Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[836] w2013-05-20 18:10:34

Leírnék egy saját feladatot. Nagyon aranyos, Kömalban egyik pontversenybe sem illene.

Létezik-e olyan számrendszer, amelyben van olyan többjegyű szám, amely egyenlő számjegyeinek szorzatával?

[835] w2013-05-20 18:07:42

Az Euler-féle formula szerint - ami koordinátákkal igazolható - a két középpont távolságának négyzetéhez a beírt kör sugarának négyzetét hozzáadva, a kapott szám négyzetgyöke éppen a két kör sugarának különbsége, ami az érintést igazolja.

Előzmény: [834] Sinobi, 2013-05-06 23:50:51
[834] Sinobi2013-05-06 23:50:51

Egy háromszögben a k beírt kört eltolom a beírt-körülírt körök centrálisára merőleges sugárnyi hosszú vektorral, hogy a középpontja a beírt körön legyen (lásd ábra). Bizonyítsd be, hogy az így kapott kör érinti a körülírt kört.

[833] w2013-05-02 15:29:43

Ha valamely két szám egyenlő, akkor a kezdeti kifejezés nem értelmezhető. :-)

Nekem a nadorp-féle hozzáállás nagyon tetszik, a kifejezésről ordít az interpolációs képlet, csak felfedezni nem véltem ilyet. Amúgy az interpolációs feladatot valahol ki is tűztem a fórumon, csak válasz nem érkezett.

Előzmény: [830] Lóczi Lajos, 2013-05-02 14:53:56
[832] jonas2013-05-02 15:11:28

Aha, értem. Szóval te most Fálesz Mihály megoldásához hasonlót szeretnél kapni.

Előzmény: [829] nadorp, 2013-05-02 14:52:23
[831] nadorp2013-05-02 14:56:36

Így kevesebbet kellett írni. :-)

Előzmény: [830] Lóczi Lajos, 2013-05-02 14:53:56
[830] Lóczi Lajos2013-05-02 14:53:56

>>> Tekintsük a következő p(x) polinomot. ( a\neqb\neqc )

És mi van, ha a=c ? :)

Előzmény: [826] nadorp, 2013-05-02 13:44:57
[829] nadorp2013-05-02 14:52:23

a,b és c adott valós számok. A nevezőben nincs "x". p miért nem polinom?

Előzmény: [827] jonas, 2013-05-02 14:36:48
[828] Lóczi Lajos2013-05-02 14:51:41

Mert nincs x a nevezőben.

Előzmény: [827] jonas, 2013-05-02 14:36:48
[827] jonas2013-05-02 14:36:48

De honnan tudod, hogy p polinom (vagyis nincs nevezője)?

Előzmény: [826] nadorp, 2013-05-02 13:44:57
[826] nadorp2013-05-02 13:44:57

Remélem, ez már jó megoldás lesz.

Tekintsük a következő p(x)polinomot. ( a\neqb\neqc)

p(x)=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}

Látszik, hogy a p(x)=x egyenletnek az a,b és c különböző gyökei. Mivel egy másodfokú egyenletnek csak két különböző gyöke lehet, ez csak úgy lehet, ha a p(x)=x egyenlet azonosság, tehát minden x-re

x=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}

-x=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(c-a)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(b-c)}

Behelyettesítve az x=a+b+c értéket

-(a+b+c)=a\frac{(a+c)(a+b)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(b+c)(a+b)}{(b-a)(b-c)}+c\frac{(b+c)(a+c)}{(c-a)(c-b)}

Előzmény: [825] nadorp, 2013-05-02 13:29:00
[825] nadorp2013-05-02 13:29:00

Bocs, az előző megoldás hibás, még finomításra szorul

Előzmény: [824] nadorp, 2013-05-02 13:24:21
[824] nadorp2013-05-02 13:24:21

Tekintsük a p(x)=x polinomot. Ekkor p(a)=a, p(b)=b és p(c)=c. Írjuk fel a Lagrange interpolációs képletet. Kapjuk, hogy minden x-re

x=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}

-x=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(c-a)}+b\frac{(x-a)(x-c)}{(a-b)(b-c)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(b-c)}

Behelyettesítve az x=a+b+c értéket

-(a+b+c)=a\frac{(a+c)(a+b)}{(a-b)(c-a)}+b\frac{(b+c)(a+b)}{(a-b)(b-c)}+c\frac{(b+c)(a+c)}{(c-a)(b-c)}

Előzmény: [807] w, 2013-04-29 16:36:16
[823] Fálesz Mihály2013-04-30 23:50:11

Ennek mintájára, hozzuk egyszerűbb alakra ezt a kifejezést:


f(x_1,\dots,x_n) =
\sum_{i=1}^n \left(x_i \cdot \prod_{j\ne i}\bigg(1+\frac1{x_i-x_j}\bigg)\right)

Ja, és ha lehet, fejben.

Előzmény: [820] Fálesz Mihály, 2013-04-30 23:02:25
[822] Fálesz Mihály2013-04-30 23:45:09

Köszi, már kezdtem aggódni, hogy esetleg hibás. :-)

Előzmény: [821] jonas, 2013-04-30 23:31:34
[821] jonas2013-04-30 23:31:34

Ja értem! Azt mondod, hogy a közös nevezőre hozás után g alternáló, vagyis g(a,c,b)=-g(a,b,c), ezért (b-c) osztóha g-nek. Hasonlóan (a-b) és (c-a) is osztója. Így aztán h osztója g-nek.

Most g/h a fokszámok miatt elsőfokú polinom. Mivel viszont g(b,c,a)=g(a,b,c) és h(b,c,a)=h(a,b,c), ezért az elsőfokú hányados csak a+b+c skalárszorosa lehet.

Ügyes megoldás.

Előzmény: [820] Fálesz Mihály, 2013-04-30 23:02:25
[820] Fálesz Mihály2013-04-30 23:02:25

A függvény egy háromváltozós racionális tört. A nevezője a Vandermonde-polinom.

A függvény szimmetrikus. Mivel a nevező alternáló, a számláló is alternáló.

Ha viszont a számláló alternáló, akkor osztható a Vandermonde polinommal.

Tehát a számláló osztható a nevezővel, a tört valójában egy polinom.

Előzmény: [819] jonas, 2013-04-30 21:00:53
[819] jonas2013-04-30 21:00:53

Én sem értem, hogy honnan jön ki neked, hogy a kifejezés polinom.

Előzmény: [817] Fálesz Mihály, 2013-04-30 18:59:33
[818] w2013-04-30 19:38:17

"Ha csak ki akarjuk számolni. akkor érdemes előbb két tagot összeadni, egyszerűsíteni, és csak utána hozzáadni a harmadik törtet."

Nem mondod! Másik lehetőségünk (a korábbi két megoldás): közös nevezőre hozás után megnézzük a tagokat külön-külön. Lehet 'ügyesen számolni'.

Említetted, hogy "a kifejezés polinom, mert a közös nevező alternáló". Ezt részletesebben is kifejtenéd, mert a feladat annyit kér, hogy f(a,b,c) egész?

Előzmény: [817] Fálesz Mihály, 2013-04-30 18:59:33
[817] Fálesz Mihály2013-04-30 18:59:33

Ha csak ki akarjuk számolni. akkor érdemes előbb két tagot összeadni, egyszerűsíteni, és csak utána hozzáadni a harmadik törtet.

* * *

Ha dózerolni akarunk, akkor megállapítjuk, hogy

--- a kifejezés szimmetrikus

--- a kifejezés polinom, mert a közös nevező alternáló

--- a polinom homogén elsőfokú.

Tehát f(a,b,c)=K.(a+b+c) valamilyen K konstanssal.

A konstanst valamilyen konkrét számhármas (pl. -1,1,2) behelyettesítésével is megkaphatnánk, de ez ellentétes lenne a dózerolás filozófiájával. ;-) Ezért inkább a fájdalom- és számolásmentes K=\lim_{a\to\infty}\frac{f(a,b,c)}{a}=-1+0+0 határértéket vesszük (rögzítve b-t és c-t).

Előzmény: [816] w, 2013-04-30 16:44:54
[816] w2013-04-30 16:44:54

Ez tetszik. Én egyszerűen felszoroztam. Kaptam a két oldalon egy-egy háromtagú ciklikus összeget:

a(...)+b(...)+c(...)=a(...')+b(...')+c(...')

Ezeknek első tagjait vetettem össze egymással. A dolgok szépen kiesnek, elkerülhetjük a sok számolást.

Előzmény: [815] jonas, 2013-04-30 15:00:35
[815] jonas2013-04-30 15:00:35

Mutatok egy megoldást, bár gyanítom, hogy van ennél egyszerűbb is.

Hozzuk a kifejezést közös nevezőre. f=g/h, ahol

g=a(c+a)(a+b)(b-c)+b(a+b)(b+c)(c-a)+c(b+c)(c+a)(a-b),

h=(a-b)(b-c)(c-a).

Fejtsük ki először a nevezőt, mert az könnyebb.

h=-a2b+b2a-b2c+c2b-c2a+a2c.

Most nézzük a számlálót! Fejtsük ki a három tagot külön.

 
\matrix{
g = &\big(a^3b &- a^2c^2 &+ a^2b^2 &- a^3c &+ ab^2c &- abc^2\big) &+ \cr
  + &\big(b^3c &- b^2a^2 &+ b^2c^2 &- b^3a &+ bc^2a &- bca^2\big) &+ \cr
  + &\big(c^3a &- c^2b^2 &+ c^2a^2 &- c^3b &+ ca^2b &- cab^2\big).&
}

Ebben vannak azonos tagok, amik kiejtenék egymást, de a trükk az, hogy nem ejtjük ki őket. Helyette forgassuk el az egyes oszlopokat külön-külön: a második és negyedik oszlopot forgassuk fölfelé, a hatodikat lefelé.


\matrix{
 g = &\big(a^3b &- b^2a^2 &+ a^2b^2 &- b^3a &+ ab^2c &- cab^2\big) &+ \cr
   + &\big(b^3c &- c^2b^2 &+ b^2c^2 &- c^3b &+ bc^2a &- abc^2\big) &+ \cr
   + &\big(c^3a &- a^2c^2 &+ c^2a^2 &- a^3c &+ ca^2b &- bca^2\big).&  
}

Most a sorokat szorzattá alakíthatjuk:

g=ab(a+b+c)(a-b)+bc(a+b+c)(b-c)+ca(a+b+c)(c-a)=

=(a+b+c)(a2b-b2a+b2c-c2b+c2a-a2c)=-(a+b+c)h.

Ebből pedig f=-(a+b+c) egész szám, feltéve, hogy h nem nulla. Ha h nulla, akkor valamelyik tényezője nulla, ettől pedig f eredeti alakjában valamelyik nevező nulla lesz.

Előzmény: [807] w, 2013-04-29 16:36:16
[814] jonas2013-04-30 11:29:18

Ez szép feladat. Később megpróbálok rá egyszerű megoldást készíteni.

Előzmény: [807] w, 2013-04-29 16:36:16
[813] Lóczi Lajos2013-04-29 23:05:52

Sajnos nem tudom megmondani, hogy a gép melyik algoritmust választotta. :)

Előzmény: [812] w, 2013-04-29 22:28:07
[812] w2013-04-29 22:28:07

A feladatoddal még nem volt időm foglalkozni, ha arra céloztál, de majd gondolkozom rajta. Másrészt akkor megkérdezném, hogy melyik ördöngös módszerrel igazoltad az f(a,b,c)=-(a+b+c) azonosságot?

Előzmény: [811] Lóczi Lajos, 2013-04-29 22:15:13

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]