Miért természetes az e?

Kós Rita, Kós Géza

Amikor az exponenciális függvény és a logaritmus fogalmát tanuljuk, a \(\displaystyle 2\)-es és a \(\displaystyle 10\)-es alap választása tűnik a legkézenfekvőbbnek. A \(\displaystyle 2\)-es alap előnye, hogy a kis pozitív egész számok között sok olyan van, aminek a \(\displaystyle 2\)-es alapú logaritmusa egész. A \(\displaystyle 10\)-es alap előnye pedig az, hogy sokjegyű számok logaritmusát is nagyon könnyű egyetlen, néhány oldalas logaritmustábla segítségével meghatározni. Amilyen természetesnek tűnik a \(\displaystyle 2\)-es és a \(\displaystyle 10\)-es alapú logaritmus, olyan megdöbbentő, hogy "természetesnek" mégsem ezeket nevezzük, hanem egy teljesen mesterséges számot választunk alapul. Ezt a mesterséges alapot Euler nyomán \(\displaystyle e\)-vel jelöljük, értéke közelítőleg \(\displaystyle e\approx2,71828182845904523536\).

Az \(\displaystyle e\) számot a legtöbb tankönyv az \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) sorozat határértékeként, tehát egy \(\displaystyle 1^\infty\) alakú határértékként definiálja. Mások (Eulerhez hasonlóan) így definiálják: \(\displaystyle e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots\). Egyik definíció sem alkalmas arra, hogy az \(\displaystyle e\)-vel közvetlenül aritmetikai műveleteket végezzünk. Sőt, Euler, Liouville és Hermite eredményeiből azt is tudjuk, hogy az \(\displaystyle e\) szám semmilyen egész együtthatós polinomnak sem gyöke; más szóval, a \(\displaystyle \pi\)-hez hasonlóan, transzcendens [3]. Az \(\displaystyle e\) számmal nem könnyű számolni.

Különösen a komplex függvénytan mutatott rá, hogy az \(\displaystyle e^x\) függvény nagyon szoros kapcsolatban áll a trigonometrikus függvényekkel, és ezáltal az \(\displaystyle e\) közeli rokona a \(\displaystyle \pi\)-nek. Nagyon sok olyan eset van, amikor ez a két szám együtt fordul elő egy matematikai eredményben, például a Stirling-formula szerint \(\displaystyle n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\).

Az \(\displaystyle e\) szám tehát nem azért természetes, mert könnyű vele számolni, hanem mert olyan speciális tulajdonságai vannak, amelyek matematikai vizsgálatokban sokkal fontosabbak, mint az aritmetikai kezelhetőség. Ebben a cikkben az egyik – a legfontosabb – tulajdonságát fogjuk vizsgálni, amely ott áll az összes többi hátterében.

Egy kis matematikatörténet

A XV–XVI. század Európájában egyre fontosabbá vált az ipar, a hajózás, a csillagászat, a kereskedelem, mely területek nemcsak műszaki, hanem matematikai vívmányoknak is köszönhették azt, hogy egyre professzionálisabbá váltak. A pénzemberek számára oly fontos kamatos kamat számításához táblázatokat készítettek (pl. Simon Stevin). Az ezekkel való számolást szerette volna Joost Bürgi (1552–1632) felgyorsítani az általa készített táblázat segítségével. A svájci műszerkészítő mester adott \(\displaystyle p\) kamatláb mellett az \(\displaystyle \left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}\), (\(\displaystyle n=0,1,2,\ldots\)) mértani sorozathoz elemenként a \(\displaystyle 0, 10, 20, \ldots, 10n\) számtani sorozat elemeit rendelte. Így az első sorozat bármely két elemének szorzatához éppen az a szám tartozik, amely a megfelelő számtani sorozatból való elemek összege. A két sorozatot egymástól színezéssel különböztette meg (piros-fekete). A ma már természetes jelöléssel tehát \(\displaystyle \log_{a} \left(1+\frac{p}{100}\right)^{n}=10n\).

A táblázat ugyan már 1611-ben elkészült, ám csak kilenc évvel később jelent meg. Ennek köszönhette John Napier skót matematikus, hogy először az övé vált ismertté (1614). Napier munkája annak a mozgásnak a közelítő leírásából származik, amikor valaki egy \(\displaystyle d\) hosszúságú úton halad úgy, hogy sebességének mérőszáma minden pillanatban megegyezik a hátralevő út hosszával. Az időt rövid, \(\displaystyle \lambda\) hosszúságú szeletekre vágta, és a sebességet minden szeletben állandónak vette. Az így kapott út-idő értékekből táblázatot készített. A megfeleltetést a görög logosz, azaz arány és arithmosz, azaz szám összegyúrásából latinosan logaritmusnak nevezte el.

A táblázat elkészítésekor Napier a \(\displaystyle \lambda\) számot \(\displaystyle 10^{-7}\)-nek választotta (\(\displaystyle d\)-t pedig \(\displaystyle 10^7\)-nek), mai szóhasználattal tehát azt is mondhatjuk, hogy Napier-féle táblázatban a logaritmus alapja \(\displaystyle \left(1-\frac{1}{10^7}\right)^{10^7}\).

Napier munkáját az Oxfordi Egyetem geometria professzora, Henry Briggs fejlesztette tovább. Elsőként azt szerette volna, hogy \(\displaystyle \log 1=0\), azaz az alapszakasz hossza \(\displaystyle 10^7\) helyett egységnyi legyen. Másodsorban kívánatosnak tartotta, hogy a \(\displaystyle 10\) logaritmusa tíznek egy hatványaként álljon elő. Számos lehetőség megvitatása után a \(\displaystyle \log 10=1\) mellett döntöttek, ami nemcsak a tízes alapú logaritmus megszületését jelentette, hanem magának a logaritmus alapjának megfogalmazását is. (Tehát ha egy szám \(\displaystyle a\)-nak az \(\displaystyle L\)-edik hatványa, akkor a szám \(\displaystyle a\) alapú logaritmusa \(\displaystyle L\).)

A 2,718... szám első ismert előfordulását Napier Descriptio című műve angol fordításának függelékében találhatjuk. (A függeléket feltehetőleg William Oughtred írta.) Itt szerepel a következő megállapítás: \(\displaystyle log_a 10=2,302585\), ahol \(\displaystyle a\approx2,71828\). Egy másik érdekes korai eredmény Gregory of Saint-Vincent nevéhez fűződik, aki 1647-ben a derékszögű hiperbola alatti területet számította ki. Szerinte az \(\displaystyle xy=1\) egyenletű hiperbola és az \(\displaystyle x\)-tengely egységnyi területet fog közre az \(\displaystyle x=1\)-től kezdve \(\displaystyle x=e\)-ig.

Euler az \(\displaystyle e\) számot az 1727–28-ból származó Elmélkedés az ágyúzás legújabb tapasztalatairól (Meditatio en experimenta explosione tormentorum nuper instituta) című kéziratában használta először. Később egy – Goldbachnak írt – levelében találkozhatunk az \(\displaystyle e\)-vel (1731), nyomtatásban legelőször 1736-ban jelent meg a Mechanica című tanulmányban.

A szimbólum megválasztásának miértjéről csak találgatni lehet. Vannak, akik szerint az \(\displaystyle e\) az exponenciális szó kezdőbetűje, mások az \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) – az akkori matematikát művelők között bevetten használt – betűk sorában következőt látják benne. A rosszmájúak és irigyek véleménye természetesen az, hogy Euler a számot önmagáról nevezte el.

Euler megmutatta, hogy az \(\displaystyle e\) szám irracionális. 1844-ben Liouville bebizonyította, hogy egyetlen egész együtthatós másodfokú polinomnak sem gyöke, sőt, Hermite 1873-ban azt is bebizonyította, hogy transzcendens.

A komputertechnika fejlődésével egyre több jegyét számolják ki \(\displaystyle e\)-nek, a minél pontosabb meghatározásért folyó verseny napjainkban is tart. (1999-ig 109 nagyságrendű tizedes jegyet állapítottak meg.)

Az exponenciális függvény meredeksége

Az \(\displaystyle e\) szám legérdekesebb és egyben legfontosabb tulajdonsága az exponenciális és logaritmusfüggvények meredekségével kapcsolatos.

A különféle alapú exponenciális függvények grafikonjait a középiskolából viszonylag jól ismerjük. Az \(\displaystyle x\mapsto a^x\) függvény szigorúan monoton nő, ha \(\displaystyle a>1\), szigorúan monoton fogy, ha \(\displaystyle 0<a<1\) és azonosan \(\displaystyle 1\), ha \(\displaystyle a=1\). Minden esetben igaz az, hogy a grafikon egy folytonos görbe, amely átmegy a \(\displaystyle (0;1)\) ponton.

Tetszőleges alap esetén igaz, hogy az \(\displaystyle a^x\) függvény konvex. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a grafikon bármelyik két pontját egy egyenes szakasszal összekötve, a szakasz a grafikon fölött helyezkedik el (1. ábra).

1. ábra

A konvexitást formálisan is leírjuk. Legyen \(\displaystyle A=(x;a^x)\) és \(\displaystyle B=(y;a^y)\) a két végpont. Az \(\displaystyle AB\) szakasz egy belső \(\displaystyle C\) pontját úgy határozzuk meg, hogy a szakaszt valamilyen arányban felosztjuk. Ha az arány \(\displaystyle q:p\), ahol \(\displaystyle p,q\) pozitív számok és \(\displaystyle p+q=1\), akkor az osztópont koordinátái \(\displaystyle C=(px+qy;pa^x+qa^y)\), a grafikon \(\displaystyle C\) ,,alatti'' pontja pedig \(\displaystyle D=(px+qy;a^{px+qy})\). Az tehát, hogy az exponenciális függvény konvex, azt jelenti, hogy \(\displaystyle a^{px+qy}\le pa^x+qa^y\) teljesül bármelyik lehetséges \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\) számnégyes esetén.

Azt, hogy az exponenciális függvény konvex, a súlyozott számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség segítségével bizonyíthatjuk be. Az \(\displaystyle a^{px+qy}\) és \(\displaystyle pa^x+qa^y\) kifejezések nem mások, mint az \(\displaystyle a^x\) és \(\displaystyle a^y\) számok súlyozott mértani, illetve számtani közepe a \(\displaystyle p\) és \(\displaystyle q\) súlyokkal.

Az exponenciális függvény grafikonjához bármelyik pontjában, így a \(\displaystyle (0;1)\) pontban is érintőt húzhatunk. (Ennek bizonyításától most eltekintünk.) Az érintő meredeksége természetesen attól függ, hogy mi az alap. A továbbiakban arra vagyunk kiváncsiak, hogy milyen alap esetén lesz a \(\displaystyle (0;1)\)-ben húzott érintő meredeksége \(\displaystyle 1\), azaz mikor érinti az exponenciális függvény az \(\displaystyle y=x+1\) egyenest. A keresett alapot jelöljük – egyelőre – \(\displaystyle a\)-val.

Az \(\displaystyle a\) számra jó becsléseket az érintő \(\displaystyle (0;1)\)-hez közeli pontjai segítségével kaphatunk. Először vegyünk egy nagy pozitív valós számot (\(\displaystyle x\)) és tekintsük az \(\displaystyle \left(\frac{1}{x};1+\frac{1}{x}\right)\) pontot. A konvexitás miatt a teljes érintő a grafikon alatt van (kivéve az érintési pontot, 2. ábra), tehát \(\displaystyle a^{\frac{1}{x}} \gt 1+\frac{1}{x}\); \(\displaystyle x\)-edik hatványra emelve \(\displaystyle a > \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\).

2. ábra

Második becslésünkhöz tekintsük a \(\displaystyle \left(-\frac{1}{x+1}; 1-\frac{1}{x+1}\right)\) pontot. Ez a pont is a grafikon alatt van, tehát \(\displaystyle a^{-\frac{1}{x+1}} \gt 1-\frac{1}{x+1}\). Ezúttal \(\displaystyle -(x+1)\)-edik hatványra emelve (mivel a kitevő negatív, az egyenlőtlenség iránya megfordul!),

\(\displaystyle a<\left(1-\frac{1}{x+1}\right)^{-(x+1)} = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}. \)

Összefoglalva, a keresett alapra teljesülnie kell, hogy tetszőleges \(\displaystyle x>0\) esetén

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} < a < \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}. \)

Itt azonnal meg lehet kérdezni, hogy az \(\displaystyle x\) helyére nagyobb számot írva erősebb becslést kapunk-e. Megmutatjuk, hogy így van, az \(\displaystyle x\mapsto\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\) függvény monoton nő, az \(\displaystyle x\mapsto\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+1}\) függvény pedig monoton fogy.

Legyen \(\displaystyle 0<u<v\) két tetszőleges pozitív valós szám. Először azt fogjuk megmutatni, hogy \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{u}\right)^{u} \lt \left(1+\frac{1}{v}\right)^{v}\). Legyen \(\displaystyle b=\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}\); az \(\displaystyle x\mapsto b^x\) függvény grafikonja átmegy az \(\displaystyle U=\left(\frac{1}{u};1+\frac{1}{u}\right)\) ponton (3. ábra). A konvexitás miatt a \(\displaystyle V=\left(\frac{1}{v};1+\frac{1}{v}\right)\) pont a \(\displaystyle b^x\) függvény grafikonja fölött van, tehát \(\displaystyle 1+\frac{1}{v}\gt b^{\frac{1}{v}}\). A \(\displaystyle v\)-edik hatványokat véve

\(\displaystyle b=\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u} < \left(1+\frac{1}{v}\right)^{v}. \)

3. ábra

Legyen most \(\displaystyle c=\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u+1}\). Az \(\displaystyle x\mapsto c^x\) függvény grafikonja átmegy a \(\displaystyle P=\left(-\frac{1}{u+1};1- \frac{1}{u+1}\right)\) ponton. A \(\displaystyle Q=\left(-\frac{1}{v+1};1- \frac{1}{v+1}\right)\) pont a grafikon fölött van, tehát \(\displaystyle c^{-\frac{1}{v+1}}<1-\frac{1}{v+1}\). Ezt \(\displaystyle -(v+1)\)-edik hatványra emelve az egyenlőtlenség iránya ismét megfordul, \(\displaystyle c=\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u+1} > \left(1+\frac{1}{v}\right)^{v+1}\) (4. ábra).

4. ábra

Természetesen mindkét függvény monotonitását közvetlenül is igazolhatjuk a súlyozott közepek közötti egyenlőtlenségekkel. Írjuk fel az \(\displaystyle 1+\frac{1}{u}\) és \(\displaystyle 1\) számokra a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az \(\displaystyle u\), illetve \(\displaystyle v-u\) súlyokkal:

\(\displaystyle \left(\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}\cdot1^{v-u}\right)^{\frac{1}{v}}< \frac{u\cdot\left(1+\frac{1}{u}\right)+(v-u)\cdot1}{v}, \)

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{u}\right)^{u}< \left(1+\frac{1}{v}\right)^{v}. \)

Hasonlóan írjuk fel a súlyozott harmonikus és mértani közepek közötti egyenlőtlenséget is az \(\displaystyle u+1\) és \(\displaystyle v-u\) súlyokkal:

\(\displaystyle \frac{v+1}{\frac{u+1}{1+\frac{1}{u}}+\frac{v-u}{1}} \le\left(\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u+1}\cdot1^{v-u}\right)^{\frac{1}{v+1}}, \)

\(\displaystyle \left(1+\frac{1}{v}\right)^{v+1} <\left(1+\frac{1}{u}\right)^{u+1}. \)

A monoton növekvő alsó becslés és a monoton fogyó felső becslés hányadosa \(\displaystyle 1\)-hez tart. Ebből következik, hogy a két függvénynek közös határértéke van a végtelenben (5. ábra). Ha a közös határértéket (amit most már nyugodtan nevezhetünk \(\displaystyle e\)-nek) választjuk az exponenciális függvény alapjának, a \(\displaystyle (0;1)\) pontbeli érintő iránya éppen \(\displaystyle 45^\circ\)-os lesz. Az \(\displaystyle e\) számnak ez az a tulajdonsága, ami miatt a matematika legkülönfélébb területein felbukkan.

5. ábra

Az \(\displaystyle e^x\) függvénynek nem csak a \(\displaystyle (0;1)\)-beli meredeksége érdekes. A grafikon tetszőleges \(\displaystyle (x;e^x)\) pontjában az érintő meredeksége éppen \(\displaystyle e^x\), vagy más szóval, \(\displaystyle (e^x)'=e^x\). Ez a tulajdonság is az előbb látottak egyszerű következménye.

A célunk az volt, hogy rámutassunk az okra, ami miatt az \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) sorozat határértéke különleges, hogy miért éppen ezt a számot érdemes az exponenciális és a logaritmusfüggvény alapjának választani.

Egy tankönyvben, ahol a gondos, precíz felépítés nagyon fontos, a sorrend többnyire teljesen más. Az \(\displaystyle e\) számot jóval azelőtt szokás definiálni, mint hogy érintőkről és azok meredekségéről, azaz differenciálásról szó esne. Előbb – a sorozatok határértékéről szóló fejezetekben – bebizonyítjuk, hogy az \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\) sorozat konvergens, és a határértékét elnevezzük \(\displaystyle e\)-nek. Csak később, a függvények határértéke és a folytonosság fogalmának bevezetése után, a differenciálásról szóló fejezetben találkozunk azzal, hogy az \(\displaystyle e^x\) függvény milyen érdekes a deriválás szempontjából.

Feladatok

1. Legyen \(\displaystyle n\) tetszőleges pozitív egész. Adjunk közvetlen bizonyítást arra, hogy \(\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<3\).

2. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\ldots=e\).

3. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges \(\displaystyle a\) valós szám esetén az \(\displaystyle \left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}\) függvénynek van határértéke a \(\displaystyle \infty\)-ben.

4. Definiáljuk az \(\displaystyle \exp\) függvényt a következőképpen: \(\displaystyle \exp\,(a)=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{x}\). Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle \exp\,(a+b)=\exp\,(a)\cdot\exp\,(b)\), és valójában \(\displaystyle \exp\,(a)=e^a\).

5. Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!}+\ldots\,. \)

Hátha valaki nem ismeri

A differenciáloperátor összetalálkozik egy függvénnyel. Azt mondja neki az operátor:
- Add nekem az értékkészletedet, különben megderivállak!
- Hahaha! Én vagyok az \(\displaystyle e^x\).

Az \(\displaystyle e\) tizedes jegyeinek megjegyzésére több vicces mondatot, verset gondoltak ki, amelyekben minden számjegynek egy-egy szó betűinek száma felel meg, például

,,By omnibus I traveled to Brooklyn.''

,,We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: `!' when first it was found, yes, loudly `!'. My students perhaps will compute \(\displaystyle e\), use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!'' (Barel, 1995)

Irodalom

[1] Eli Maor: \(\displaystyle e\) – The history of a number, Princeton University Press (Princeton, New Jersey, 1994).

[2] Sain Márton: Nincs királyi út, Gondolat (Budapest, 1986).

[3] Freud Róbert – Gyarmati Edit: Számelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó (Budapest, 2000), 369-401. oldal.

[4] hrefhttp://mathworld.wolfram.com/e.htmlhttp://mathworld.wolfram.com/e.html

[5] hrefhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ history/HistTopics/e.htmlhttp://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/ history/HistTopics/e.html