Simonovits András
1962-ben többször részt vettem mezei futóversenyen, ahol a részvevők nagy száma miatt akkor még lehetetlen volt a részvevők egyéni időmérése. Helyette minden befutó kapott egy érkezési sorszámot, amely az egyéni sorrendet eldöntötte. De ugyanakkor csapatok is versenyeztek. Nem csak három csapat volt, de az egyszerűség kedvéért mi most három csapattal írjuk le a problémát. Jelölje a három csapatot \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), és tegyük fel, hogy mindegyik csapat 3-3 versenyzőt indított. Minden versenyző kapott egy érkezési sorszámot, azt a számot, hogy hányadiknak érkezett be. (Holtverseny nem volt, tehát mindenki az 1–9 számok valamelyikét kapta.) Ez a sorszám persze az egyes csapatokon belül is meghatározott egy-egy sorrendet, jelölésben \(\displaystyle a_1<a_2<a_3\), \(\displaystyle b_1<b_2<b_3\) és \(\displaystyle c_1<c_2<c_3\). Az egyes csapatok teljesítményét az \(\displaystyle (a_1, a_2, a_3)\), \(\displaystyle (b_1, b_2, b_3)\) és \(\displaystyle (c_1, c_2, c_3)\) vektorokkal lehet jellemezni. Ezen vektorok alapján többféle rangsort is fel lehetett volna állítani az egyes csapatok között – többféleképpen is sorba lehetett volna rendezni ezeket a vektorokat –, ezen a versenyen egy nagyon egyszerű rendezést alkalmaztak, csapatonként összeadták az érkezési számokat.
Gnädig Péter, Vácduka
A fizikában (és sok más tudományterületen) gyakran szükségünk lehet egy függvény szélsőértékének (minimumának vagy maximumának) meghatározására. Ez történhet differenciálszámítás segítségével, grafikus ábrázolással, esetenként algebrai egyenlőtlenségek felhasználásával, vagy erre alkalmas, az interneten szabadon hozzáférhető számítógépes programok (pl. GeoGebra, WolframAlpha) futtatásával.
Ha egy egyváltozós, sima (differenciálható) \(\displaystyle f(x)\) függvénynek valamely \(\displaystyle x_0\) pontban (lokális) szélsőértéke van, akkor ott a deriváltja nulla kell hogy legyen. Ezzel egyenértékű megfogalmazás (ami nem igényli a differenciálszámítás formális szabályainak ismeretét) a következő. Ha a függvény értékei az \(\displaystyle x_0\) ponthoz közel, attól kicsiny \(\displaystyle \epsilon\) távolságra
\(\displaystyle f(x_0+\epsilon)=f(x_0)+m(x_0)\,\epsilon+\delta(x_0,\epsilon) \)
alakban írhatók fel (ahol \(\displaystyle \delta(x_0,\epsilon)\) ,,nagyon kicsi'' mennyiség), akkor \(\displaystyle m(x_0)\)-at a függvény \(\displaystyle x_0\) pontbeli ,,meredekségének'' nevezzük. A ,,nagyon kicsi'' pongyola megfogalmazás itt azt jelenti, hogy \(\displaystyle \delta\) még \(\displaystyle \epsilon\)-nál is sokkal kisebb, mert a \(\displaystyle \delta/\epsilon\) hányados \(\displaystyle \epsilon\) csökkentésével tetszőlegesen kicsivé tehető. A \(\displaystyle \delta\) mennyiséget gyakran ,,másodrendűen kicsinek'' is nevezzük, és a közelítő számításokban \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagoljuk.
Dőry István
A NapCsiga egy tisztán napelemes kishaszonjármű, amely 2017-ben a tatabányai Edutus Egyetemen egy projekt keretében készült, és azóta is használatban van. A járműre szerelt adatgyűjtőnek köszönhetően rengeteg adat áll rendelkezésre, amelyből érdekes tapasztalatok összegezhetők. Ebben az írásban néhány egyszerű és közismert fizikai összefüggés gyakorlati érvényesülését mutatjuk meg; mit lehet elérni és milyen korlátokat jelent ez a technológia.
A napelemes jármű tervezésének legalapvetőbb lépése a méretezés. A jármű saját tömege 350 kg, a maximális terhelhetősége kb. 300 kg. A felszerelt napelemtáblák teljes felülete \(\displaystyle 4{,}8~\mathrm{m}^2\), ezzel szép idő esetén naponta 1-2 kWh befogott energiára lehet számítani. Ehhez kell méretezni a motor teljesítményét (\(\displaystyle 1500~\mathrm{W}\approx 2~\mathrm{LE}\)) és az akkumulátorok kapacitását (3 kWh, 1-2 naponként feltöltődik, 1-2 naponta kihasználjuk). Ez megszabja a hatótávolságot (30-40 km helyi fuvar, ha közben süt a Nap, akkor néha 100 km) (A legtöbb, amit egy nap megtett, az 130 km volt, de arra már nagyon fel kellett készülni: előtöltöttség, korai indulás, sok napoztatás.), és a használat módját: jellemzően helyi teherszállítás, fatelep, bolt, posta, néha országjárás, tábori felszerelés szállítása, nyáron maximális kihasználtság, télen csendes pihenő. Csodák nincsenek: ha egy hétig esik az eső, akkor az akkumulátorban lévő 40 km-re lehet számítani, hiába vannak sürgős elképzeléseink.
Woynarovich Ferenc
Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az
típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)
képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk.
