Egyéni rangsorok közösségi összegzése

Simonovits András

Bevezetés

Ebben az írásban néhány példán szemléltetem az egyéni rangsorok közösségi (társasági vagy társadalmi) összegzésének kérdéskörét. Csapatversenyek értékelésével kezdem, a Borda-szavazással folytatom, és a címben szereplő elvontabb témával, az egyéni rangsorok közösségi összegzésével fejezem be. Az irodalomjegyzékben szereplő írások közül kiemelem Csekő (1996)-ot. Köszönetem fejezem ki Csekő Imrének, Eső Péternek és Tasnádi Attilának hasznos tanácsaikért.

Csapatversenyek értékelése

A kifejtést egy konkrét sportpéldával kezdem.

1. példa. a) 1962-ben többször részt vettem mezei futóversenyen, ahol a részvevők nagy száma miatt akkor még lehetetlen volt a részvevők egyéni időmérése. Helyette minden befutó kapott egy érkezési sorszámot, amely az egyéni sorrendet eldöntötte. De ugyanakkor csapatok is versenyeztek. Nem csak három csapat volt, de az egyszerűség kedvéért mi most három csapattal írjuk le a problémát. Jelölje a három csapatot \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\), és tegyük fel, hogy mindegyik csapat 3-3 versenyzőt indított. Minden versenyző kapott egy érkezési sorszámot, azt a számot, hogy hányadiknak érkezett be. (Holtverseny nem volt, tehát mindenki az 1–9 számok valamelyikét kapta.) Ez a sorszám persze az egyes csapatokon belül is meghatározott egy-egy sorrendet, jelölésben \(\displaystyle a_1<a_2<a_3\), \(\displaystyle b_1<b_2<b_3\) és \(\displaystyle c_1<c_2<c_3\). Az egyes csapatok teljesítményét az \(\displaystyle (a_1, a_2, a_3)\), \(\displaystyle (b_1, b_2, b_3)\) és \(\displaystyle (c_1, c_2, c_3)\) vektorokkal lehet jellemezni. Ezen vektorok alapján többféle rangsort is fel lehetett volna állítani az egyes csapatok között – többféleképpen is sorba lehetett volna rendezni ezeket a vektorokat –, ezen a versenyen egy nagyon egyszerű rendezést alkalmaztak, csapatonként összeadták az érkezési számokat:

\(\displaystyle a=a_1+a_2+a_3,\qquad b=b_1+b_2+b_3\qquad \text{és}\qquad c=c_1+c_2+c_3. \)

Például ha \(\displaystyle a<b<c\), ekkor azt mondjuk, hogy a csapatok sorrendje \(\displaystyle A\succ B\succ C\). (A \(\displaystyle \succ\) jel szokásos kiolvasása: ,,megelőzi''.) Tipikusan a három összeg különböző. (Egyenlőség esetén például sorsolással dönthetnek.) (Másik megoldás: szűkítik a számbavételt, és csak az első két helyezett összege számít.)

Azonban ezt a rendezést alkalmazva a következő paradox helyzet fordulhat elő. Tegyük föl, hogy valamilyen ok miatt a verseny után a 3. helyezett \(\displaystyle C\) csapatot kizárják a versenyből, és ennek megfelelően az \(\displaystyle A\) és a \(\displaystyle B\) csapat versenyzőinek helyezését újraszámolják, minden versenyző az új sorrend szerinti helyezéseként az 1–6 számok valamelyikét kapja. Ezeket a számokat jelölje \(\displaystyle a_1'\), \(\displaystyle a_2'\), \(\displaystyle a_3'\) és \(\displaystyle b_1'\), \(\displaystyle b_2'\), \(\displaystyle b_3'\). (A csapatokon belül a sorrend természetesen nem változik, de ez most nem érdekel minket.) Az alkalmazott rendezés szerint egyes csapatok összesített \(\displaystyle a'\), illetve \(\displaystyle b'\) teljesítménye most:

\(\displaystyle a'=a_1'+a_2'+a_3'\qquad \text{és}\qquad b'=b_1'+b_2'+b_3'. \)

Előfordulhatnak olyan \(\displaystyle a_1\), \(\displaystyle a_2\), \(\displaystyle a_3\), \(\displaystyle b_1\), \(\displaystyle b_2\), \(\displaystyle b_3\), \(\displaystyle c_1\), \(\displaystyle c_2\) és \(\displaystyle c_3\) értékek, hogy a \(\displaystyle C\) csapat kizárása után megfordul az \(\displaystyle A\succ B\) sorrend, vagyis bár \(\displaystyle a<b\), de \(\displaystyle b'<a'\), azaz \(\displaystyle B'\succ A'\), ami egy igazán paradox helyzet.

1. példa. b) Már három kétfős csapat esetén is megtörténhet, hogy ha nem is megfordul, de kiegyenlítődik két csapat eredménye. (Úgy is mondják, hogy ,,gyengén megfordul a sorrend''.): Legyen \(\displaystyle b_1=1\), \(\displaystyle a_1=2\), \(\displaystyle c_1=3\), \(\displaystyle a_2=4\), \(\displaystyle c_2=5\), \(\displaystyle b_2=6\), tehát \(\displaystyle a=6\), \(\displaystyle b=7\), \(\displaystyle c=8\), \(\displaystyle A\succ B\succ C\). \(\displaystyle C\) törlése után: \(\displaystyle b_1'=1\), \(\displaystyle a_1'=2\), \(\displaystyle a_2'=3\), \(\displaystyle b_2'=4\), tehát \(\displaystyle a'=5\), \(\displaystyle b'=5\), azaz \(\displaystyle {A\equiv B}\).

Feladat. Mutassunk olyan példát három háromfős csapattal, amelyben \(\displaystyle A\succ B\) határozottan átfordul \(\displaystyle B\succ A\)-ba!

*

A paradoxont az okozza, hogy relatív teljesítményekkel számoltunk.

Ha ismerjük az egyéni időket, akkor az összidők alapján rangsorolva a csapatokat a paradoxon nem jön létre, hiszen relatív mennyiségek helyett abszolút mennyiségekkel számolunk. Mivel az összidőkön a \(\displaystyle C\) csapat kizárása vagy ki nem zárása semmit sem változtat, így ha az \(\displaystyle A\) csapat versenyzőinek összideje kisebb volt, mint a \(\displaystyle B\) csapat versenyzőié, akkor az \(\displaystyle A\) mindkét esetben megelőzi \(\displaystyle B\)-t. Az persze előfordulhat – ha nem a \(\displaystyle C\) csapat volt az utolsó –, hogy a \(\displaystyle B\) vagy mindkét csapat előrébb lép a helyezésében, de az egymás közötti sorrend nem változik.

Borda-szavazás

Az 1962-es mezei futás után most térjünk be a Francia Akadémia 1795-ös tagválasztó ülésére. \(\displaystyle n\) számú (régi) tag van, az indexük legyen \(\displaystyle i=1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle \dots\), \(\displaystyle n\). Három jelölt, \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) közül kell kiválasztani egy új tagot. Borda (1784) a következő módszert javasolta: mindegyik tag rangsorolja a három jelöltet. Formálisan az \(\displaystyle i\)-edik szavazó az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\) jelöltre rendre az \(\displaystyle a_i\), \(\displaystyle b_i\), \(\displaystyle c_i\) sorszámokat adja le, ez az \(\displaystyle (1,2,3)\) számok valamilyen sorrendben. Az egyes jelöltek rangját a rájuk leadott egyéni sorszámok összege adja:

\(\displaystyle a=a_1+\cdots+ a_n,\qquad b=b_1+\cdots+ b_n\qquad \text{és}\qquad c=c_1+\cdots +c_n. \)

Például ha \(\displaystyle a<b<c\), akkor \(\displaystyle A\succ B\succ C\).