Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[761] Róbert Gida2012-06-13 17:16:00

\frac{D(4,5)*D(3,2)}{D(7,7)}=\frac{5675}{16213} a valószínűség, ahol D(i,j)-re lásd: http://oeis.org/A008288

Előzmény: [756] N.Hai, 2012-06-10 23:56:29
[760] jonas2012-06-12 18:34:35

Úgy tűnik, hogy a pontos válasz 17025/48639\approx0.35, ami jóval kevesebb, mint amit én becsültem.

Előzmény: [756] N.Hai, 2012-06-10 23:56:29
[759] jonas2012-06-12 18:25:33

Hmm, a becslés nehéz. Én mondjuk 1/2-et mondok becslésnek.

Előzmény: [756] N.Hai, 2012-06-10 23:56:29
[758] Tóbi2012-06-12 11:39:20

35%-ot tippelek.

Előzmény: [756] N.Hai, 2012-06-10 23:56:29
[757] Róbert Gida2012-06-11 22:42:26

\frac {\sqrt 6}{2}

Előzmény: [755] Lóczi Lajos, 2012-06-09 21:48:27
[756] N.Hai2012-06-10 23:56:29

Adott egy sakktábla, melynek bal alsó sarkában (A1) egy bábú áll. Ez a bábú a következőképpen mozoghat. Vagy egyet lép felfele, vagy egyet lép jobbra, vagy egyet lép átlósan a jobb felső sarokba (tehát úgy lép, mint egy király, ami folyamatosan a jobb felső sarokba tart). A király a mozgása során valamilyen úton az A1-ből a H8-ba kerül. Tegyük fel, hogy felsoroltuk az összes utat, és véletlenszerűen választunk egy útvonalat. (Tehát minden útvonal választásának az esélye ugyanakkora, függetlenül az út hosszától.) Mennyi az esélye annak, hogy egy olyan utat választottunk, amely érinti az F5 mezőt?

A feladat megoldása előtt megkérnélek titeket arra, hogy becsüljétek meg az intuíciótok alapján, hogy mekkora lehet ez a szám.

[755] Lóczi Lajos2012-06-09 21:48:27

Egy számolás során bukkant fel az alábbi kifejezés, amely kicsit megfeküdte a gyomromat: természetesen az a cél, hogy minél egyszerűbb alakban írjuk fel. (Arra jutottam, hogy a végeredmény leírható 2 elemi művelettel és két egész számmal.)

\frac{\sqrt{2 \sqrt{2} (\pi -3)-\sqrt{\pi  \left(6-\pi -\sqrt{3 (4-\pi ) \pi }\right)}} \left(\sqrt{2} (\pi -3)+\sqrt{\pi 
   \left(6-\pi -\sqrt{3 (4-\pi ) \pi }\right)}\right)}{\root4\of{6-\pi -\sqrt{3 (4-\pi ) \pi }} \sqrt{\left(\sqrt{12-3 \pi }+3 \sqrt{\pi }\right) \left(12-11 \pi +2 \pi
   ^2+\sqrt{3 (4-\pi ) \pi }\right)}}

[754] sakkmath2012-06-06 14:38:47

Elindulhatunk így is (analízis indukcióval, a Lagrange - féle multiplikátoros módszer használatával):

Először bizonyítsuk be az alábbi segédtételt.

Előzmény: [750] Lóczi Lajos, 2012-06-02 22:33:25
[753] Fálesz Mihály2012-06-03 15:31:31

Próbálkozzunk a Hölder-egyenlőtlenség következő változatával:

Ha c1,1,...,c1,K,...,cN,1,...,cN,K nemnegatív valós számok, akkor


\sum_{i=1}^N \left(\prod_{j=1}^K c_{i,j}\right) \le 
\prod_{j=1}^K \left(\sum_{i=1}^N c_{i,j}^K\right)^{1/K}

(Úgy is mondhatnánk, hogy nemnegatív számokból álló táblázatban az oszlopokban vett mértani közepek átlaga legfejlebb akkora, mint a sorátlagok mértani közepe.)

Előzmény: [750] Lóczi Lajos, 2012-06-02 22:33:25
[752] juantheron2012-06-03 13:11:05

Thanks Róbert Gida and Sakkmath.

[751] juantheron2012-06-03 13:09:57

(1) The number of solution of sin (sin (sin x))=cos (cos (cos x))

where x\in[0,2\pi]

(2) all ordered pairs (a,b) in 5a2+5b2+5ab=5a+7b

where a,b\inW

[750] Lóczi Lajos2012-06-02 22:33:25

Akkor (ha addig nem érkezik megoldás) néhány nap múlva adhatsz számunkra tippet az elinduláshoz (pl. egy nagyon speciális esetet konkávitással beláttam, de nem látom, hogy lehet-e az általánosabb esetekben is ezzel érvelni).

Előzmény: [749] sakkmath, 2012-06-02 19:11:24
[749] sakkmath2012-06-02 19:11:24

Kiegészítések:

1. Maradjunk a feladat eredeti szövegénél:

Az ai-k pozitív valós számok.

Bizonyítsuk be továbbá, hogy az egyenlőtlenségben egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha a1=a2=...=an .

2. E feladat (is) inkább a "Nehezebb matematikai problémák" fejezetbe való. :( / :)

Előzmény: [748] sakkmath, 2012-06-01 15:21:23
[748] sakkmath2012-06-01 15:21:23

Egy könnyebb feladat:

Bizonyítsuk be, hogy: ha a1,a2,...,an nemnegatív valósak, akkor

\frac{a_1+ \sqrt{a_1a_2}+\dots + \root{n}\of{a_1\dots a_n}}{n}\leqq\root{n}\of{a_1\cdot\frac{a_1+a_2}{2}\dots\frac{a_1+\dots+a_n}{n}}

[747] Lóczi Lajos2012-06-01 13:49:17

:-)

Előzmény: [746] HoA, 2012-06-01 11:32:56
[746] HoA2012-06-01 11:32:56

Akkor lehet, hogy ez sem az a tipikus "ujjgyakorlat" feladat egy középiskolások lapjának fórumán?

Előzmény: [744] Csimby, 2012-05-31 02:43:57
[745] Lóczi Lajos2012-05-31 16:42:14

Köszönöm. (A Veljan-Korchmáros keresőkifejezésre egyébként egész sok érdekes cikket és általánosítást lehet találni, többek között a Yang S.--Wang J. kínai szerzőpáros cikkeit a 90-es évek közepéről, vagy a V. Volenec--D. Veljan--J. Pecaric hármas cikkét '98-ból.)

Előzmény: [744] Csimby, 2012-05-31 02:43:57
[744] Csimby2012-05-31 02:43:57

a,b,c oldalú háromszög területe \leq \frac{\sqrt{3}}{4} (abc)^{2/3}, egyenlőség acsa, ha szabályos a háromszög. Ezt a becslést lehet általánosítani (indukcióval) n-dim szimplexre (ez az n most egy másik n mint az előző hsz-emben - konrétan 1-gyel kisebb): Ha aij az Ai és Aj csúcs közti él hossza, akkor a térfogat \leq 1/n! \sqrt{\frac{n+1}{2^n}}\prod_{1\leq i < j \leq n+1} a_{ij}^{2/(n+1)}. Ez D. Veljan sejtése volt, a bizonyítás amit ismerek Korchmáros Gábortól származik, sajnos nem tudom linkelni, de el tudom küldeni ha érdekel (olaszul vagy németül).

Az egyenlőtlenség ebből jön ki (ez az olasz cikkben van), ha a1,...an+1 poz. valósak akkor azt mondod legyen aij2=ai+aj.

De itt még kell, hogy van ilyen oldalhosszakkal szimplex. Ezt úgy lehet csinálni hogy \sqrt{a_i}-ket felmérünk az n+1-dim tér tengelyeire és akkor ez az n+1 pont jó lesz szimplexnek.

Előzmény: [743] Lóczi Lajos, 2012-05-28 16:46:29
[743] Lóczi Lajos2012-05-28 16:46:29

Van az egyenlőtlenség megoldására valakinek tippje? (Egyelőre csak n=3-ra van bizonyításom, de abból nem tudok továbblépni nagyobb n-ekre. Valamint tudom, hogy az állítás igaz n=4-re.)

Előzmény: [735] Csimby, 2012-05-22 20:27:55
[742] sakkmath2012-05-27 12:37:42

I was wrong, sorry.

WolframAlpha computational knowledge engine

Előzmény: [741] Róbert Gida, 2012-05-26 22:10:59
[741] Róbert Gida2012-05-26 22:10:59

My guess is ...289

99\equiv9mod 160

999=9160k+9\equiv99\equiv89mod 400

9^{9^{9^9}}=9^{400m+89}\equiv 9^{89}\equiv 289 \mod 1000

Előzmény: [740] sakkmath, 2012-05-26 15:34:04
[740] sakkmath2012-05-26 15:34:04

...689

Előzmény: [739] juantheron, 2012-05-25 14:44:28
[739] juantheron2012-05-25 14:44:28

Thanks sakkmath

Two tasks

(1) last 3 digits of 9^{9^{9^{9}}}

[738] Róbert Gida2012-05-22 20:46:03

Úgy már igaz lehet. (n=3-ra jónéhány esetet géppel megnéztem.)

Előzmény: [737] Csimby, 2012-05-22 20:39:10
[737] Csimby2012-05-22 20:39:10

és ha n>2?

Előzmény: [736] Róbert Gida, 2012-05-22 20:36:16

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]