Ismerkedés a variációszámítással

Gnädig Péter, Vácduka

Bevezetés

A fizikában (és sok más tudományterületen) gyakran szükségünk lehet egy függvény szélsőértékének (minimumának vagy maximumának) meghatározására. Ez történhet differenciálszámítás segítségével, grafikus ábrázolással, esetenként algebrai egyenlőtlenségek felhasználásával, vagy erre alkalmas, az interneten szabadon hozzáférhető számítógépes programok (pl. GeoGebra, WolframAlpha) futtatásával.

Ha egy egyváltozós, sima (differenciálható) \(\displaystyle f(x)\) függvénynek valamely \(\displaystyle x_0\) pontban (lokális) szélsőértéke van, akkor ott a deriváltja nulla kell hogy legyen. Ezzel egyenértékű megfogalmazás (ami nem igényli a differenciálszámítás formális szabályainak ismeretét) a következő. Ha a függvény értékei az \(\displaystyle x_0\) ponthoz közel, attól kicsiny \(\displaystyle \epsilon\) távolságra

\(\displaystyle f(x_0+\epsilon)=f(x_0)+m(x_0)\,\epsilon+\delta(x_0,\epsilon) \)

alakban írhatók fel (ahol \(\displaystyle \delta(x_0,\epsilon)\) ,,nagyon kicsi'' mennyiség), akkor \(\displaystyle m(x_0)\)-at a függvény \(\displaystyle x_0\) pontbeli ,,meredekségének'' nevezzük. A ,,nagyon kicsi'' pongyola megfogalmazás itt azt jelenti, hogy \(\displaystyle \delta\) még \(\displaystyle \epsilon\)-nál is sokkal kisebb, mert a \(\displaystyle \delta/\epsilon\) hányados \(\displaystyle \epsilon\) csökkentésével tetszőlegesen kicsivé tehető. A \(\displaystyle \delta\) mennyiséget gyakran ,,másodrendűen kicsinek'' is nevezzük, és a közelítő számításokban \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagoljuk.

Azokat a pontokat, ahol a függvény meredeksége nulla, stacionárius pontoknak nevezzük. Ezen pontok közelében a függvény első közelítésben állandónak tekinthető. Ha egy sima függvénynek valahol szélsőértéke van, ott a meredeksége nulla. (Ez a megállapítás nem feltétlenül helyes, ha a kérdéses pont a függvény értelmezési tartományának határára esik. Például az \(\displaystyle f(x)\equiv\sqrt{x}\) minimuma az \(\displaystyle x_0=0\) pontnál van, de ott a függvény meredeksége nem nulla, hanem formálisan ,,végtelen nagy''.) Ha \(\displaystyle m(x_0)\ne 0\), akkor az \(\displaystyle x_0\) pontból kicsit elmozdulva \(\displaystyle f(x)\) növekedne (vagy csökkenne), ellentétes irányban pedig csökkenne (vagy növekedne), az \(\displaystyle x_0\) pontban tehát \(\displaystyle f(x)\)-nek sem maximuma, sem pedig minimuma nem lehetne. (Fordítva ez nem feltétlenül igaz, a kérdéses hely lehet inflexiós pont is; lásd pl. az \(\displaystyle f(x)=x^3\) függvényt az \(\displaystyle x=0\) pontban.)

A szélsőérték-probléma könnyen általánosítható többváltozós függvényekre is. Ha például \(\displaystyle h(x,y)\) a tengerszint feletti magasságot jelöli az \(\displaystyle x\) és \(\displaystyle y\) GPS-koordinátákkal megadott helyen, akkor \(\displaystyle h\) szélsőértékénél (pl. egy fokozatosan emelkedő domb tetején) mind az \(\displaystyle x\) irányú, mind pedig az \(\displaystyle y\) irányú meredekség nulla kell legyen, tehát a kérdéses helyen \(\displaystyle h(x,y)\) stacionárius. Ha tetszőleges \(\displaystyle n\) változós függvényeket vizsgálunk, ott \(\displaystyle n\) különböző ,,irányú'' meredekség eltűnése a szélsőérték szükséges (de nem elégséges) feltétele.

Variációszámítási problémák

Az olyan feladatokat, amelyekben valamilyen mennyiség szélsőértékét (maximumát, minimumát, esetleg csak a stacionárius helyét) keressük, de nem egyetlen változó függvényében, hanem egy görbe vagy egy síkbeli (esetleg térbeli) tartomány összes lehetséges alakzata közül szeretnénk kiválasztani a számunkra legmegfelelőbbet, variációszámítási problémáknak nevezzük. (Formálisan a variációszámítási feladatok végtelen sok változós függvények, avagy ,,függvényváltozós függvények'' szélsőérték-problémája.)

*

A fizika (és sok más természettudományi szakterület) szinte valamennyi kérdése variációszámítási feladatként is megfogalmazható. Az alábbiakban felsorolunk néhány jellegzetes variációszámítási problémát a geometria, a klasszikus mechanika és az optika köréből.

1. A gömb felületén két adott pont között melyik az a görbe, amelynek ívhossza a legrövidebb? Az ilyen tulajdonságú görbét az adott felület (jelen esetben a gömb) geodetikus vonalának nevezik. Megoldás: a két ponton átmenő főkör rövidebb íve.

2. Egy függőleges sík két pontját valamilyen alakú rögzített, merev, vékony drótszál köti össze. A szálon egy pontszerűnek tekinthető test (például egy kicsiny, átfúrt gyöngyszem) csúszhat le súrlódásmentesen. Melyik az a görbe, amely mentén a legrövidebb idő alatt ér le a kezdősebesség nélkül elindított kis test a drótszál aljáig? Ez a brachistochron (legrövidebb idő) probléma. Megoldás: ciklois.

3. Milyen az alakja annak a síkgörbének, amelynek két adott pont közötti darabját adott tengely körül megforgatva a kapott felület felszíne minimális? Megoldás: \(\displaystyle y(x)=a\ch\tfrac{x-x_0}{a}\) alakban megadható ún. láncgörbe.

4. Egy tömegpont egydimenziós mozgását vizsgáljuk valamilyen erőtérben, de nem használjuk fel a Newton-féle mozgásegyenleteket. Tudjuk, hogy a test \(\displaystyle t_1\) pillanatban egy ismert \(\displaystyle x_1\) helyen volt, és egy későbbi \(\displaystyle t_2\) pillanatban az ismert \(\displaystyle x_2\) helyhez érkezik. Kiszámítjuk minden elképzelt \(\displaystyle x(t)\) út-idő függvényhez tartozó mozgásra a test \(\displaystyle E_{\mathrm{m}}\) mozgási energiájának és az \(\displaystyle E_{\mathrm{h}}\) helyzeti energiájának különbségét, majd ezt a különbséget a \(\displaystyle t_1<t<t_2\) időtartamra átlagoljuk. Vajon melyik az az \(\displaystyle x(t)\) függvény, amelyre ez az átlagérték – amelynek \(\displaystyle (t_2-t_1)\)-szeresét ,,hatásnak'' nevezték el – a lehető legkisebb? Meglepő módon a hatás annál az \(\displaystyle x(t)\) függvénynél a legkisebb, amelyik az \(\displaystyle F=ma\) Newton-egyenletnek tesz eleget, tehát a ténylegesen megvalósuló mozgást írja le [1].

5. A geometriai optika alapjelenségei: a fény visszaverődése, illetve a fénytörés. Ezt a két jelenséget egyetlen variációs elv, a Fermat-elv segítségével így lehet megfogalmazni: A fény egy adott pontból egy másik (adott helyen lévő) pontba úgy jut el, hogy az ehhez szükséges idő a lehető legrövidebb legyen [2].

A variációs problémák külön csoportját képezik azok, amelyeknél a szélsőértéket csak valamilyen mellékfeltételnek eleget tevő függvények körében keressük. Ilyen problémákra is mutatunk néhány példát.

6. Két rögzített pont között adott hosszúságú lánc (vagy súlyos, hajlékony kötél) helyezkedik el. Milyen alakú láncnál lesz a gravitációs helyzeti energia minimális? Itt a mellékfeltétel a lánc hossza. Megoldás: \(\displaystyle y(x)=a\ch\tfrac{x-x_0}{a}+b\) alakban megadható görbe, amelyet – nem véletlenül – láncgörbének is neveznek.

7. A legrégebben, több mint 2000 éve megfogalmazott variációs probléma ez volt: Adott kerület mellett melyik síkidom területe a legnagyobb? A válasz: a kör. Ezt – geometriai intuíciót felhasználva – már az ókori görögök is tudták, de szigorú matematikai bizonyítást csak a 19. század végén találtak a problémára.

8. Az előző kérdés egyik változata az ún. Dido-féle probléma. A legenda szerint Dido, Türosz hercegnője, miután menekülni kényszerült hazájából, Észak-Afrikába érkezett, ahol a helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit egy ökörbőrrel körbe tud keríteni. Az uralkodó beleegyezett, mire Dido hosszú, keskeny csíkra vágta a bőrt, amiből kerítést készített, majd a lehető legnagyobb földterületet választotta le a tengerpart mentén, megalapítva Karthágó városát. Vajon milyen alakú volt Dido kerítése? A válasz: félkör, amelyet a tengerpart zár le. (A tengerparton nyilván nem kellett kerítést építenie.)

9. Az utóbbi hónapokban a Dido-féle probléma két újabb változata is megjelent a KöMaL kitűzött fizika feladatai között. Az egyik szerint Dido hajózásai során egy 1 km sugarú, kör alakú szigeten kötött ki, valahol a Földközi-tengeren. Legfeljebb mekkora földterületet tudott leválasztani, ha a kerítésének hossza 1 km volt? Dido a kettéosztott sziget kisebb területrészét tekinthette sajátjának [3].

10. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt [4]?

A variációszámítás matematikája

A fentebb felsorolt néhány (és még sok más) probléma fizikai megfontolásokkal, analóg fizikai jelenségekkel való összekapcsolással is megoldható, de tisztán matematikai megfontolásokat alkalmazva is célhoz érhetünk. A témakör általános matematikai elméletét a svájci Leonhard Euler (1707–1783) és az olasz születésű francia Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) alkotta meg a 18. század közepén. Módszerük alapja a szélsőértéket adó függvény kicsiny megváltoztatása, a függvény ,,variálása'' volt; innen származik a matematika ezen ágának elnevezése is, és róluk nevezték el a variációszámítás alapegyenletét Euler–Lagrange-egyenletnek.

A továbbiakban nem fogunk foglalkozni a variációszámítás általános problémáival (mert azok matematikai apparátusa lényegesen meghaladná a KöMaL fizika rovatában elvárható ismereteket), helyette csak egy egyszerűbb eseten, a Dido-féle problémakör fentebb megfogalmazott 10. feladatán keresztül mutatjuk be a módszer lényegét. Megfontolásaink során intuitív, szemléletes érveket is alkalmazunk, ezek tehát nem tekinthetők szigorú matematikai bizonyításnak, de további munkával azzá tehetők lennének. A kisebb pongyolaságokért cserébe azt kapjuk, hogy elemi matematikát alkalmazva is bepillantást nyerhetünk ebbe az érdekes és nagyon hasznos tudományterületbe.

Az alábbiakban megfogalmazzuk a variációs feladatok megoldásához vezető lépéseket, és alkalmazzuk azokat a Dido-féle problémakör utoljára említett 10. feladatára. Megfontolásaink alkalmazhatók a Dido-féle problémakör többi (8. és 9.) feladatára, sőt az alapkérdésre, az adott kerület mellett a legnagyobb területű síkidom meghatározására is.

(i) Tegyük fel, hogy Dido földmérői (mert a hercegnő népes kísérettel menekült el Türoszból) azt állítják, hogy megtalálták az adott kerítéshosszhoz tartozó legnagyobb területű, illetve legnagyobb \(\displaystyle (E_{\mathrm{max}})\) értékű földdarab határoló görbéjét. Dido kételkedett ebben, és így gondolkodott: Mi lenne, ha a kerítést az egyik helyen kicsit emerre, máshol pedig kicsit amarra tolnánk el, vagyis a görbét egy kicsit ,,variálnánk''? Hátha így értékesebb földterülethez juthatnánk!

Mivel azonban Dido nemcsak gyanakvó, de óvatos is volt, először csak nagyon kicsi határmódosítást képzelt el. Udvari matematikusa azt javasolta, hogy próbaként a kerítés egyes pontjait a görbe ottani érintőjére merőleges irányban \(\displaystyle \epsilon\cdot\eta(s)\) mértékben tolják el, ahol \(\displaystyle \eta(s)\) egy ügyesen választott függvény (\(\displaystyle s\) a görbe valamelyik pontjától a görbe mentén mért ívhossz), \(\displaystyle \epsilon\) pedig egy olyan kicsi, dimenziótlan szám, amelynek 1-nél magasabb kitevőjű hatványait \(\displaystyle \epsilon\) mellett elhanyagolhatjuk. (A ,,határmódosítás'' során vigyáznunk kell arra, hogy az előírt mellékfeltétel érvényes maradjon (esetünkben a kerítés hossza ne változzon meg).) Ebben a közelítésben a módosított földterület értéke a korábbihoz képest \(\displaystyle \epsilon\)-nal arányos mértékben változik meg:

\(\displaystyle E\approx E_{\mathrm{max}}+C\cdot\epsilon, \)

ahol \(\displaystyle C\) valamilyen (nyilván a görbe eredeti alakjától és \(\displaystyle \eta(s)\)-től függő) állandó.

Vajon milyen előjelű lehet a \(\displaystyle C\) szám? Ha \(\displaystyle C\) pozitív, akkor pozitív \(\displaystyle \epsilon\) mellett \(\displaystyle E>E_{\mathrm{max}}\), tehát Dido gyanúja jogos volt: a földmérők nem a legjobb megoldást javasolták. Ha \(\displaystyle C\) negatív, akkor negatív \(\displaystyle \epsilon\) mellett lesz \(\displaystyle E>E_{\mathrm{max}}\), tehát a földmérők megint bajba kerülnek. Dido csak akkor lehet elégedett a munkájukkal, ha tetszés szerinti (de a mellékfeltételt ,,tiszteletben tartó'') \(\displaystyle \eta(s)\) függvény mellett \(\displaystyle C=0\).

(ii) Tekintsük a kerítésnek egy kicsiny darabját, ami jól közelíthető egy \(\displaystyle R\) sugarú kör valamekkora ívével. (Ez a kör a görbének a kérdéses helyhez tartozó ,,simulóköre'', \(\displaystyle R\) neve görbületi sugár, \(\displaystyle 1/R\) pedig a görbület.) Mi történik, ha ezen körív \(\displaystyle \varphi\) szöggel jellemezhető pontjához tartozó sugarát \(\displaystyle \epsilon\,\eta(\varphi)\) értékkel megnöveljük, ahol \(\displaystyle \epsilon\ll 1\) és \(\displaystyle \eta(\varphi)\) valamilyen folytonos és törésmentes függvény (1. ábra)? (Az ábra nem méretarányos; a nagyon kicsiny \(\displaystyle \epsilon\,\eta(\varphi)\) sugárnövekményeket a jobb láthatóság kedvéért nagyra rajzoltuk.)

1. ábra

Vajon mennyit változik ezen határmódosítás miatt a körülfogott terület eredeti \(\displaystyle T_0\) nagysága és a kerítés \(\displaystyle K_0\) hossza? A területet – a körcikket kicsiny \(\displaystyle \Delta\varphi\) nyílásszögű darabkákra osztva és az \(\displaystyle \epsilon^2\)-tel arányos tagot elhagyva – így számíthatjuk ki:

\(\displaystyle T=\sum_i\frac{(R+\epsilon\,\eta_i)^2}{2}\,\Delta\varphi\approx\frac{R^2}{2}\sum_i\Delta\varphi+\epsilon\,R\sum_i\eta_i\,\Delta\varphi=T_0+\Delta T. \)

A kerítés hosszát úgy kaphatjuk meg, hogy a görbe vonalat sokszöggel közelítjük, és az élek hosszát a Pitagorasz-tétel segítségével számítjuk ki:

\(\displaystyle K\approx\sum_i\sqrt{(R+\epsilon\,\eta_i)^2+\left(\epsilon\,\frac{\eta_{i+1}-\eta_i}{\Delta\varphi}\right)^2}\,\Delta\varphi, \)

ami a másodrendűen kicsi (\(\displaystyle \epsilon^2\)-tel arányos) tagok elhagyása után így írható (felhasználtuk, hogy \(\displaystyle \sqrt{1+x}\approx 1+\frac x2\), ha \(\displaystyle x\ll 1\)):

\(\displaystyle K=R\sum_i\Delta\varphi+\epsilon\sum_i\eta_i\Delta\varphi=K_0+\Delta K. \)

Leolvashatjuk, hogy a kerítésnek egy kis darabon történő és kicsiny mértékű módosítása a körülölelt terület nagyságának

növekedéséhez vezet, a kerítés hossza pedig

értékkel lesz nagyobb. (Az \(\displaystyle \eta_i\) mennyiségek lehetnek negatív számok is, így akár \(\displaystyle \Delta K\), akár \(\displaystyle \Delta T\) lehet nullánál kisebb.)

Megjegyzés. A fenti képletekben szereplő összeg a felosztás finomításával egyre jobban egy határozott integrálhoz közelít:

\(\displaystyle \sum_i\eta_i\,\Delta\varphi\approx\int_0^{\varphi_{\mathrm{max}}}\eta(\varphi)~\mathrm{d}\varphi. \)

2. ábra

Ezt a kapcsolatot azonban a továbbiakban sehol nem használjuk ki, hiszen sem az összeget, sem az integrált nem fogjuk (nem is tudnánk) konkrétan kiszámítani.

Összevetve (1)-et és (2)-t megállapíthatjuk, hogy

Ezt – a továbbiak szempontjából fontos – összefüggést a 2. ábráról is leolvashatjuk. (Az ábra méretarányai ismét erősen torzítottak.) Az \(\displaystyle R\) görbületi sugarú görbét egy kis helyen körrel közelítjük, és sok kicsiny, \(\displaystyle \Delta\varphi\) nyílásszögű részre osztjuk fel. A felosztás \(\displaystyle i\)-edik darabkájára igaz, hogy

\(\displaystyle \Delta K_i\approx\epsilon\,\eta_i\,\Delta\varphi,\quad\textrm{valamint}\quad\Delta T_i\approx R\Delta\varphi\,\epsilon\,\eta_i. \)

Ezek szerint (az adott közelítésben) \(\displaystyle \Delta T_i=R\,\Delta K_i,\) és ez az arányosság a kicsiny járulékok összegzése után is fennmarad.

(iii) Ha Dido a kerítés két különböző (\(\displaystyle A\)-val és \(\displaystyle B\)-vel jelzett) részén úgy hajt végre kicsiny módosítást, hogy eközben a kerítés teljes hossza nem változik, akkor fennáll, hogy

\(\displaystyle \Delta K^{(A)}+\Delta K^{(B)}=\epsilon\sum_i\eta^{(A)}_i+\epsilon\sum_i\eta^{(B)}_i=0. \)

Ha mind a két módosítás helyszínén ugyanakkora az egységnyi földterület ára (vagyis mindkettő a tengerparthoz 1 km-nél közelebb, vagy mindkettő ennél távolabb található), akkor a legkedvezőbb megoldás területe nem változhat meg:

\(\displaystyle \Delta T^{(A)}+\Delta T^{(B)}=R^{(A)}\Delta K^{(A)}+R^{(B)}\Delta K^{(B)}=\Delta K^{(A)}\left(R^{(A)}-R^{(B)}\right)=0. \)

Mivel \(\displaystyle \Delta K^{(A)}\) lehet nullától különböző mennyiség, szükségszerű, hogy \(\displaystyle R^{(A)}=R^{(B)}\) teljesüljön, vagyis a kerítés görbületi sugara az azonos földárakhoz tartozó területeken mindenhol ugyanakkora kell hogy legyen. Ilyen tulajdonsága a körnek és a köríveknek van, tehát megállapíthatjuk: Dido (tengerparttól tengerpartig húzódó) kerítése optimális esetben a tengerparti (drágább) és a távolabbi (olcsóbb) területen is körív.

(iv) Ha Dido két különböző árfekvésű területen hajt végre kicsiny módosítást a kerítésen, és az egész elkülönített terület értékét akarja maximalizálni, akkor bármilyen (kicsiny) határmódosításra az elkerített földrész értékváltozása, vagyis a területváltozásoknak a földegységárakkal súlyozott összege kell, hogy nulla legyen. Ebben az esetben is fennáll, hogy

\(\displaystyle \Delta K^{(A)}+\Delta K^{(B)}=0, \)

továbbá

\(\displaystyle 2\Delta T^{(A)}+\Delta T^{(B)}=2R^{(A)}\Delta K^{(A)}+R^{(B)}\Delta K^{(B)}=0. \)

(Az \(\displaystyle A\) jelzés a tengerparti sávra, \(\displaystyle B\) pedig a többi területre utal.) A fenti két egyenletből kapjuk, hogy

vagyis Dido problémájának megoldásában a drágább tengerparti sávban húzódó körív sugara fele az olcsóbb területen található körívének.

(v) A kerítés pontos alakjának megadásához tisztáznunk kell még a köríveknek egymáshoz, illetve a tengerparthoz való csatlakozásának szabályait is. Belátjuk, hogy a különböző görbületű körívek törésmentesen csatlakoznak egymáshoz, a tengerpartnál pedig a körív érintője merőleges a partvonalra.

Tekintsük először azt a kerítésmódosítást, amely során a tengerpartnál a kerítés érintője valamekkora \(\displaystyle \vartheta\) szöget zár be a partvonalra merőleges egyenessel, továbbá a határvonal megváltozása során a kerítés vége a tengerparton egy kicsiny \(\displaystyle d\) távolsággal mozdul el (3. ábra).

3. ábra

A \(\displaystyle T\) terület megváltozása a szélsőértéknél

\(\displaystyle \Delta T=\epsilon\,R\sum_i\eta_i\Delta\varphi=0. \)

A területváltozásba nem számítottuk bele a tengerparton kialakuló kicsiny, jó közelítéssel derékszögű háromszögnek tekinthető, \(\displaystyle \tfrac{1}{2}(\epsilon\,\eta(0))^2\tg\vartheta\) nagyságú területet, mert az \(\displaystyle \epsilon^2\)-tel arányos. A kerítés hosszának megváltozásánál azonban nem hagyhatjuk figyelmen kívül az ábrán piros vonallal jelölt, \(\displaystyle d\sin\vartheta\) növekményt:

\(\displaystyle \Delta K=\epsilon\sum_i\eta_i\Delta\varphi+\epsilon\eta(0)\tg\vartheta=0. \)

Az itt szereplő összeg \(\displaystyle \Delta T=0\) miatt eltűnik, és marad \(\displaystyle \eta(0)\tg\vartheta=0.\) Mivel Didot semmi nem akadályozza meg abban, hogy a tengerparton kicsit odébb indítsa a kerítést, \(\displaystyle \eta(0)\) lehet nullától különböző, emiatt \(\displaystyle \vartheta=0\), tehát a görbe érintője valóban merőleges a tengerpart vonalára.

4. ábra

Hasonló meggondolásokból kaphatjuk meg, hogy a különböző görbületű körívek törésmentesen kapcsolódnak egymáshoz. A 4. ábrán látható határmódosításnál még meghagytuk a lehetőségét, hogy a kerítésnek töréspontja legyen. A földterület értékének változatlanságából

\(\displaystyle 2R_A\,\epsilon\sum_i\eta_i^{(A)}\Delta\varphi+R_B\,\epsilon\sum_i\eta_i^{(B)}\Delta\varphi=0 \)

következik, ami (4) felhasználásával így is írható:

A kerítés hosszának változatlanságából

\(\displaystyle \epsilon\sum_i\eta_i^{(A)}\Delta\varphi+\epsilon\sum_i\eta_i^{(B)}\Delta\varphi+d\left(\sin\vartheta^{(B)}-\sin\vartheta^{(B)}\right)=0, \)

vagyis az (5) összefüggés felhasználásával

\(\displaystyle d\left(\sin\vartheta^{(A)}-\sin\vartheta^{(B)}\right)=0 \)

következik. Mivel általában \(\displaystyle d\ne 0\), a kerítésgörbe törésmentességének \(\displaystyle \vartheta^{(A)}=\vartheta^{(B)}\) feltételét kapjuk.

(vi) Az eddigi eredmények ismeretében már pontosan meg tudjuk határozni a kerítés alakját és jellemző adatait, valamint a legnagyobb értékű elkerített terület nagyságát.

Foglaljuk össze, hogy mit tudunk.

1. A határgörbe érintője a görbe végpontjainál merőleges a tengerpartra.

2. A görbe három, törésmentesen csatlakozó körívből áll.

3. Ha a két szélső körív sugara \(\displaystyle r\), a középsőé \(\displaystyle 2r\).

4. A körívek csatlakozási pontjai 1 km távol vannak a tengerparttól.

5. A kerítés teljes hossza 4 km egység.

5. ábra

Az 5. ábráról leolvashatjuk, hogy (a távolságokat km egységekben számolva)

\(\displaystyle r\sin\varphi=1\qquad\textrm{és}\qquad 2r\varphi+2r(\pi-2\varphi)=4, \)

vagyis

\(\displaystyle 2\sin\varphi=\pi-\varphi. \)

Ennek a trigonometrikus egyenletnek a numerikus megoldása:

\(\displaystyle \varphi\approx 1{,}246\approx 71{,}4^\circ\qquad\text{és}\qquad r=1{,}055~\mathrm{km}. \)

Az \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \varphi\) ismeretében már kiszámíthatjuk a Dido által körülkerített legértékesebb terület nagyságát:

\(\displaystyle A=2\frac{r^2\varphi}2+\frac{(2r)^2(\pi-2\varphi)}2-r^2\sin\varphi\,\cos\varphi=r^2(2\pi-3\varphi-\sin\varphi\,\cos\varphi)\approx 2{,}5~\mathrm{km}^2. \)

Irodalom

[1] Solt György: Feynman és a legkisebb hatás elve, KöMaL 2018. november, 490–493. o.

[2] Gnädig Péter: Hengerlencsék képalkotása és a Fermat-elv, KöMaL 2016. május, 296–304. o.

[3] A P. 5700. fizika feladat megoldása, KöMaL 2026./1. (január), 58. oldal.

[4] A P. 5717. fizika feladat megoldása, KöMaL 2026./3. (március), 188. oldal.