Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[35] Suhanc2003-12-06 09:21:16

László 9a) feladatára van egy másfajta megoldásom:

Egy tétel kimodja, hogy a derékszögű háromszögben a befogók összege nem nagyobb az átfogó \sqrt2 szeresénél. Ezt az alábbi módon, indirekten bizonyíthatjuk:

TFH: a+b >\sqrt2*c

Ekkor: a2+2ab+b2 >2c2

Vagyis: a2+2ab+ b2 > 2a2+2b2

Tehát: 0> a2-2ab+b2

0> (a-b)2 Ez ellentmondás, tehát eredeti állításunk igaz volt. Vagyis, mivel meg van adva az átfogó, így a kerület legfeljebb ennek 1+\sqrt2 szerese lehet, abban az esetben, ha a háromszög egyenlő szárú, így a-b=0.

(kérdés: a TeX-ben hol találom a >= jelet szépen?)

[34] Hajba Károly2003-12-06 01:24:37

Megoldás László 9.b feladatára:

Legyen a kúp alapjának sugara egységnyi, magassága m. Legyen továbbá a henger sugara 0<x<1.

Vhenger=x2\pim(1-x)=\pim(x2-x3)

Vhenger'=\pim(2x-3x2)=0

x=\frac23

\frac{V_{henger}}{V_{ku'p}}=\frac{\pi m \bigg[\Big(\frac23\Big)^2-\Big(\frac23\Big)^3\bigg]}{\frac{\pi m}{3}} = \frac49

Előzmény: [30] lorantfy, 2003-12-05 23:24:18
[33] Hajba Károly2003-12-06 00:51:50

Megoldás László 9.a feladatára:

A háromszög kerülete:

K=1+sin\alpha+cos\alpha

K'=cos\alpha-sin\alpha=0

cos\alpha=sin\alpha

\alpha=45°

Tehát, ami szemrevételezéssel is nyilvánvaló, az egyenlŐ szárú háromszögnek a legnagyobb a kerülete az egységnyi átfogójú derékszögű háromszögek közül.

HK

Előzmény: [30] lorantfy, 2003-12-05 23:24:18
[32] Hajba Károly2003-12-05 23:40:05

10. feladat:

Mekkora az alábbi egységnyi oldalú négyzetbe egységnyi sugarú körívekkel szerkesztett sraffozott terület nagysága?

HK

[31] Hajba Károly2003-12-05 23:29:05

9. feladat:

Adott 4 darab egységsugarú tömör golyónk, mely mindegyik mindegyikkel érintkezik. Mekkora az a tömör 5. golyó, mely mind a 4 darab golyót érinti?

Hajba Károly

[30] lorantfy2003-12-05 23:24:18

9.feladat:

a.) Adott átfogojú derékszögű háromszögek közül melyik kerülete a legnagyobb?

b.) Mekkora az adott kúpba irható hengerek térfogatának maximuma?

[29] lorantfy2003-12-05 23:14:06

Elnézést! Az előbbi hozzászólás rossz témába tettem!

[28] lorantfy2003-12-05 23:07:00

Kedves Péter, Károly és Fórumosok!

Azt hiszem a feladat szövegéből (az 5-ből 3 sapkásról van szó!) nem derült ki, hogy a börtönigazgató véletlenszerűen választ-e a sapkák közül, vagy a 7 féle minta valamelyike szerint rak fel 3-at a fejekre. (Hajlok rá, hogy ha nagy sorozatban játszaná ezt a játékot Péternek lenne igaza, hacsak nincs egy kis naptárja, amibe be van jegyezve aznap melyik mintát teszi fel a 7 közül.)

Így azt hiszem Károlynak megadhatjuk a megoldási útmutató szerinti, maximális 3-3 pontot. Péter pedig dícséretet kap "értékes megjegyzéséért"! :-)

Legközelebb beleírom az igazgató monológjába: "Most becsukott szemmel választok 3 sapkát az 5 közül, és véletlenszerűen teszem fel a fejetekre." - ,hogy pontos legyen a szöveg. (Így meg túl tudálékos lesz.)

Namost aki csak utólag olvassa a megoldást, azért érdemes átgondolni a poént. Akinek látszólag legkevesebb információja van a sapkákról - az 1. rab - annak legvalószinűbb a szabadulása. Tehát ebben az esetben, ha nincs információ (nem szólnak a hátam mögötti rabok) az is információ.

Előzmény: [24] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:29:34
[27] nadorp2003-12-05 09:12:44

Bocs, egyenlőség x=-1 esetén van

Előzmény: [26] nadorp, 2003-12-05 09:11:23
[26] nadorp2003-12-05 09:11:23

Kedves Péter!

Megoldás a 8. feladatra (remélem nem számoltam el)

f(x)=x2n(x+1)2+2x2n-2(x+1)2+3x2n-4(x+1)2+...+n(x+1)2+n+1=(x+1)2g(x)+n+1

Mivel g(x)>0, ezért f(x)>=n+1, egyenlőség n=-1 esetén van

Előzmény: [23] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:24:55
[25] lorantfy2003-12-04 22:36:37

Kedves Suhanc!

Kösz a megoldást! Ez neked tényleg csak ujjgyakorlat volt.

7.b feladat: Mely egész x,y,z számokra teljesül:

8x2+3y2+6z2+7xy+5yz+x(4+z)+z(4+x)+4=0

Kis nehezítés – Próbálkozzon más is!

(Egy OKTV feladat alapján)

Előzmény: [22] Suhanc, 2003-12-04 21:40:43
[24] Pach Péter Pál2003-12-04 22:29:34

Igazad van, így tényleg egyszerűbb. :-) De lehet, hogy ha a kilencedikesek a szögfüggvényeket sem ismerik, akkor még a Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel sem volt dolguk. :-)

Persze át lehet írni olyan formára, ahol csak azt használjuk, hogy 0\lex2, de így a CSB-egyenlőtlenségnek éppen azt a tulajdonságát veszítjük el, ami alapján könnyen észre lehet venni a megoldást.

Maga a megoldás természetesen gyors és korrekt. :-)

Előzmény: [19] Kós Géza, 2003-12-04 14:11:14
[23] Pach Péter Pál2003-12-04 22:24:55

Kedves László!

A körülírás alapján azt hittem, hogy az 1993./3. feladatról van szó.

8. feladat

Legyen n adott pozitív egész szám. Határozzuk meg a valós számokon értelmezett

f(x)=x2n+2x2n-1+3x2n-2++(2n+1-k)xk++2nx+2n+1

polinom minimumát.

Előzmény: [20] lorantfy, 2003-12-04 15:45:19
[22] Suhanc2003-12-04 21:40:43

A teljes négyzetek:

(a-b/2)2+(c-1)2+3/4*(b-2)2<=0

Nyilván c=1, b=2 a=1

[21] lorantfy2003-12-04 20:15:31

7. feladat:

Mely egész a, b, c, számokra igaz:

a2+b2+c2+4\leqab+3b+2c

(1965. évi Kürschák példa alapján)

[20] lorantfy2003-12-04 15:45:19

Az 5. feladatnál: Ha valaki persze nem akar nagyon trükközni, emelje csak négyzetre mindkét oldalt (ha a bal oldal negatív az egyenlőtlenség úgyis igaz) és alakítsa teljes négyzetté:

9x2+24xy+16y2\leq25x2+25y2

0\leq16x2-24xy+9y2

0\leq(4x-3y)2

Láttam én már olyan Kürschák feladatot, ahol a megoldáshoz semmi más nem kellett csak ügyesen teljes négyzetekké alakítani.(Előkeresem!)

Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32
[19] Kós Géza2003-12-04 14:11:14

Lényegében ugyanaz, de talán kicsit egyszerűbb megtalálni a megoldást Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenséggel:

\big(3x+4\sqrt{1-x^2}\big)^2\le\big(3^2+4^2)\bigg(x^2+\sqrt{1-x^2}^2\bigg)=25.

Egyenlőség akkor áll, ha x:\sqrt{1-x^2}=3:4.

Azzal maximálisan egyetértek, hogy az ilyen trükköket hasznos megtanulni és begyakorolni.

Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48
[18] lorantfy2003-12-04 14:09:36

Kedves Nádor P.!

Nagyon gyors voltál és persze nagyon ügyes!

Most aztán megoldásod alapján rögtön általánosíthatjuk is a feladatot:

6.feladat:

Legyenek a,b,c egy derékszögű háromszög oldalai.

Bbh. \frac{ax+by}{c}\leq \sqrt{x^2+y^2}.

(Más módszerrel oldjuk meg!)

Előzmény: [17] nadorp, 2003-12-04 13:36:32
[17] nadorp2003-12-04 13:36:32

Megoldás az 5. feladatra.

Legyenek p és q pozitív egész számok, melyek értékét majd később adjuk meg. Ekkor a számtani és a négyzetes közép közötti összefüggés miatt

\frac{\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y}{p+q}=\frac{p\cdot\frac{3x}{5p}+q\cdot\frac{4y}{5q}}{p+q}<=\sqrt{\frac{p\cdot\frac{9x^2}{25p^2}+q\cdot\frac{16y^2}{25q^2}}{p+q}}

Ebből

\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y<=\sqrt{\frac{p+q}{p}\cdot\frac{9}{25}x^2+\frac{p+q}{q}\cdot\frac{16}{25}y^2}

Látszik, hogy a p=9 q=16 választással épp a kívánt egynelőtlenséget kapjuk.

Előzmény: [15] lorantfy, 2003-12-04 13:01:55
[16] Hajba Károly2003-12-04 13:25:06

Kedves László!

Én a geometria oldaláról közelítve találtam egy "csűrcsavarta" megoldást.

A maximumhely X koordinátájának keresésekor nem számít, ha az egész függvényt elosztom 4-gyel. Így egy origón átmenő, 0,75 meredekségű egyenes és origó központú egység sugarú kör összegét kapjuk.

Torzítsuk el képzeletben a körív minden pontját úgy, hogy az egyenes és X tengely közötti távolsággal távolítsuk az X tengelytől el. Ez a függvény képe és egyben egy ellipszis is. Szerkesszük meg a kőr és a hozzá tartozó ellipszis pontokhoz illesztett, összetartozó érintőket. Ezen érintők az Y tengelyen metszik egymást, mivel ott az eltolás 0. Az ellipszis maximumhelyéhez tartozó érintő párhuzamos az X tengellyel. Könnyen belátható, hogy e két érintő által bezárt szög \alpha, így a kör ezen érintőpontját az eredeti egyenes y=x tengelyre történő tükrözött egyenessel képzett metszéspont adja.

Ezt visszatéve a függvényekre, a megoldást a kör és az egyenes inverzének metszéspontja adja.

\root\of{1-x^2} = \frac43x

Ennek eredménye éppen X=\frac35

HK

Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14
[15] lorantfy2003-12-04 13:01:55

Na ez már igen!

Kedves Péter!

Köszönöm a megoldást!

Érdemes a "közepek" közötti összefüggéseket jól begyakorolni, mert versenyfeladatoknál és néha-néha még KÖMAL feladatokban is nagy hasznát vehetjük!

Akkor próbálkozzatok ezzel:

5.feladat Bbh. \frac{3x+4y}{5}\leq \sqrt{x^2+y^2}

Előzmény: [14] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:06:48
[14] Pach Péter Pál2003-12-04 11:06:48

Megoldás a 4. feladatra

Írjuk fel a számtani és a négyzetes közepek közti egyenlőtlenséget 9 darab \frac{x}{3}-ra és 16 darab \frac{\sqrt{1-x^2}}{4}-re:

\frac{9\cdot\frac{x}{3}+16\cdot\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}}{25}\le\sqrt{\frac{9\cdot\left(\frac{x}{3}\right)^2+16\cdot\left(\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}\right)^2}{25}}

Mindkét oldalt egyszerűbb alakra hozva:

\frac{3x+4\sqrt{1-x^2}}{25}\le\frac15

3x+4\sqrt{1-x^2}\le5

Így a kifejezés maximuma 5, amit pontosan akkor vesz fel, ha \frac{x}{3}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{4}, azaz, ha x=\frac35.

Előzmény: [11] lorantfy, 2003-12-03 18:28:14
[13] lorantfy2003-12-04 00:16:58

Kedves Attila!

Szép a megoldás. Köszönet érte!

\sqrt{1-x^2}-ből adja magát ez a helyettesítés, de sajnos a 9-edikesek még nem tanulták matekból a szögfgv-ket. Kérdés a tankönyvírók hogy gondolták a megoldást? Hátha valakinek van még más ötlete.

Előzmény: [12] evilcman, 2003-12-03 22:47:58
[12] evilcman2003-12-03 22:47:58

4. megoldás:

kikötés: 1>=x>=-1

ha ez az intervallum, akkor x-et helyettesíthetjük sin (\alpha) -val

így-ha A a maximuma a függvénynek:

A=3sin (\alpha)+4cos (\alpha)

elosztjuk mindket oldalt 5-tel

 \frac{A}{5} = \frac35\sin(\alpha) + \frac45\cos(\alpha)

legyen \sin(\beta) = \frac35 ezért \cos(\beta) = \frac45

így addíciós képlettel:

 \frac{A}{5} = \sin(\alpha+\beta)

a sinus függvénynek a maximuma 1, vagyis az eredeti függvény maximuma 5

Innen pedig már ki lehet számolni x-et, az eredeti egyenlet egyetlen gyöke 3/5.

[11] lorantfy2003-12-03 18:28:14

4.feladat: Keressük a maximum helyét és értékét, de semmi deriválás, kilencedikesek vagyunk!

 f(x)=3x+4 \sqrt{1-x^2}

(Sokszínű Matek 9-ből van!)

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]