalmaztam semmilyen variacios elvet, csak az energiaminimum elvet. Ez pedig olyan problemara vezetett, amit a matematika variacioszamitas c. fejezete mar regen precizen megtargyalt.

A kötélhez még annyit: miért is éli manapság újra reneszát a katenoid? A probléma: energiaszállitás, illetve mélytengeri kőolajkitermelés. Biztos láttatok már távvezetéken felfüggesztett gömböket. A vezeték nem olcsó, az időjárás pedig egyre szélsőségesebb. A kőolaj bányászatban pedig már az óceáni mélység a cél. Az olajat fel kell csövekben hozni. Ekkor figyelembe véve a felhajtóerőket is (illetve áramlatok stb.)a mélység miatt ugyancsak kiváló min. hajlékony csövek kellenek, figyelembe véve a kőolaj súlyát is. Viszont ha nem kell annyi anyagot betervezni, olcsóbb a cső... Ugyan földrajzi okokból legfeljebb csak csövet gyárthatnánk itthon...vagy alapanyagot..., de... Szóval ebben kemény üzlet is van. Mindazonáltal a szilárdságtan diffegyenletrsz. erre a problémára zárt alakban nem oldható meg. Tehát nyitott probléma. Egyébként Kölnben van egy óriási forditott katenoid mint impozáns épitészeti látványosság és jelkép.Van ott egy fősuli a Deutz városrészben.(Épitőmérnökök. Szoktak ott lenni magyar hallgatók is. Én tavalyelőtt jártam arra.)

A megoldás egy még általánosabb elvet használ, a Betti tételből levezethető Maxwell elvet, mely szerint tetszőlegesen sok helyen megtámasztott (értsd: egyensúly van függetlenül attól, hogy ki tudom e számolni a reakcióerőket) merev testre ható két koncentrált erő és hatásukra bekövetkező elmozdulásvektorok a másik erő hatásvonalára vett vetületei hossza egyenlők.(Ez koncentrált nyomatékokra és a hatásukra bekövetkezett szögelfordulásokra is igaz) Ebből látszik, miért is van ezzel problémám...(ugyanazon, továbbá egyszerre bekövetkező hatás... stb, a koncentrált feltétel megoszló erőkből még teljesithető lenne...) Ez a példa (müegyetemi) mechanika szigorlaton túlra való igazán... Tényleg? Hány főnek sikerült megemelni?

Ez nem zavarás kérdése... hanem Egyébként azért foglalkozom a témával, mert tudtommal, a szilárdságtan diffegyenletrendszere erre az "egyszerü" (hiszen csak húzóerő és nyiróerő van ha van koncentrált erő is) terhelési esetre zárt alakban nem oldható meg. Amint súlyt akasztunk a kötélre, statikailag határozatlan a feladat. Én felirtam a difegyenleteket (persze gyakorlatban használhatóbb alakban, megengedve azt, hogy tetszőleges sok koncentrált terhelés legyen és azt is, hogy a felfüggesztéseknek nem kell sem egy magasságban sem pedig egy sikban lenni.) Az viszont zavarna, ha ez a feladat úgy maradna itt meg, hogy egy triviális képlet behelyettesités...., holott MÉG nem az, és . Tehát legalább az elhanyagolásokat fel kellene sorolni, továbbá kimondani azt a mechanikai variációs elvet amit alkalmazott (Lagrange) Teljes alakváltozási energia koncentrált erők szerinti parciális deriváltjai zérushelyén az alakváltozási energia minimális. Ebből adódnak a statikailag határozatlan szerkezet reakcióerői. Ha ez már ismert,akkor Betti tétele szerint az elmozdulás a keresett pontban egy pl. egységnyi fiktiv terheléssel valóban meghatározható, viszont ez még nem az, mert el kell osztani két anyagjellemző szorzatával (IE).

A 37. feladathoz könnyítésként nem mondanád meg, melyik a hasáb négyzetes lapja a vetületen?

Köszi.

Szerintem érdemes még a problémával foglalkozni. Vagy mindenki el tudja fogadni a hivatalos megoldást?

Ali kérdésére válasz: az e ad x es alak fv értéke a ,ha x=o. Tehát koo.transz. kell.A másik meglátása is igaz sőt: a paraméter konstans. Mivel w/H=a (vagy ennek reciproka, attól függ ki hogy jelölte) akkor ez egy súlyos feltétel a lehetséges görbe egyenletére. Azaz a olyan, hogy egyrészt görbe tetszöleges pontjában ugyanannyi. Másik pedig az, aminek az előző a következménye, a vertikális és horizontális komponensek hányadosa a görbe iránytangense,vagyis a görbe derivátjának helyettesitési értéke. Ennek a felfüggesztés helyén is igaznak kell lennie. Tehát ilyen mellékfeltételek teljesülése mellett lesz a láncgörbe a feladathoz tartozó, továbbá lesz egyensúly. Vagyis megoldása my"=ks' -nek, (a=k/2m) feladat diffegyenletének általános megoldása biztos láncgörbe, itt s(x) az ivhossz , köz. másodrendü diffegy, plusz az előző mellékfeltételek. Ennek jelentése: húzóerök abszolutértékeinek összege=kötélsúly (azaz a hajlitást nem vesszük figyelembe). Mechanikailag: ha a rögzités csukló, akkor jobbaldali fél görbeivre nézve a probléma megoldása a statikában: a támaszerő (a reakcióerő a csuklón) és a fél kötél súlypontjába koncentrált félkötél súlyának statikai nyomatákai vektori összege nullvektor. (Egyébként nem minden anyag és nem minden geometria esetén számolunk láncgörbével. Parabola elég kis belógásra, vagy ha a feltételezett félgörbeiv súlypontja a fesztáv negyedének közelében van.)

Mi történt a sakktáblás feladattal?

Érdekes megoldás! Kösz, hogy beírtad. A totós példához én Hamming-kódok témakörben találtam megoldást itt.

Ígéretemnek megfelelően röviden beírom a 29. feladatra a Könyvbéli megoldást.

Legyen egy él ellenállása R=840. Vezessünk be az első csúcsponton 21I áramot, az összes többi csúcsról pedig vezessünk el 3I-t. Ekkor az első csúcsból a szimmetria miatt mindhárom élen ugyanannyi áram folyik el, összesen pedig 21I, vagyis minden élen 7I.

Most rakjuk félre az előző kísérletet, és az (elsővel szomszédos) második csúcspontról vezessünk el 21I áramot, a többi hét csúcs mindegyikére vezessünk be 3I-t. Ekkor az előzőhöz hasonlóan a második csúcsba minden élen 7I áram folyik be.

Adjuk össze most az előző két kísérletet. Ekkor az első csúcsra (21+3)I áramot vezetünk be, a másodikról ugyanennyit vezetünk el. A többi csúcsról viszont semmilyen áram nem folyik ki a kockából. Ekkor az első és a második csúcsot összekötő élen 2^.7I áram folyik át, így az erre eső feszültség 2^.7IR.

Azt kaptuk tehát, hogy ha a kocka két szomszédos éle között 24I áramot vezetünk át, akkor a feszültség 14IR. Az eredő ellenállás ebből 14/28R=490

Egyébként kíváncsi lennék valami magyarázatra a 30. (totós) feladathoz.

Bocsi: a kötél tömege csak 4 kg lett (11 helyett :-)).

Megtaláltam a köteles példát amiről szó van. Az a kérdés, hogy két egyensúlyi (akkor is ha v nem nulla de gyorsulás nulla, tehát egyuttal nyugalmi) helyzet között mekkora az elmozdulás. Ez csupán a geometriai kényszerekből nem kiszámolható. A megoldás első részében a megfelelő kezdeti feltételeket kielgitő másodrendü közönséges diferrenciálegyenlet megoldásaként adódó egy "láncgörbe" egyenletéből a lelógás adódik. A másik egyensúlyi helyzet szintén viszont a geometriai kényszerekből adódik, Pitagorasz tétellel. Ezt jelölje Y. Semmi több nem kell. Mivel a feladatot 10mm pontossággal kellett megoldani.

Ami nem mindig igaz: ha a feladat azt kérdezné, milyen hosszú terheletlen kötélnek lesz ugyanakkora a lelógása, mint az 1kg tömeggel terhelt 10m hosszúságúnak, akkor világos mit ért toldás alatt. Ha a kötél anyaga olyan, hogy teljesül rá az a feltétel, hogy pontosan 1kg a tömege a betoldandó hosszúságú kötélnek és a toldott hosszúságú kötél belógása az adott Y, akkor helyes a feladat második része is. Ez csak annyit jelent, hogy ugyanannak a diffegyenletnek egy másik kezdeti feltételt kielégitő megoldása kielégiti azt a feltételt is, hogy x=0 ban f(0)=Y. A ch(x) fv exp. fv-el felirt alakját szokás linearizáló formának is nevezni, hiszen e ad x függvényében lineáris fv (de nem homogén lineáris). Ha kiszámoljuk a láncgörbe ivhosszát most nem ivhossz szerinti paraméterezéssel akkor azt kapjuk, hogy L=2 a sh(x/2a) és azonnal látszik, hogy a kötél hosszára nézve nem lineáris a kifejezés. Az sh(x) is kifejezhető linearizáló alakban. (ch(x)-sh(x))(chx+sh(x))=1. Vagyis a kötél hossza és a belógása közötti összefüggés nem lesz lineáris. Legyen most a kötél tömege m, hossza l, akkor m/l dimenziója kg/m ez egy egyenletes tömegeloszlás, most 0,3 kg/m a feladat adataival. 1kg ugyanolyan anyagu kötél kötél hossza tehát 10/3 m azaz ugyan majdnem 3 méter. Akkor az állitás: 40/3 m hosszú kötél belógásához tartozó p paraméter ugyanabból a képletből nem számolható, mert tömege 11kg lett, és a feladat folytonosan függ a kötél felfüggesztésénél támadó reakcióerőtől ami a diffegyenlet kezdeti feltétele.

Található megoldásgörbe ekkor is, átmehet az x=0 , f(0)=Y ponton, ekkor viszont a tömegeloszlás nem lehet ugyanakkora, ekkor viszont biztos hogy nem ugyanolyan anyagú vagy alaku (sürüsége, vagy térfogata változik).

Nem kell.

(De ha valakit zavar, hogy egy sullyal terhelt kotel nem azonos egy terheletlen kotellel, akkor kiszamolhatja.)

Látom, a köteles feladat felkavarta a kedélyeket. :-)

A feladatban ideális kötélről volt szó, vagyis a kötél rugalmasságát, sodrását és egyéb jellemzőit elhanyagoljuk. Éppen ezért nem látom, hogy a hivatalos megoldás (a mostani formájában) miért is lenne hibás...

Az Euler-Lagrange egyenlet említéséről meg a klasszikus vicc jut eszembe, amikor a matematikus és a fizikus vizet forral. Ha már egyszer kiszámoltuk (de legalábbis hallottuk), hogy az ideális kötél alakja láncgörbe, akkor miért kellene újra kiszámolni?

Az "Euler-Lagrange egyenletes megoldasterv" az ugyanez a tema, en nem beszeltem Hamilton-elvrol, sem varialhato palyakrol, sem idofuggesrol, csak egyszeru statikarol, ami az energiaminimum soran valosul meg.

Érdekes még ez a kötél? A hivatalos megoldás hibás.

Szia. Igazad van. Ez nem statika, hanem szilárdságtan, de azon belül is elasztostatika.A lényeges gondolat az, hogy a kötél egy keresztmetszetét az alatta levő kötélrész húzza.(a legmélyebb ponttól az adott keresztmetszetig terjedő.)Ezért ivhossz szerinti paraméterezést használunk. Az egy megoldható diffegyenletre vezet. Majd megoldást ivhossz paraméterről átirjuk Descartes-be. Az e ad x fv-nyel kifejezett alakot szeretjük, mert a kötélsúrlódás e ad mü -vel fejezhető ki. Az nem igaz pl: hogy a kötél keresztmetszeteiben ébredő húzóerő visszintes komponense állandó.(Az viszont igaz, hogy vektori összegük nullvektor (a teljes kötél mentén is, de azonos magasságban levő keresztmetszetben is. Ettől szimmetrikus most a felvett alakja.Ugyanez elmondható most a függőleges eredő komponensekről is.) Továbbá az is tévhit, hogy a hajlitónyomaték elhanyagolható. Ugyanis a reakcióerők redukáltjának lesz kereszmetszetbe eső komponense (nyiróerő) és a redukált nyomaték lesz a hajlitónyomaték. (Ettől hajlik a kötél most "láncgörbe" alakba mivel a nyiróerő (most)ivhossz szerinti integrálja arányos a hajlitónyomatékkal 1/IE az rányossági tényező.) A legnagyobb húzóerő nyilván a felfüggesztési pontokban levő keresztmetszetet terheli. A legkisebb a legmélyebb pontban hat. Olvastam itt Euler-Lagrange egyenletes megoldástervet is. Az egy másik táma lenne. Mondjuk elvágva a kötelet az elvágástól számitott delta t idő múlva milyen lesz az alakja és a sebességeloszlás, gyorsulás eloszlás...stb. De akkor ma már inkább Appel-Gibbs. A kötél müszakilag nem túl izgalmas,de elméletileg jó kis gyakorlat. És még nem beszéltünk többszörösen sodrott, vagy éppen a flexibilis tengelyekről amik ugye csavarva vannak.