A KöMaL 2022. decemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT. |
K. 744. Ha két szendvicset és egy üdítőt veszek, akkor az 1000 Ft-omból ugyanannyi marad meg, mint amennyi hiányzik az 1000 Ft-omhoz, ha három szendvicset és egy üdítőt veszek. Két szendvics és két üdítő ára 1100 Ft.
Mennyibe kerül egy szendvics és mennyibe kerül egy üdítő?
(5 pont)
K. 745. Egy társasjátékban a játékosok pontokat gyűjtenek. A játékosok sorban egymás után következnek. Amikor egy játékosra sor kerül, akkor ő (szerencsétől függően) akármennyi, de nemnegatív egész számú pontot gyűjthet (így akár 0 pontot is kaphat). A játékos által a játék során szerzett pontok összeadódnak. Ha az összes játékos által szerzett pontok összege eléri az 1000-et, akkor a játék azonnal véget ér (így a befejező játékos az utolsó körében csak annyi pontot tud szerezni, amennyivel az összeg 1000 lesz). A játékot az nyeri, akinek a legtöbb pontja van, holtverseny esetén az nyer, aki először érte el az adott pontszámot; a második legtöbb pontot gyűjtő játékos ér el második helyezést stb.
A játék állása jelenleg: Kati 314 pont, Sanyi 207 pont, Jancsi 58 pont, Gizi 31 pont, Józsi 0 pont.
\(\displaystyle a)\) Ha most Kati következik, minimálisan hány pontot kell szereznie ebben a körben, hogy biztosan legalább második helyezést érjen el?
\(\displaystyle b)\) Ha most Sanyi következik, minimálisan hány pontot kell gyűjtenie ebben a körben, hogy biztosan legalább második helyezést érjen el?
\(\displaystyle c)\) Ha most Józsi következik, minimálisan hány pontot kell gyűjtenie ebben a körben, hogy biztosan legalább második helyezést érjen el?
(5 pont)
K. 746. Egy kis országban bevezették, hogy a földgázfogyasztásért az alábbiak szerint kell fizetni: Az új elszámolás bevezetését követő első évben az első 1700 \(\displaystyle \mathrm{m}^3\) gáz ára 100 peták/\(\displaystyle \mathrm{m}^3\), a további fogyasztás ára 750 peták/\(\displaystyle \mathrm{m}^3\). A kedvezményesen vásárolható mennyiséget az országos éves átlagfogyasztás alapján állapítják meg minden évben, az előző évi fogyasztási adatok alapján. Hétköznapi János ebben az országban él, és egy évig használja a gázt ezekkel a feltételekkel. Tekintettel azonban a túl magas fizetendő összegre elhatározza, hogy takarékoskodni fog, és kevesebb gázt használ el. Sikerül is az éves gázfogyasztását 10%-kal csökkentenie a következő évre, azonban, mivel mindenki hasonlóan gondolkodott, az éves gázfogyasztás országos átlaga 15%-kal csökkent. Hétköznapi János azt vette észre, hogy a második évben hiába fogyasztott kevesebb gázt, mégis többet kellett fizetnie (az egész évet tekintve), mint az első évben. Mennyi lehetett Jánosunk első éves gázfogyasztása?
(5 pont)
 |
K/C-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT. |
K/C. 747. Egy negyvenszöget valamelyik átlója két olyan sokszögre bontja, melyeknek összesen 298-cal kevesebb átlója van, mint a negyvenszögnek. Hány oldalúak ezek a sokszögek?
(5 pont)
K/C. 748. Egy körvonal mentén leírjuk az egész számokat 1-től 100-ig. Először minden páros számot összekötünk a nála kisebb páratlan számokkal, majd minden páratlan számot összekötünk minden nála kisebb páros számmal. Hány vonalat húztunk be?
(5 pont)
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT. |
C. 1743. Mutassuk meg, hogy hét természetes szám között, amelyek egy \(\displaystyle 30\) különbségű számtani sorozat egymás utáni tagjai, pontosan egy \(\displaystyle 7\)-tel osztható szám van.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1744. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle CAB\sphericalangle=45^{\circ}\) és \(\displaystyle ABC\sphericalangle=60^{\circ}\). Az \(\displaystyle AB\) szakasz egy pontja \(\displaystyle D\). A \(\displaystyle CAD\) háromszög körülírt köre áthalad az \(\displaystyle ABC\) háromszög magasságpontján. Határozzuk meg az \(\displaystyle \frac{AD}{BD}\) arány pontos értékét úgy, hogy a megoldás során nem használunk szögfüggvényeket.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1745. Oldjuk meg az \(\displaystyle x^2+8x-y=\frac{y-5}{y+6}\) egyenletet, ha \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\) egész számok.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(5 pont)
C. 1746. Az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle AB\) oldalát az \(\displaystyle A\) ponton túl meghosszabbítjuk az \(\displaystyle AE=2\) szakasszal, a \(\displaystyle B\) ponton túl pedig a \(\displaystyle BF=3\) szakasszal. Az \(\displaystyle ED\) és \(\displaystyle FC\) egyenesek \(\displaystyle 45^{\circ}\)-os szöget zárnak be. Határozzuk meg a négyzet oldalának lehetséges értékeit.
Javasolta: Németh László (Fonyód)
(5 pont)
C. 1747. Legyen az \(\displaystyle n \ge 3\) pozitív egész szám, a \(\displaystyle 10^n-4!\) számban a számjegyek összege \(\displaystyle k\). Mennyi ekkor a \(\displaystyle \frac{10^{n+1}-7}{3}\) számban a számjegyek összege?
Javasolta: Szalai Máté (Szeged)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT. |
B. 5278. Nevesincs iskolában a végzős reálosok négy csoportot alkotnak, vannak matekosok, fizikások, kémiások és bioszosok. Egy napon a menzán mindannyian egy nagy, kerek asztalnál ülnek együtt, mindenkivel szemben ül valaki és mindenkinek van bal oldali és jobb oldali szomszédja. Bárkit választunk ki, két szomszédjával és a vele szemben ülővel csupa különböző csoport tagjai. Hányan lehetnek a végzős reálosok, ha \(\displaystyle 20\)-nál kevesebben vannak?
Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)
(3 pont)
B. 5279. Egy derékszögű szögtartományba két kört írtunk. Az egyik kör az egyik szögszárat az \(\displaystyle A\) pontban, a másik kör a másik szögszárat a \(\displaystyle B\) pontban érinti. A két kör egymást is érinti a \(\displaystyle C\) pontban. Határozzuk meg az \(\displaystyle ACB \sphericalangle\) nagyságát.
Javasolta: Bíró Bálint (Eger)
(3 pont)
B. 5280. Legyenek \(\displaystyle a>2\), \(\displaystyle b\) és \(\displaystyle c\) valós számok. Tekintsük a következő három állítást.
(1) Az \(\displaystyle ax^2 + bx + c = 0\) egyenletnek nincs valós megoldása.
(2) Az \(\displaystyle (a-1)x^2 + (b-1)x + (c-1) = 0\) egyenletnek 1 valós megoldása van.
(3) Az \(\displaystyle (a-2) x^2 + (b-2)x + (c-2) = 0\) egyenletnek 2 valós megoldása van.
\(\displaystyle a)\) Ha tudjuk, hogy az (1)-es és a (2)-es állítás igaz, akkor következtethetünk-e arra, hogy a (3)-as állítás is igaz?
\(\displaystyle b)\) Ha tudjuk, hogy a (2)-es és a (3)-as állítás igaz, akkor következtethetünk-e arra, hogy az (1)-es állítás is igaz?
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(4 pont)
B. 5281. Bizonyítsuk be, hogy minden \(\displaystyle d > 1\) pozitív egész számhoz található egy olyan pozitív egész szám, amelynek osztói között pontosan ugyanannyi \(\displaystyle d\)-vel osztható van, mint \(\displaystyle d\)-vel nem osztható.
Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)
(5 pont)
B. 5282. Az \(\displaystyle ABC\) hegyesszögű háromszögben az \(\displaystyle A\)-ból induló magasság talppontja \(\displaystyle T\), a \(\displaystyle T\) pont merőleges vetülete az \(\displaystyle AB\) oldalon \(\displaystyle D\), az \(\displaystyle AC\) oldalon pedig \(\displaystyle E\). Legyen \(\displaystyle F\) a \(\displaystyle BC\) oldal és az \(\displaystyle ABE\) kör második, \(\displaystyle B\)-től különböző metszéspontja, és hasonlóan, legyen \(\displaystyle G\) a \(\displaystyle BC\) oldal és az \(\displaystyle ACD\) kör második, \(\displaystyle C\)-től különböző metszéspontja. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle TF=TG\).
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(5 pont)
B. 5283. Az \(\displaystyle N\) konvex négyszög tartalmaz egy \(\displaystyle r\) sugarú körlapot. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle N\) kerülete legalább \(\displaystyle 8r\).
Javasolta: Vígh Viktor (Sándorfalva)
(4 pont)
B. 5284. Legyen \(\displaystyle n>2\). Aladár kiválasztotta a \(\displaystyle 2n\) csúcsú teljes gráf egy élét. Paula egy forintért rákérdezhet, hogy egy általa megadott teljes párosításban benne van-e a kiválasztott él. Legalább hány forint lapul Paula zsebében, ha ügyes kérdésekkel biztosan ki tudja találni, hogy melyik él lett kiválasztva?
Javasolta: Pach Péter Pál (Budapest)
(6 pont)
B. 5285. A hegyesszögű \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle AB=AC\). A háromszög köré írt körön úgy mozognak az \(\displaystyle A'\), \(\displaystyle B'\) és \(\displaystyle C'\) pontok, hogy az \(\displaystyle A'B'C'\) háromszög mindig egybevágó és azonos irányítású az \(\displaystyle ABC\) háromszöggel. Legyen a \(\displaystyle BB'\) és \(\displaystyle CC'\) egyenesek metszéspontja \(\displaystyle P\). Mutassuk meg, hogy az \(\displaystyle A'P\) egyenesek egy rögzített ponton mennek át.
Javasolta: Kós Géza (Budapest)
(6 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2023. január 10-én LEJÁRT. |
A. 839. Adott egy véges, egyszerű, irányítatlan gráf. Anna minden élre pozitív valós számokat ír úgy, hogy bármely csúcsra a csúcsba befutó élekre írt számok összege kisebb egynél. Balázs szeretné úgy megszámozni a csúcsokat nemnegatív valós számokkal, hogy ha tetszőleges \(\displaystyle v\) csúcsra a \(\displaystyle v_0\) számot írta, és a csúcsból kiinduló élekre Anna rendre az \(\displaystyle e_1,e_2, \dots, e_k\) számokat írta, továbbá ezen élek másik végein rendre a \(\displaystyle v_1, v_2, \dots, v_k\) számok szerepelnek, akkor \(\displaystyle v_0=\sum\limits_{i=1}^{k}e_iv_i+2022\) teljesüljön. Mutassuk meg, hogy Balázs mindig meg tudja így számozni a csúcsokat függetlenül a gráftól és az Anna által megadott számozástól.
Javasolta: Varga Boldizsár (Verőce)
(7 pont)
A. 840. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre az oldalakat az \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\) és \(\displaystyle Z\) pontban érinti. Az \(\displaystyle XYZ\) háromszögben az \(\displaystyle X\) és az \(\displaystyle Y\) csúcsból induló magasságok talppontjai \(\displaystyle X'\) és \(\displaystyle Y'\). Az \(\displaystyle X'Y'\) egyenes az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körét a \(\displaystyle P\) és a \(\displaystyle Q\) pontban metszi. Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\) egy körre esnek.
Javasolta: Simon László (Budapest)
(7 pont)
A. 841. Oldjuk meg a \(\displaystyle 2^a+p^b=n^{p-1}\) egyenletet a nemnegatív egész számok halmazán, ahol \(\displaystyle p\) prímszám.
Javasolta: Weisz Máté (Cambridge)
(7 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)