Gnädig Péter, Vácduka
A fizikában (és sok más tudományterületen) gyakran szükségünk lehet egy függvény szélsőértékének (minimumának vagy maximumának) meghatározására. Ez történhet differenciálszámítás segítségével, grafikus ábrázolással, esetenként algebrai egyenlőtlenségek felhasználásával, vagy erre alkalmas, az interneten szabadon hozzáférhető számítógépes programok (pl. GeoGebra, WolframAlpha) futtatásával.
Ha egy egyváltozós, sima (differenciálható) \(\displaystyle f(x)\) függvénynek valamely \(\displaystyle x_0\) pontban (lokális) szélsőértéke van, akkor ott a deriváltja nulla kell hogy legyen. Ezzel egyenértékű megfogalmazás (ami nem igényli a differenciálszámítás formális szabályainak ismeretét) a következő. Ha a függvény értékei az \(\displaystyle x_0\) ponthoz közel, attól kicsiny \(\displaystyle \epsilon\) távolságra
\(\displaystyle f(x_0+\epsilon)=f(x_0)+m(x_0)\,\epsilon+\delta(x_0,\epsilon) \)
alakban írhatók fel (ahol \(\displaystyle \delta(x_0,\epsilon)\) ,,nagyon kicsi'' mennyiség), akkor \(\displaystyle m(x_0)\)-at a függvény \(\displaystyle x_0\) pontbeli ,,meredekségének'' nevezzük. A ,,nagyon kicsi'' pongyola megfogalmazás itt azt jelenti, hogy \(\displaystyle \delta\) még \(\displaystyle \epsilon\)-nál is sokkal kisebb, mert a \(\displaystyle \delta/\epsilon\) hányados \(\displaystyle \epsilon\) csökkentésével tetszőlegesen kicsivé tehető. A \(\displaystyle \delta\) mennyiséget gyakran ,,másodrendűen kicsinek'' is nevezzük, és a közelítő számításokban \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagoljuk.
Azokat a pontokat, ahol a függvény meredeksége nulla, stacionárius pontoknak nevezzük. Ezen pontok közelében a függvény első közelítésben állandónak tekinthető. Ha egy sima függvénynek valahol szélsőértéke van, ott a meredeksége nulla. (Ez a megállapítás nem feltétlenül helyes, ha a kérdéses pont a függvény értelmezési tartományának határára esik. Például az \(\displaystyle f(x)\equiv\sqrt{x}\) minimuma az \(\displaystyle x_0=0\) pontnál van, de ott a függvény meredeksége nem nulla, hanem formálisan ,,végtelen nagy''.) Ha \(\displaystyle m(x_0)\ne 0\), akkor az \(\displaystyle x_0\) pontból kicsit elmozdulva \(\displaystyle f(x)\) növekedne (vagy csökkenne), ellentétes irányban pedig csökkenne (vagy növekedne), az \(\displaystyle x_0\) pontban tehát \(\displaystyle f(x)\)-nek sem maximuma, sem pedig minimuma nem lehetne. (Fordítva ez nem feltétlenül igaz, a kérdéses hely lehet inflexiós pont is; lásd pl. az \(\displaystyle f(x)=x^3\) függvényt az \(\displaystyle x=0\) pontban.)
A szélsőérték-probléma könnyen általánosítható többváltozós függvényekre is. Ha például \(\displaystyle h(x,y)\) a tengerszint feletti magasságot jelöli az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) GPS-koordinátákkal megadott helyen, akkor \(\displaystyle h\) szélsőértékénél (pl. egy fokozatosan emelkedő domb tetején) mind az \(\displaystyle x\) irányú, mind pedig az \(\displaystyle y\) irányú meredekség nulla kell legyen, tehát a kérdéses helyen \(\displaystyle h(x,y)\) stacionárius. Ha tetszőleges \(\displaystyle n\) változós függvényeket vizsgálunk, ott \(\displaystyle n\) különböző ,,irányú'' meredekség eltűnése a szélsőérték szükséges (de nem elégséges) feltétele.
Az olyan feladatokat, amelyekben valamilyen mennyiség szélsőértékét (maximumát, minimumát, esetleg csak a stacionárius helyét) keressük, de nem egyetlen változó függvényében, hanem egy görbe vagy egy síkbeli (esetleg térbeli) tartomány összes lehetséges alakzata közül szeretnénk kiválasztani a számunkra legmegfelelőbbet, variációszámítási problémáknak nevezzük. (Formálisan a variációszámítási feladatok végtelen sok változós függvények, avagy ,,függvényváltozós függvények'' szélsőérték-problémája.)
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Róka Sándor idén februárban elnyerte a WFNMC Erdős Pál-díját. A Nemzeti Matematika Versenyek Világszövetsége (World Federation of National Mathematics Competitions – www.wfnmc.org) az Erdős Pál-díjat olyan matematikusoknak adományozza, akik hazai vagy nemzetközi versenyek szervezésével, illetve szakmai munkájukkal jelentősen hozzájárultak ahhoz, hogy a matematikában tehetséges fiatalok minél szélesebb körben vehessenek részt magas színvonalú megmérettetésekben. (https://www.wfnmc.org/awards.html) A díj igazán nemzetközi, a kitüntetettek között minden lakott kontinens képviselteti magát. 1992 óta ítélik oda, eddig összesen 54-en kapták meg, köztük öt magyar és egy magyar születésű amerikai. (1996 – George Berzsenyi, 2000 – Reiman István, Surányi János, 2014 – Pelikán József, 2022 – Kós Géza, 2026 – Róka Sándor) A legtöbb díjjal – héttel – az Amerikai Egyesült Államok büszkélkedhet, ezt követi Ausztrália és Magyarország 5-5 díjjal, majd Kína 3-mal.
A NapCsiga egy tisztán napelemes kishaszonjármű, amely 2017-ben a tatabányai Edutus Egyetemen egy projekt keretében készült, és azóta is használatban van. A járműre szerelt adatgyűjtőnek köszönhetően rengeteg adat áll rendelkezésre, amelyből érdekes tapasztalatok összegezhetők. Ebben az írásban néhány egyszerű és közismert fizikai összefüggés gyakorlati érvényesülését mutatjuk meg; mit lehet elérni és milyen korlátokat jelent ez a technológia.
A napelemes jármű tervezésének legalapvetőbb lépése a méretezés. A jármű saját tömege 350 kg, a maximális terhelhetősége kb. 300 kg. A felszerelt napelemtáblák teljes felülete \(\displaystyle 4{,}8~\mathrm{m}^2\), ezzel szép idő esetén naponta 1-2 kWh befogott energiára lehet számítani. Ehhez kell méretezni a motor teljesítményét (\(\displaystyle 1500~\mathrm{W}\approx 2~\mathrm{LE}\)) és az akkumulátorok kapacitását (3 kWh, 1-2 naponként feltöltődik, 1-2 naponta kihasználjuk). Ez megszabja a hatótávolságot (30-40 km helyi fuvar, ha közben süt a Nap, akkor néha 100 km) (A legtöbb, amit egy nap megtett, az 130 km volt, de arra már nagyon fel kellett készülni: előtöltöttség, korai indulás, sok napoztatás.), és a használat módját: jellemzően helyi teherszállítás, fatelep, bolt, posta, néha országjárás, tábori felszerelés szállítása, nyáron maximális kihasználtság, télen csendes pihenő. Csodák nincsenek: ha egy hétig esik az eső, akkor az akkumulátorban lévő 40 km-re lehet számítani, hiába vannak sürgős elképzeléseink.
Kevés az olyan egyenlettípus, amely zárt alakban megoldható, a legtöbb esetben valamilyen numerikus megoldáshoz kell folyamodnunk. Mindig lehetőségünk van a próbálgatásra, amit ügyesen végrehajtva megbízható eredményre juthatunk, de bizonyos esetekben a megoldás megkeresésére szisztematikus, könnyen automatizálható eljárás is a rendelkezésünkre áll. Az alábbiakban egy ilyet mutatunk be. Ez az
típusú egyenletek esetében alkalmazható, és az \(\displaystyle f(x)\) függvények egy széles osztályában eredményes. A módszer lényege, hogy az
\(\displaystyle x_{n+1}=f(x_n) \)
képzési szabály segítségével egy sorozatot generálunk.
