[610] Lóczi Lajos | 2010-03-29 02:36:39 |
Igazoljuk, hogy ha p olyan prím, amelynek (10-es számrendszerbeli alakja) nem tartalmaz sem 0-t, sem 1-et, sem 2-t, akkor az
szám osztható 2010-zel.
|
|
[609] Lóczi Lajos | 2010-03-20 13:00:50 |
Igaz-e, hogy ha n pozitív egész és e az Euler-állandó, akkor
|
|
|
[607] jenei.attila | 2010-02-24 10:45:50 |
Elírás történt, ráadásul a copy-paste miatt több helyen is. Az első 3 egyenlet helyesen:
(ax2+by2)(x+y)=(ax3+by3)+xy(ax+by)
(ax3+by3)(x+y)=(ax4+by4)+xy(ax2+by2)
(ax4+by4)(x+y)=(ax5+by5)+xy(ax3+by3)
|
Előzmény: [606] jenei.attila, 2010-02-24 10:33:26 |
|
[606] jenei.attila | 2010-02-24 10:33:26 |
Nem számoltam ki külön x,y,a,b-t. Az én megoldásom: szorozzuk (x+y)-nal a feltételben szerelő kifejezéseket:
(ax2+by2)(x+y)=(ax3+bx3)+xy(ax+by)
(ax3+by3)(x+y)=(ax4+bx4)+xy(ax2+by2)
(ax4+by4)(x+y)=(ax5+bx5)+xy(ax3+by3)
Írjuk be a feltételekből ismert értékeket és vezessük be a t:=x+y és v:=xy helyettesítéseket.
7t=16+3v
16t=42+7v
42t-16v=(ax5+bx5)
Ebbből t=-14, v=-38, (ax5+bx5)=20 adódik.
|
Előzmény: [605] Róbert Gida, 2010-02-23 20:47:40 |
|
[605] Róbert Gida | 2010-02-23 20:47:40 |
Kipróbáltam, hogy a computeralgebrai rendszerek vajon meg tudják-e oldani a feladatot, és igen, a Mathematica 5.1 egyből kiadta a két megoldást (a<->b, x<->y cserével is megoldást kapunk). Maple 12 is megoldja, de itt még egy allvalues parancs is kell a solve-hoz, mert rootof-okkal tér vissza. van a,b,x,y-ban.
|
Előzmény: [604] jenei.attila, 2010-02-23 08:26:24 |
|
[604] jenei.attila | 2010-02-23 08:26:24 |
Egyébként ha a Fibonacci sorozat zárt alakjára gondolunk, akkor látszik, hogy ez a sorozat is egy másodrendű lineáris homogén rekurzió zárt alakja, amely karakterisztikus egyenletének két gyöke éppen x és y, az a,b pedig a két első tag által meghatározott konstansok. A rekurzív képletben szereplő konstansok meghatározhatók a sorozat első 4 tagjából. Nem így oldottan meg a feladatot, de ez is egy lehetséges megoldás lenne.
|
Előzmény: [603] jenei.attila, 2010-02-23 08:16:10 |
|
[603] jenei.attila | 2010-02-23 08:16:10 |
Persze hogy megadható, mégpedig úgy, hogy kiszámoljuk az a,b,x,y-t. De ha ez a rekurzió neked nem jött ki, akkor másképp oldottad meg a feladatot. Szerintem most már beszéljük meg a megoldásokat.
|
Előzmény: [602] R.R King, 2010-02-22 20:40:19 |
|
|
|
|
|
|
[597] m2mm | 2010-02-18 21:06:12 |
Az idei Arany Dani haladó/3.kategória 3. feladata: Az a,b,x,y valósokra ax+by=3, ax2+by2=7, ax3+by3=16 és ax4+by4=42. Mennyi ax5+by5?
Aki ismeri, hogyan kell megoldani, az ne lője le.
|
|
|
|
|
[593] jonas | 2010-02-05 21:03:59 |
Tetszőleges pozitív valós szám előáll, és ezt nem is nehéz bizonyítani. Ha gondolod, próbáld meg belátni, mielőtt az alábbit elolvasod, mert hasznos gyakorlat.
Annyit elég kihasználni a sorozatról, hogy az összege végtelen, de a tagjai pozitívak és nullához tartanak.
Egyszerűen sorba mész a számokon, és akkor veszel be egy számot az összegbe, ha ezzel az eddigi részletösszeg nem éri el a keresett x számot. Mivel a kiválasztott számok részletösszegei monoton nőnek, és nem haladják meg x-et, a sor konvergens, és az összege legfeljebb x. Másrészt vegyük észre, hogy nem választhattuk be véges sok kivételével minden tagot az ereddeti sorozatból, mert akkor az összeg végtelen lenne. Ha mármost az összeg x-nél kisebb lenne, mondjuk y, akkor minden részletösszeg is legfeljebb y; csakhogy mivel az eredeti sorozat nullához tart, ezért véges sok kivételével minden tagja kisebb x-y-nál, ezért ezekből mindet be kellett volna választani a szabály szerint, ami ellentmondás az előzővel.
|
Előzmény: [592] Fernando, 2010-02-05 20:20:08 |
|
[592] Fernando | 2010-02-05 20:20:08 |
Ma egy elméleti fizikus cimborámmal ebédeltem és fölmerült ennek a eredményeképpen fölmerült a következő kérdés:
Tekintsük a természetes számok reciprokaiból álló sorozatot.
A tagok közül tetszőleges mennyiségűt (akár végtelen sokat is) összeadva összegként előáll-e tetszőleges valós szám? (erősen sejtjük, hogy igen)
Ha igen, akkor pl. a pí-t hogyan lehet előállítani? (ez utóbbi lehet, hogy nagyon nehéz)
|
|
|
|
|
[588] vogel | 2010-02-03 16:01:01 |
Úgy látom, mindenki félreértett. :-) Amit én beírtam, azt azelőtt kezdtem el írni, hogy nadorp is beírta, így nem nadorp-nek címeztem, bocs.
Az összeadást arra értettem, hogy ha szorzás helyett összeadás lenne: y'+y=2x+y, ami azért vicces. :-)
|
Előzmény: [586] nadorp, 2010-02-03 15:30:55 |
|
|
|