Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[627] Nánási József2010-08-21 23:06:10

Súlypontba szerintem.

Előzmény: [626] sakkmath, 2010-08-21 22:30:19
[626] sakkmath2010-08-21 22:30:19

Rajzoljunk egy asztal lapjára tetszőleges háromszöget. Csúcsaiban fúrjunk egy-egy lyukat az asztalba. Fűzzünk át a lyukakon egy-egy cérnát és kössünk azok alsó végeire egy-egy súlyt. A cérnaszálak felső végeit az asztallap fölött csomózzuk össze, aztán hagyjuk, hogy a lógó súlyok a cérnaszálakat megfeszítsék. (Feltesszük, hogy a cérnák nem szakadnak el.)

Hol lesz a csomó egyensúlyi helyzete, ha a három súly egyenlő?

[625] Fernando2010-04-14 09:36:01

Köszönni azért szabad?! :) S hogy' jött ki?

Előzmény: [622] jonas, 2010-04-13 19:12:46
[624] Fernando2010-04-13 21:49:45

Akkor -14 éves voltam.

Előzmény: [623] Róbert Gida, 2010-04-13 20:51:03
[623] Róbert Gida2010-04-13 20:51:03

Kürschák 2. feladata volt 1970-ben, hiperklasszikus.(komplementer eseményt kérdezte).

Előzmény: [619] Fernando, 2010-04-13 11:20:38
[622] jonas2010-04-13 19:12:46

Várj, ezt nem értem. Ha ujjgyakorlatnak adod föl, akkor miért köszönöd a válaszunkat?

Előzmény: [620] Fernando, 2010-04-13 18:45:46
[621] jonas2010-04-13 19:12:08

404957/511038 ?

Előzmény: [619] Fernando, 2010-04-13 11:20:38
[620] Fernando2010-04-13 18:45:46

Válaszotokat előre is köszönöm.

Előzmény: [619] Fernando, 2010-04-13 11:20:38
[619] Fernando2010-04-13 11:20:38

Mennyi a valószínűsége, hogy a lottón kihúzott számok között nincsenek szomszédosak?

[618] nadorp2010-04-07 16:45:30

Ha n>1, akkor

e-\left(1+\frac1n\right)^n=e-\sum_{k=0}^n\frac1{k!}+\sum_{k=0}^n\frac1{k!}-\left(1+\frac1n\right)^n=\sum_{k\geq n+1}\frac1{k!}+\sum_{k=2}^n\frac1{k!}\left(1-\left(1-\frac1n\right)...\left(1-\frac{k-1}n\right)\right)\geq

\geq\sum_{k\geq n+1}\frac1{k!}+\sum_{k=2}^n\frac1{k!}\left(1-\left(1-\frac1n\right)\right)=\left(1-\frac1n\right)\sum_{k\geq n+1}\frac1{k!}+\frac{e-2}n>\frac{e-2}n

Előzmény: [616] Lóczi Lajos, 2010-04-07 15:20:27
[617] Lóczi Lajos2010-04-07 15:45:30

(Nem jól mondtam: az optimalitás bizonyításához mindkét oldalon arra volt szükségem, hogy az n(e-(1+1/n)n) függvény monoton növő és limesze a végtelenben micsoda. Viszont a monotonitás nem jött ki 1-2 sorban.)

Előzmény: [616] Lóczi Lajos, 2010-04-07 15:20:27
[616] Lóczi Lajos2010-04-07 15:20:27

Valóban, tehát az optimális konstansok a kétoldali becslésben az e-2, illetve az e/2; azaz minden n pozitív egészre

\frac{e-2}{n}\le e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\frac{e/2}{n}.

Az e/2 egyszerűen kijön, de Neked milyen technikával jött ki az e-2 (mert nekem csak kicsit körülményesen, monotonitási érveléssel)?

Előzmény: [615] nadorp, 2010-04-07 11:19:07
[615] nadorp2010-04-07 11:19:07

\frac{e-2}n\leq e-\left(1+\frac1n\right)^n és egyenlőség csak n=1 esetén van, tehát tetszőleges C<e-2 jó lesz.

Az is igaz, hogy bármely C<\frac e2 esetén "elég nagy" n-re \frac Cn<e-\left(1+\frac1n\right)^n

Előzmény: [614] Lóczi Lajos, 2010-03-30 15:17:31
[614] Lóczi Lajos2010-03-30 15:17:31

Megadható-e olyan pozitív C állandó, hogy minden pozitív egész n-re


\frac{C}{n}<e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n?

Ha igen, adjunk is meg minél jobb ilyen C számot.

Előzmény: [609] Lóczi Lajos, 2010-03-20 13:00:50
[613] HoA2010-03-30 11:48:16

Ne kötözködj, még a végén kiderül, hogy a "prím"-ség, sőt az "egész"-ség sem feltétel. A 2010 helyetti tetszőleges nemnulla egészről nem is beszélve :-)

Előzmény: [611] BohnerGéza, 2010-03-29 18:18:07
[612] Ali2010-03-30 08:11:24

Bal oldal következik abból,hogy \left(1+\frac{1}{n}\right)^n monoton növekvőleg tart e-hez, jobb oldal meg abból, hogy \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1} monoton csökkenőleg tart e-hez.

Előzmény: [609] Lóczi Lajos, 2010-03-20 13:00:50
[611] BohnerGéza2010-03-29 18:18:07

És ha p számjegyei közt van 0, 1 vagy 2?

Előzmény: [610] Lóczi Lajos, 2010-03-29 02:36:39
[610] Lóczi Lajos2010-03-29 02:36:39

Igazoljuk, hogy ha p olyan prím, amelynek (10-es számrendszerbeli alakja) nem tartalmaz sem 0-t, sem 1-et, sem 2-t, akkor az


{\rm{arctg}}(p^2)-\frac{\pi}{2}+{\rm{arctg}}(1+p\sqrt{2})+{\rm{arctg}}(1-p\sqrt{2})

szám osztható 2010-zel.

[609] Lóczi Lajos2010-03-20 13:00:50

Igaz-e, hogy ha n pozitív egész és e az Euler-állandó, akkor

0<e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n< \frac{e}{n}?

[608] jenei.attila2010-02-24 10:50:01

Ez így rosszabb lett. Na mégegyszer:

(ax2+by2)(x+y)=(ax3+by3)+xy(ax+by)

(ax3+by3)(x+y)=(ax4+by4)+xy(ax2+by2)

(ax4+by4)(x+y)=(ax5+by5)+xy(ax3+by3)

Előzmény: [607] jenei.attila, 2010-02-24 10:45:50
[607] jenei.attila2010-02-24 10:45:50

Elírás történt, ráadásul a copy-paste miatt több helyen is. Az első 3 egyenlet helyesen:

(ax2+by2)(x+y)=(ax3+by3)+xy(ax+by)

(ax3+by3)(x+y)=(ax4+by4)+xy(ax2+by2)

(ax4+by4)(x+y)=(ax5+by5)+xy(ax3+by3)

Előzmény: [606] jenei.attila, 2010-02-24 10:33:26
[606] jenei.attila2010-02-24 10:33:26

Nem számoltam ki külön x,y,a,b-t. Az én megoldásom: szorozzuk (x+y)-nal a feltételben szerelő kifejezéseket:

(ax2+by2)(x+y)=(ax3+bx3)+xy(ax+by)

(ax3+by3)(x+y)=(ax4+bx4)+xy(ax2+by2)

(ax4+by4)(x+y)=(ax5+bx5)+xy(ax3+by3)

Írjuk be a feltételekből ismert értékeket és vezessük be a t:=x+y és v:=xy helyettesítéseket.

7t=16+3v

16t=42+7v

42t-16v=(ax5+bx5)

Ebbből t=-14, v=-38, (ax5+bx5)=20 adódik.

Előzmény: [605] Róbert Gida, 2010-02-23 20:47:40
[605] Róbert Gida2010-02-23 20:47:40

Kipróbáltam, hogy a computeralgebrai rendszerek vajon meg tudják-e oldani a feladatot, és igen, a Mathematica 5.1 egyből kiadta a két megoldást (a<->b, x<->y cserével is megoldást kapunk). Maple 12 is megoldja, de itt még egy allvalues parancs is kell a solve-hoz, mert rootof-okkal tér vissza. \sqrt 87 van a,b,x,y-ban.

Előzmény: [604] jenei.attila, 2010-02-23 08:26:24
[604] jenei.attila2010-02-23 08:26:24

Egyébként ha a Fibonacci sorozat zárt alakjára gondolunk, akkor látszik, hogy ez a sorozat is egy másodrendű lineáris homogén rekurzió zárt alakja, amely karakterisztikus egyenletének két gyöke éppen x és y, az a,b pedig a két első tag által meghatározott konstansok. A rekurzív képletben szereplő konstansok meghatározhatók a sorozat első 4 tagjából. Nem így oldottan meg a feladatot, de ez is egy lehetséges megoldás lenne.

Előzmény: [603] jenei.attila, 2010-02-23 08:16:10
[603] jenei.attila2010-02-23 08:16:10

Persze hogy megadható, mégpedig úgy, hogy kiszámoljuk az a,b,x,y-t. De ha ez a rekurzió neked nem jött ki, akkor másképp oldottad meg a feladatot. Szerintem most már beszéljük meg a megoldásokat.

Előzmény: [602] R.R King, 2010-02-22 20:40:19

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]